Giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 3{x^4} + 4{x^2} + 2 \ge {\left[ {mx} \right]^3} + mx\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1} \right] + {x^2} + 1 \ge {\left[ {mx} \right]^3} + mx\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 1} \right]^3} + \left[ {{x^2} + 1} \right] \ge {\left[ {mx} \right]^3} + mx\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = {t^3} + t\] ta có: \[f'\left[ t \right] = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\, \Rightarrow \] Hàm số \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Khi đó : [*] \[ \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge mx \Leftrightarrow m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\]
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = x + \dfrac{1}{x},\,\,x \in \left[ {1;3} \right]\] có: \[g'\left[ x \right] = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left[ x \right] = g\left[ 1 \right] = 2.\]
Để \[m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\] thì \[m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left[ x \right] \Leftrightarrow m \le 2\].
Mà \[m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow S = \left\{ {1;2} \right\}.\]
Vậy tổng các phần tử của \[S\] là \[1 + 2 = 3\].
Chọn: D
Bất phương trình tương đương với \[\left[ {{m^2} - m - 6} \right]x = 0 ] đúng với mọi [x thuộc R ]. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
Câu 59746 Vận dụng cao
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \[{m^2}\left[ {{x^4} - 1} \right] + m\left[ {{x^2} - 1} \right] - 6\left[ {x - 1} \right] \ge 0\] đúng với mọi \[x \in R\]. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
+] Đưa phương trình đã cho về dạng tích, có nhân tử \[f\left[ x \right] = \left[ {x - 1} \right]g\left[ x \right]\].
+] Để bất phương trình luôn đúng với mọi \[x\] thì ta xét các trường hợp:
TH1: Phương trình \[{m^2}{x^3} + {m^2}{x^2} + \left[ {{m^2} + m} \right]x + {m^2} + m - 6 = 0\] nghiệm đúng với mọi \[x\]
TH2: Đa thức \[{m^2}{x^3} + {m^2}{x^2} + \left[ {{m^2} + m} \right]x + {m^2} + m - 6\] có nghiệm \[x = 1\]
+] Thử lại và kết luận.
...