Giải phương trình vô định 5x+7y=0
Giải phương trình vô định nghiệm nguyên Nhà xuất bản Đại học Quốc gia HN Năm xuất bản: 2004 Khổ sách: 14,5-20,5 Số trang: 290 Sách đã được ký thuộc bản quyền NXB và tôi, nên tôi không thể đưa toàn bộ nội dung lên đây được, mong các bạn tìm kiếm ở thư Viện và hiệu sách trong cả nước để chụp lại hoặc mua bản mới, tôi chi đưa lời nói đầu và mục lục các bạn tham khảo. 1. Lời nói đầu Phương trình vô định nói chung và phương trình vô định nghiệm nguyên nói riêng có một vai trò quan trọng trong toán học và trong thực tế, bởi vậy đã được các nhà toán học trên thế giới nghiên cứu từ rất lâu, được đề cập tới trong bất kì một cuốn sách số học cơ bản nào và hiện nay vẫn chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu và học tập. Ta có thể hiểu: Phương trình vô định (hoặc còn gọi phương trình Diophantus) thường là phương trình đại số với hệ số nguyên và số ẩn bất kỳ, nghiệm của nó được tìm trong tập hợp một dạng số nào đó như số nguyên, số nguyên dương, phân số hữu tỷ,… Nhiều phương trình vô định phát biểu rất đơn giản nhưng cho đến ngày nay cũng chưa có cách giải hữu hiệu. Một phương trình vô định thường có dạng P(x, y, …,z)=0, ở đây P(x, y, …, z là một đa thức nhiều biến với hệ số nguyên. Để giải một phương trình vô định nghiệm nguyên người ta thường phải trả lời những câu hỏi sau:
Tác giả cuốn sách mong muốn tập hợp thành một chuyên đề tương đối đầy đủ và chủ yếu là phương pháp giải từng loại phương trình vô định nghiệm nguyên từ tổng quát đến các trường hợp đặc biệt. Trong thực tế, còn nhiều vấn đề mà cuốn sách này không đề cập hết. Tác giả chỉ đề cập đến những vấn đề mà bằng kiến thức phổ thông, chúng ta có thể tiếp cận được với việc giải phương trình vô định. Bằng nguồn tài liệu trong và ngoài nước, tác giả mong muốn nội dung này cung cấp tương đối đầy đủ các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình vô định nghiệm nguyên. Trước khi đi vào nghiên cứu cụ thể ta xét một số vấn đề: Một chút lịch sử phương trình vô định Người có công nhiều nhất cho việc thiết lập cách giải phương trình vô định là nhà toán học Diophantus người Hy Lạp . Ông sống vào thế kỷ thứ III trước công nguyên. Diophantus đã hệ thống tất cả các bài toán phương trình vô định vào bộ sách 13 tập có tên Số học. Cho đến ngày nay bộ sách này chỉ còn 6 Một phần sáu cuộc đời Diophantus là trẻ nhỏ
Nửa một phần sáu là tuổi thiếu nhi
Thêm một phần bảy nữa ông ta lấy vợ
và sau năm năm sinh cậu con trai
Cậu con trai chỉ sống bằng nửa tuổi bố
Sau bốn năm khi người con chết ông cũng qua đời. Bài toán: (Quyển II. Bài 8) Hãy phân tích một số chính phương thành tổng hai số Lời giải. (Của Diophantus). Gọi một số đã phân tích là x2 . Khi đó số kia là 116-x2 . Suy ra số 16-x2 phải là số chính phương. Tôi tạo số chính phương từ một bội bất kỳ của x, giảm đi 4. Ta lấy đó là 2x-4 . Đặc trưng của Diophantus là ông giải phương trình trong tập số hữu tỷ. Bài toán trên nói lên rằng Diophantus đã biết giải phương trình x2+y2=z2 trong số hữu tỷ, suy ra và cả trong tập số nguyên. Từ bài toán trên dẫn đến định lý Pythagoras trong hình học. Theo như các tài liệu lịch sử để lại thì từ thời Bavilion hay sau nữa là tại Ấn Độ, Ai Cập, Trung Quốc với kích thước của tam giác vuông 3, 4, 5 thoả mãn a^2+b^2=c^2 đã được biết đến với a,b là cạnh góc vuông, c là cạnh huyền. Người Bavilion đã biết rằng mọi tam giác với kích thước x=m^2-n^2, y=2mn, Qua bài toán trên đã chỉ ra rằng Diophantus giải được phương trình vô định x^2+y^2=a^2 có nghiệm trong tập số hữu tỷ ít nhất với một a nào đó. Thực ra phương trình có nghiệm với mọi a, vì a^2=((2am)/(m^2+1))^2+\( a(m^2-1)/(m^2+1))^2. Một câu hỏi đặt ra là một số lập phương có phân tích ra tổng hai số lập phương? Phải chăng câu hỏi này đặt ra từ thời Diophantus? Rất lâu sau khi ra đời cuốn sách của Diophantus, một nhà toán học Pháp P. Fermat ghi chú bên cạnh bài toán phân tích một số chính phương thành tổng hai số chính phương khẳng định sau: “Không thể phân tích số lập phương ra tổng hai số lập phương, một số tứ phương ra tổng hai số tứ phương và v.v.”. Thay vào cách chứng minh, Fermat chú thích rằng đã tìm được cách chứng minh rất hay, nhưng lề giấy nhỏ quá không thể viết nó ra được! Như vậy Fermat đã phát biểu khẳng định: Phương trình vô định x^n+y^n=z^n với n\ge 3 nguyên, không có nghiệm nguyên dương. Khẳng định này mang tên định lý lớn Fermat. Lịch sử về định lý này rất phong phú, biết bao công lao sức lực của các nhà toán học hơn ba thế kỷ qua trong nỗ lực tìm lại cách chứng minh của Fermat mà không được. Một số bài toán dân gian và thực tế Như ta đã biết, những bài toán đố trong dân gian luôn luôn đưa về việc giải một dạng phương trình nào đấy. Đó là ta lý luận theo suy nghĩ ngày nay, còn xưa kia giải như thế nào thì chẳng ai biết cả, cho đến Bài toán: Một trăm con trâu, Một trăm bó cỏ. Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Ba con trâu già Ăn chung một bó. Hãy tính số trâu mỗi loại. Lời giải. Không biết ngày xưa các cụ giải bằng cách nào? Ngày nay ta ký hiệu số trâu đứng là x con, trâu nằm là y con, còn trâu già là 3z con (điều kiện bài là 3 con ăn một bó). Khi đó tổng số trâu là x+y+3z=100 và số bó cỏ là 5x+3y+z=100 . Từ hai phương trình ta đưa về 7x+4y=100 , nghĩa là y=25- (7/4)x . Từ điều kiện nguyên dương của y ta có x phải chia hết cho 4 và nhỏ hơn 15. Như vậy x chỉ có thể là 4, 8, 12 , ứng với chúng ta có y=18, 11, 4 và số trâu già là z=26, 27, 28 . Bài toán: Mai em đi chợ phiên, Anh gửi một tiền, Mua cam cùng quít. Không nhiều thì ít Mua lấy một trăm. Cam ba đồng một, Quít một đồng năm, Thanh yên tươi tốt Năm đồng một trái. Hỏi mua mỗi thứ mấy trái? (Biết một tiền bằng 60 đồng.) Lời giải. Ký hiệu số cam là x , quít là y và thanh yên là z . Theo đề bài ra tổng số hoa quả là x+y+z=100 và số tiền phải tiêu là 3z+y/5+5z=60 . Từ hai phương trình này đưa đến 7x+12z=100 , suy ra x=4, y=90, z=6 . Công thức tìm nghiệm của phương trình vô định bậc nhất các bạn hãy xem ở Chương 1. Bài toán: Ba người đi câu được một số cá. Trời đã tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông, rồi mỗi người tìm một nơi lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy, đến bờ sông, đếm số cá thấy chia ba thừa một con, bèn vứt bớt một xuống sông và xách 1/3 số cá về nhà. Người thứ hai thức dậy tưởng hai bạn mình còn ngủ, đến bờ sông, đếm số cá, vứt 1 xuống sông và xách 1/3 số cá về nhà. Người thứ ba thức dậy, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đến bờ sông, đếm số cá xong vứt 1 và xách 1/3 số cá về nhà. Cho biết họ là ba chàng đi câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu cá. Lời giải. Gọi x là số cá câu được và y là số cá còn lại sau khi cả ba người đã lấy đi phần cá của mình, khi đó Suy ra 8x-27y=38 (x, y \in N). Tìm nghiệm riêng của phương trình này các bạn có thể tìm thấy ba cách ở chương 1. Ta thấy x_0=-380, y_0=-114 . Và cũng theo công thức ở chương 1 ta có x=-380+27t, y=-114+8t với t là những số nguyên. Giá trị dương nhỏ nhất của x, y (theo điều kiện câu tồi nhất) ứng với t=15. Khi đó x=25 và y=6 . Bài toán: Lời giải. Một số nguyên lớn hơn 7 có thể biểu diễn bằng một trong các dạng sau đây 3k-1, 3k, 3k+1 , ở đây k>2 . Khi đó từ sự biểu diễn ta viết lại 3k=3k+5.0; 3k-1=3(k-2)+5.1; 3k+1=3(k-3)+5.2 . Ta thấy rằng mọi số nguyên lớn hơn 7 có thể biểu diễn dưới dạng 3x+5y , ở đây x và y là những số nguyên không âm. Suy ra mọi trọng lượng số nguyên kg lớn hơn 7kg đều có thể nhận được bằng các gói theo 3 kg và 5kg . Bài toán: Lời giải. Đặt x là số lượng bao tải loại 50 kg và y là số lượng bao tải loại 100kg , ta có phương trình nghiệm nguyên 50x+100y=1000 hoặc là x+2y=20. Ta dễ thấy phương trình sau cùng có một nghiệm nguyên x=10, y=5 . Vậy nghiệm của phương trình trên là x=10+2t, và y=5-t . Nhưng x, y là số nguyên không âm nên 10+2t\ge 0, 5-t\ge 0 do đó – 5 \le t\le 5 . Vậy ta có các khả năng sau t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Nội dung cuốn sách Trong cuốn sách có dùng một số khái niệm số học đã có trong bất cứ cuốn sách số học cơ bản nào. Bạn đọc muốn tra cứu những phần chúng tôi có dùng xin đọc ở phần phụ lục. Nêu một số những kiến thức cơ bản của số học sẽ được dùng trong các chương sau. Chúng tôi không chứng minh các định lí đã quá rõ hoặc có thể tìm trong bất cứ một cuốn sách số học cơ sở nào. Riêng phần liên phân số, chúng tôi có viết tương đối cơ bản và chứng minh một số khẳng định. Chương 1. Phương trình vô định bậc nhất. Chương 2. Phương trình vô định bậc hai. Chương 3. Phương trình Pell. Một dạng phương trình vô định bậc hai đặc biệt và có rất nghiều ứng dụng được nghiên cứu ở chương này. Từ chương trước cũng đã dùng kết quả của chương này. Bằng những công thức nghiệm cụ thể phương trình Pell có vô số nghiệm. Sử dụng phương trình Pell để giải hàng loạt các bài tập cũng được đề cập tới. Chương 4. Phương trình vô định bậc cao và dạng đặc biệt. Chương 5. Giải phương trình vô định không mẫu mực. Chương 6. Phương trình vô định trong tập số chữ số. Chương 7. Phương trình nghịch đảo các biến. Chương 8. Một số chuyên đề về phương trình vô định. Thực tế có rất nhiều chuyên đề về phương trình vô định, phần này ta xét những chuyên đề như Chương 9. Những đề thi Olympic toán. Tập hợp những đề thi trong các cuộc thi Olympic quốc tế và một số nước trong những năm gần đây. Những phương pháp giải loại đề thi này rất điển hình và hay. Chương 10. Lời giải và gợi ý. Bài tập ở các chương được giải hoặc gợi ý giải tại đây, hầu hết các bài tập ở cuối các chương được giải. Những trường hợp gợi ý là những bài quá dễ và thường áp dụng các phương pháp trong chương. Phần đầu nội dung của cuốn sách này có lấy trong luận văn thạc sĩ của Trần Quang Thiệu. Có thể nói Trần Quang Thiệu là tác giả thứ hai của cuốn sách này, nhưng do khâu đăng kí xuất bản có ơ xuất của tôi nên không có tên Anh. Nhân đây tôi xin cảm ơn và mong Anh thông cảm. Đọc cuốn sách này chỉ cần kiến thức phổ thông. Chúng tôi cố gắng trình bầy tỷ mỷ như cuốn sách tham khảo và bàn luận một số phương pháp tiếp cận các bài toán phương trình vô định nghiệm nguyên. Theo chúng tôi nghĩ, đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho các thầy cô giáo, sinh viên đại học và những người quan tâm đến giáo dục toán học trong trường phổ thông tại Việt Nam. Lần đầu tiên biên soạn, cuốn sách chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Hà nội, tháng 7 năm 2004 Các tác giả 2. Mục lục Lời giới thiệu 3 Chương 2. Phương trình vô định bậc hai 28 2.1.Phương trình vô định bậc hai hai ẩn 28 2.2.Phép biến đổi dạng toàn phương 29 2.3.Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương 31 2.4.Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương biến đổi 34 2.5.Phép biến đổi dạng toàn phương và nghiệm phương trình 36 2.6.Phương trình dạng toàn phương có định thức bằng không 39 2.7.Phương trình dạng toàn phương có định thức khác không 40 2.8.Bài tập 45Chương 3. Phương trình Pell 47 3.1.Ví dụ và định lý tồn tại nghiệm 48 3.2.Công thức tính nghiệm phương trình Pell 56 3.3.Sử dụng phương trình Pell 65 3.4.Bài tập 70Chương 4. Phương trình vô định bậc cao và dạng đặc biệt 72 4.1.Phương trình vô định bậc ba hai ẩn 72 4.2.Phương trình vô định bậc bốn và cao hơn 74 4.3.Phương trình vô định dạng đặc biệt 76 4.3.1.Định lý Pythagoras 76 4.3.2.Những bài toán liên quan đến tam giác Pythagoras 82 4.3.3.Phương trình Mordell 85 4.3.4.Định lý Fermat cuối cùng 87 4.4.Bài tập 94Chương 5. Giải phương trình vô định không mẫu mực 95 5.1.Dùng các phép tính số học 96 5.1.1.Phân tích thành thừa số một vế phương trình 96 5.1.2.Luỹ thừa bậc chẵn 97 5.1.3.Phép chia hết và chia có dư 99 5.1.4.Sử dụng tính chất chẵn lẻ, số nguyên tố, số vô tỷ 102 5.2.Sử dụng những mệnh đề điển hình 104 5.3.Tính đối xứng của ẩn số 106 5.3.1.Sắp xếp thứ tự ẩn số 106 5.3.2.Đặt ẩn số phụ 107 5.4.Chứng minh bằng phản chứng 108 5.4.1.Chứng minh phương trình vô nghiệm 108 5.4.2.Phương pháp giảm vô hạn 111 5.5.Bài tập 113Chương 6. Phương trình vô định trong tập số chữ số 115 6.1.Những dấu hiệu chia hết trong tập số chữ số 115 6.2.Tìm số có hai chữ số 118 6.3.Tìm số có ba chữ số 121 6.4.Tìm số có bốn chữ số 124 6.5.Bài tập 131Chương 7. Phương trình nghịch đảo các biến 132 7.1.Phương trình hai biến nghịch đảo 132 7.2.Phương trình nhiều biến 137 7.3.Phương trình tỉ số các biến 150 7.4.Một số đề thi ở các nước 156 7.5.Bài tập 159Chương 8. Một số chuyên đề về phương trình vô định 160 8.1.Phương trình vô định siêu việt 160 8.2.Phương trình vô định trong tập số hữu tỷ 169 8.3.Phương pháp đặt thông số cho nghiệm 174 8.4.Những bài toán dạng tổng quát 179 8.5.Một số bài toán khác 184 8.6.Bài tập 191Chương 9. Những đề thi Olympic toán 192 9.1.Đề thi Olympic toán tại một số nước 192 9.2.Bài toán tuyển chọn của giám khảo Olympic quốc tế 207 9.3.Một số đề thi Olympic toán quốc tế 221 9.4.Bài tập 235Chương 10. Lời giải và gợi ý 238 10.1.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 1 238 10.2.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 2 241 10.3.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 3 244 10.4.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 4 244 10.5.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 5 245 10.6.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 6 247 10.7.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 7 249 10.8.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 8 250 10.9.Lời giải và gợi ý bài tập Chương 9 252Phụ lục: Một số kiến thức số học cơ sở 261 Phép chia số tự nhiên 261 Thuật toán Euclit 263 Đồng dư 264 Liên phân số 265 Tài liệu tham khảo 272 [ |