Quan hệ tương đương trong toán tiểu học
Show Quan hệ tương đương , Trong toán học , khái quát hóa ý tưởng về sự bằng nhau giữa các phần tử của một tập hợp . Tất cả các quan hệ tương đương (ví dụ, được ký hiệu bằng dấu bằng) tuân theo ba điều kiện: tính phản xạ (mọi phần tử đều có quan hệ với chính nó), tính đối xứng (phần tử A có cùng quan hệ với phần tử B mà B có với A) và tính nhạy cảm ( xem luật bắc cầu ). Tính đồng dạng của tam giác là một quan hệ tương đương trong hình học. Các thành viên của một tập hợp được cho là trong cùng một lớp tương đương nếu chúng có quan hệ tương đương. Trong toán học, quan hệ là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp, ví dụ như các quan hệ bằng, nhỏ hơn, lớn hơn, đồng dư giữa các số, hay các quan hệ bằng nhau, đồng dạng giữa các hình tam giác. Tất cả các ví dụ này đều là các quan hệ hai ngôi.
Quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
={ (a,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}.
Để biểu diễn quan hệ (trên các tập hữu hạn), nhất là khi phải giải quyết các bài toán về quan hệ trên máy tính, ta có biểu diễn bằng ma trận logic hoặc bằng đồ thị
Cho tập A có m phần tử
và tập B có n phần tử
Ma trận logic của quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
⊂
{\displaystyle \subset }
A x B là ma trận cấp m
×
{\displaystyle \times }
n với các phần tử r i,j xác định như sau:
Ví dụ ma trận biểu diễn quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
ở trên là
Quan hệ n ngôiMột quan hệ n {\displaystyle n} ngôi giữa các tập hợp A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}} là một tập hợp con của tích Descartes A 1 × ⋯ × A n {\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}} . Cho R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là một quan hệ trên tập A:
Quan hệ tương đươngBài chi tiết: Quan hệ tương đương Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} trên A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.[2] Cho R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là quan hệ tương đương trên tập A và phần tử a ∈ A {\displaystyle a\in A} . Tập con của A gồm các phần tử b có quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} với a được gọi là lớp tương đương của phần tử a, ký hiệu là [ a ] R {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}} [4]. Cho a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} và quan hệ tương đương R {\displaystyle {\mathcal {R}}} . Khi đó
Từ đó tập các lớp tương đương của R {\displaystyle {\mathcal {R}}} tạo thành một phân hoạch (hay một sự chia lớp) của tập A.[5] Một ví dụ minh hoạ cho quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư theo môđun m trên tập hợp các số nguyên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (m là số tự nhiên lớn hơn 1), mỗi lớp tương đương là tập các số nguyên có cùng số dư theo môđun m. Trong số học nó còn được gọi là các lớp thặng dư theo môdun m. Quan hệ thứ tựBài chi tiết: Tập hợp sắp thứ tự một phần
Các phần tử đặc biệt trong tập được sắpXem thêm: Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu Xem thêm: Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất Xem thêm: Infimum và supremum Xem thêm: Cận trên đúng
Cho quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} từ tập A vào tập B và quan hệ S {\displaystyle {\mathcal {S}}} từ B vào C. Quan hệ tích ( R S ) {\displaystyle ({\mathcal {RS}})} là quan hệ từ A vào C, xác định bởi a ( R S ) c {\displaystyle a({\mathcal {RS}})c} khi và chỉ khi tồn tại b ∈ B {\displaystyle b\in B} sao cho a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b S c {\displaystyle b{\mathcal {S}}c} Tính chất của quan hệ bắc cầuBài chi tiết: Quan hệ bắc cầu
Ta có thể biểu diễn quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} từ tập X và tập Y bằng một đồ thị có hướng như hình bên. Nếu A ∩ B {\displaystyle \cap B} = ∅ {\displaystyle \emptyset } thì đồ thị biểu diễn R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là đồ thị hai phía. Trong hình bên phần tử A có thể "chủ động" quan hệ với ba phần tử 1, 2, 5 của Y, còn B chủ động không quan hệ với phần tử nào. Về phía Y, phần tử 2 và 5 bị hai phần tử cùng quan tâm, còn 3, 4 không được phần tử nào của X quan hệ tới.
Từ biểu diễn đồ thị của quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} và biểu diễn ánh xạ, có thể nhận ra rằng ánh xạ (hay hàm) là một quan hệ đặc biệt, mà ta gọi là quan hệ hàm. Ánh xạ f : A → {\displaystyle \to } B là một quan hệ từ A vào B thoả mãn điều kiện sau: Mỗi phần tử a ∈ {\displaystyle \in } A đều có quan hệ f với đúng một phần tử b ∈ {\displaystyle \in } B.Chú ý rằng trong định nghĩa này không loại trừ khả năng hai (hoặc nhiều hơn) phần tử của A cùng có quan hệ f với một phần tử b ∈ B {\displaystyle b\in B} Trong phạm trù các quan hệ Rel, một quan hệ cũng là một cấu xạ giữa các tập hợp.
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Quan_hệ_(toán_học)&oldid=68885698” |