Soạn Toán 9 phương trình quy về phương trình bậc hai

Học tốt toán 9

Phương trình quy về phương trình bậc hai là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi học kì 2 và thi vào 10 tham khảo. Tài liệu tóm tắt toàn bộ kiến thức lý thuyết, các dạng bài tập kèm theo đáp án về phương trình bậc 2.

Tài liệu Phương trình quy về phương trình bậc hai được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm tài liệu: Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9.

1. Phương trình trùng phương

- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4+ bx2 + c - 0 (a ≠ 0).

- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠0).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở Bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

3. Phương trình đưa về dạng tích

Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp

- Phương trình bậc bốn dạng

với

- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng:

- Phương trình hồi quy có dạng

trong

- Phương trình bậc bốn dạng

- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:

II. Bài tập và các dạng toán

Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương:

ax4+ bx2 + c = 0 (a ≠ 0).

Bước 1. Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0)

Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình trùng phương đã cho.

1.1. Giải các phương trình sau:

a) x4 + 5x2 - 6 = 0;

b) ( x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = 0.

1.2. Giải các phương trình sau:

a) 2x4 + 7x2 + 5 = 0;

b) 4x4 + 8x2 - 12 = 0;

Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

2.1. Giải các phương trình sau:

2.2. Giải các phương trình sau:

Dạng 3. Phương trình đưa về dạng tích

Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Chuyên vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

3.1. Giải các phương trình sau:

a) x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0;

b) (x - 1)3  +  3 + x3 + (x + 1)3- (x + 2)3= 0;

3.2. Giải các phương trình sau:

a) 2x3 -7x2 + 4x + 1 = 0;

b) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2

Dạng 4. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải:

Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có);

Bước 2. Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện của ẩn phụ (nếu có) và giả phương trình theo ẩn mới;

Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác địnl và kết luận.

4.1. Giải các phương trình sau:

a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 8;

b) (x2 + 16x + 60)(x2 +17x + 60) = 6x2

4.2. Giải các phương trình sau:

Dạng 5. Phương trình chứa biếu thức trong dấu căn

Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế

5.1. Giải các phương trình sau:

5.12. Giải các phương trình sau:

Dạng 6. Một số dạng khác

Phương pháp giải: Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử, hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình.

6. Giải các phương trình sau bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức: 

7. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đánh giá:

8. Giải các phương trình sau:

III. Bài tập về nhà

10. Giải các phương trình sau:

11. Giải các phương trình sau:

12. Giải các phương trình sau:

13. Giải các phương trình sau:

IV. Hướng dẫn đáp án

1.1.

a) Đặt

, ta có:

Giải ra ta được

 (TM) hoặc t=-6 (loại)

Từ đó tìm được

b) Đặt

...............

Nội dung vẫn còn tải file tài liệu để xem chi tiết

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

• Ôn tập lý thuyết
• Hướng dẫn giải bài tập sgk

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: $ax^{4}+bx^{2}+c=0 (a\neq 0)$

-Giải phương trình trùng phương $ax^{4}+bx^{2}+c=0 (a\neq 0)$

+ Đặt $x^{2}=t; t\geq 0$

+ Giải phương trình $at^{2}+bt+c=0$

+ Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình $x^{2}=t$

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
• Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

3. Phương trình tích

Phương pháp giải: Ta biến đổi đa thức thành nhân tử để trở thành phương trình tích. Rồi cho từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm của phương trình đã cho.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 34: trang 56 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải các phương trình trùng phương

a. $x^{4}-5x^{2}+4=0$

b. $2x^{4}-3x^{2}-2=0$

c. $3x^{4}+10x^{2}+3=0$

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 35: trang 56 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) \(\frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\);   

b) \(\frac{x+ 2}{x-5} + 3 = \frac{6}{2-x}\);

c) \(\frac{4}{x+1}\) = \(\frac{-x^{2}-x+2}{(x+1)(x+2)}\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 36: trang 56 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) \((3{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)({x^2}-{\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

b) \({(2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4)^2}-{\rm{ }}{\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}0\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 37: trang 56 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải phương trình trùng phương:

a) \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\);

b) \(5{x^4} + 2{x^2}{\rm{  - }}16 = 10{\rm{  - }}{x^2}\);

c) \(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\);

d) \(2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 38: trang 56 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({\left( {x-3} \right)^2} + {\left( {x + 4} \right)^2} = 23-3x\);

b) \({x^3} + 2{x^2}-{\left( {x-3} \right)^2} = \left( {x-1} \right)({x^2}-2)\);

c) \({\left( {x-1} \right)^3} + 0,5{x^2} = x({x^2} + 1,5)\);

d) \(\frac{x(x - 7)}{3} – 1\) = \(\frac{x}{2}\) - \(\frac{x-4}{3}\);

e) \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = \(1 - \frac{1}{3-x}\);           

f) \(\frac{2x}{x+1}\) = \(\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 39: trang 57 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a) \((3{x^{2}} - 7x-10)[2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 -3] = 0\);

b) \({x^3} + 3{x^2}-2x-6 = 0\);                     

c) \(({x^{2}} - 1)\left( {0,6x + 1} \right) = 0,6{x^2} + x\);

d) \({({x^2} + 2x-5)^2} = {({x^2}-x + 5)^2}\).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 40: trang 57 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \(3{({x^2} + x)^2}-2({x^2} + x)-1 = 0\);            

b) \({({x^2}-4x + 2)^2} + {x^2}-4x-4 = 0\);

c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\);                             

d) \(\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\)

Hướng dẫn: a) Đặt \(t = {x^2} + x\), ta có phương trình \(3{t^2}-2t - 1 = 0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \(t\). Thay mỗi giá trị của \(t\) vừa tìm được vào đằng thức \(t = {x^2} + x\) , ta được một phương trình của ẩn \(x\). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \(x\).

d) Đặt \(\frac{x+1}{x} = t\) hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)

=> Xem hướng dẫn giải

Trắc nghiệm đại số 9 bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai