- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
giả sử x1 x2 là nghiệm của phương trình x^2-[m+2]x+m^2+1=0. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức P=4[x1+x2]-x1x2 bằng
Các câu hỏi tương tự
- Toán lớp 10
- Ngữ văn lớp 10
- Tiếng Anh lớp 10
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 [1]
a] Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b] Tìm giá trị của m để phương trình [1] có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: [ x1 + 1 ]2 + [ x2 + 1 ]2 = 2.
khi m = 3. ta có : x2 - 6x + 4 = 0
\[\Delta\]' = [-3]2 - 4 = 5 > 0
=> pt có 2 nghiệm phân biệt
x1 = 3 - \[\sqrt{5}\]
x2 = 3 + \[\sqrt{5}\]
b] \[\Delta\]' = [-m]2 - 4 = m2 - 4
để pt có nghiệm thì m2 - 4 \[\ge\] 0
m2 \[\ge\] 4
\[\left\{{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\]
theo hệ thức vi - ét thì : \[\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=4\end{matrix}\right.\]
ta có : [ x1 + 1 ]2 + [ x2 + 1 ]2 = 2
x12+ 2x1 + 1 + x22 + 2x2 + 1 = 2
x12 + x22 + 2[ x1 + x2 ] = 0
x12 + 2x1x2 + x22 - 2x1x2 + 2[ x1 + x2 ] = 0
[ x1 + x2 ]2 - 2x1x2 + 2[ x1+ x2 ] = 0
[2m]2 - 2.4 + 2.2m = 0
4m2 + 4m - 8 = 0
nhận thấy a + b + c = 4 + 4 - 8 = 0
pt có 2 nghiệm pb :
m1 = 1 [ loại ]
m2 = -2 [ TM ]
vậy để pt [1] thỏa mãn [ x1 + 1 ]2 + [ x2 + 1 ]2 = 2 thì m = -2
Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}m = \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = - \sqrt {2 + \sqrt 5 }
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\ \to {m^2} - 4 \ge 0\\ \to \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 2\end{array} \right.\\Có:{\left[ {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right]^2} + {\left[ {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right]^2} = 3\\ \to \dfrac{{{x_1}^4 + {x_2}^4}}{{{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{\left[ {{x_1}^4 + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^4} \right] - 2{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left[ {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right]}^2} - 2{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}} = 3\\ \to \dfrac{{{{\left[ {4{m^2} - 2.4} \right]}^2} - 2.16}}{{16}} = 3\\ \to {\left[ {4{m^2} - 2.4} \right]^2} = 80\\ \to \left[ \begin{array}{l}4{m^2} - 2.4 = 4\sqrt 5 \\4{m^2} - 2.4 = - 4\sqrt 5 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 2 + \sqrt 5 \\{m^2} = - 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = - \sqrt {2 + \sqrt 5 } \\m = \sqrt { - 2 + \sqrt 5 } \left[ l \right]\\m = - \sqrt { - 2 + \sqrt 5 } \left[ l \right]\end{array} \right.
\end{array}\]
x2+2mx+4=0x2+2mx+4=0
Δ=[2m]2−4.1.4=4m2−16Δ=[2m]2−4.1.4=4m2−16
Để phương trình có 2 nghiệm x1,x2x1,x2 thì Δ≥0Δ≥0
⇔4m2−16≥0⇔m2−4≥0⇔4m2−16≥0⇔m2−4≥0
⇔[m−2][m+2]≥0⇔[m−2][m+2]≥0
Với [m−2][m+2]=0⇔m=±2[m−2][m+2]=0⇔m=±2 ta có bảng như hình vẽ
⇔ [m≥2m≤−2[m≥2m≤−2 [*]
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
{x1+x2=−2mx1.x2=4{x1+x2=−2mx1.x2=4
Ta có:
x14+x24x14+x24
=[x12+x22]2−2x12.x22=[x12+x22]2−2x12.x22
=[[x1+x2]2−2x1x2]2−2x12.x22=[[x1+x2]2−2x1x2]2−2x12.x22
=[[−2m]2−2.4]2−2.42=[[−2m]2−2.4]2−2.42
=[4m2−8]2−32=[4m2−8]2−32
Để x14+x24≤32x14+x24≤32
thì [4m2−8]2−32≤32[4m2−8]2−32≤32
⇔[4m2−8]2≤64=82⇔[4m2−8]2≤64=82
⇔−8≤4m2−8≤8⇔−8≤4m2−8≤8
⇔0≤4m2≤16⇔0≤4m2≤16
⇔0≤m2≤4⇔0≤m2≤4
⇔−2≤m≤2⇔−2≤m≤2 kết hợp với điều kiện [*]
Vậy m=±2m=±2.