Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn [C’]: \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-2y+23=0\] và đường thẳng d: x – y + 2 = 0, phương trình đường tròn [C’] là ảnh của đường tròn [C] qua phép đối xứng trục d là:
A.
\[\left[ C' \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-12y+26=0\]
B.
\[\left[ C' \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-14y+47=0\]
C.
\[\left[ C' \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-6y+53=0\]
D.
\[\left[ C' \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+12=0\]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Cách 1. Sử dụng tính chất của phép đối xứng trục
Cách 2. Sử dụng biểu thức tọa độ đối với phép đối xứng qua trục Ox hoặc Oy
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 3 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Hướng dẫn giải:
Trục Ox có phương trình y = 0.
• Tọa độ giao điểm A của d và Ox là nghiệm của hệ
• Vì A ∈ Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành chính nó, tức A'≡A[3;0].
Chọn điểm
• Gọi đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox khi đó d’ đi qua hai điểm A'[3;0] và B'[1;-2]
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 7x + y - 3 = 0. Tìm ảnh của Δ qua phép đối xứng trục Oy.
Hướng dẫn giải:
[Sử dụng biểu thức tọa độ]
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung là
Thay vào Δ, ta được 7[-x'] + y' - 3 = 0 hay 7x' - y' + 3 = 0.
Vậy ảnh của Δlà: Δ': 7x - y + 3 = 0
Ví dụ 3: Cho đường thẳng [d] có phương trình x + y-7 = 0 và đường thẳng [Δ] có phương trình 2x - y - 2 = 0. Phương trình đường thẳng [d'] là ảnh của đường thẳng [d] qua phép đối xứng trục [Δ] là
Hướng dẫn giải:
• Gọi M = [d]∩[Δ] khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ:
Lấy N[1;6] ∈ [d].
• Gọi [d1] là đường thẳng qua N và vuông góc với [Δ], khi đó: [d1]: x + 2y + c = 0
N[1;6] ∈ [d1] ⇒ 1 + 2.6 + c = 0 ⇒ c = -13 ⇒ [d1]: x + 2y - 13 = 0
• Gọi I = [d1]∩[Δ] khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ:
• Gọi N' là ảnh của N qua phép đối xứng trục [Δ] ⇒ I là trung điểm của NN' nên suy ra:
• [d'] là ảnh của đường thẳng [d] qua phép đối xứng trục [Δ]
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:
A. x - y - 2 = 0.
B. x + y + 2 = 0.
C. -x + y - 2 = 0.
D. x - y + 2 = 0.
Lời giải.
Cách 1. Trục Ox có phương trình y = 0.
Tọa độ giao điểm A của d và Ox thỏa mãn hệ
Vì A ∈ Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành chính nó, tức A'≡A[2;0].
Chọn điểm
Vậy đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox đi qua hai điểm A'[2;0] và B'[1;-1] nên có phương trình x - y - 2 = 0.
Chọn A.
Cách 2. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 5x + y - 3 = 0. Đường thẳng đối xứng của Δ qua trục tung có phương trình là:
A. 5x + y + 3 = 0.
B. 5x - y + 3 = 0.
C. x + 5y + 3 = 0.
D. x - 5y + 3 = 0.
Lời giải.
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung là
Thay vào Δ, ta được -5x' + y' - 3 = 0 hay 5x' - y' + 3 = 0.
Chọn B.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng Δ:3x - 4y + 5 = 0. Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ' có phương trình là:
A. 4x - 3y - 5 = 0.
B. 3x + 4y - 5 = 0.
C. 4x - 3y + 5 = 0.
D. 3x + 4y + 5 = 0.
Lời giải.
• Với mỗi điểm M[x,y] ∈ Δ có tương ứng một điểm M'[x',y'] ∈ Δ'
• Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng Đa là
• Thay [*] vào phương trình của đường thẳng Δ, ta được 3y' - 4x' + 5 = 0 ⇔ 4x' - 3y' - 5 = 0. Suy ra Δ': 4x - 3y - 5 = 0.
Chọn A
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + y - 1 = 0. Qua phép đối xứng trục Δ: 2x - y + 1 = 0, đường thẳng d biến thành đường thẳng d' có phương trình là:
A. 3x - y + 1 = 0.
B. x + 3y - 3 = 0.
C. x - 3y + 3 = 0.
D. x + 3y + 1 = 0.
Lời giải.
Tọa độ giao điểm A của d và Δ thỏa mãn hệ
Vì A ∈ Δ nên qua phép đối xứng trục Δ biến thành chính nó, tức A' ≡ A[0;1].
Chọn điểm B[1;-2] ∈ d.
Đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với Δ có phương trình l: x + 2y + 3 = 0.
Gọi H = Δ ∩ l, suy ra tọa độ điểm H thỏa hệ
Gọi B'[x';y'] là điểm đối xứng của B qua Δ → H là trung điểm của BB'
Đường thẳng d' cần tìm đi qua hai điểm A', B' nên có phương trình x - 3y + 3 = 0.
Chọn C.
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: 3x - 5y + 9 = 0, phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ' có phương trình là
A. -3x + 5y - 9 = 0.
B. 3x + 5y - 9 = 0.
C. 3x + 5y + 9 = 0.
D. -3x + 5y + 9 = 0.
Lời giải
Chọn C
Giả sử M[x;y] là điểm bất kì thuộc Δ, M'[x';y'] = DOx[M].
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox là:
Do đó M[x';-y'], vì M ∈ Δ nên: 3x' - 5[-y'] + 9 = 0 ⇔ 3x' + 5y' + 9 = 0[*]
Vì tọa độ điểm M'[x';y'] thỏa mãn phương trình [*], mà khi M thay đổi thì M'chạy trên đường thẳng Δ' là ảnh của đưởng thẳng Δ qua phép đối xứng trục Ox, do đó phương trình đường thẳng Δ' là 3x + 5y + 9 = 0.
Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của dqua phép đối xứng trục Ox.
A. d': 2x - 2y + 4 = 0.
B. d': x - 2y + 2 = 0.
C. d': 3x - 2y + 4 = 0.
D. d': x - 2y + 4 = 0.
Lời giải
Chọn D
Tìm ảnh của d.
Lấy M[x;y] ∈ d ⇒ x + 2y + 4 = 0
Gọi N[x';y'] là ảnh của M qua phép đối xứng ĐOx.
Ta có
x' - 2y' + 4 = 0. Vậy d': x - 2y + 4 = 0.
Câu 7. Cho đường thẳng [d] có phương trình 4x + 3y - 5 = 0 và đường thẳng [Δ] có phương trình x + 2y - 5 = 0. Phương trình đường thẳng [d'] là ảnh của đường thẳng [d] qua phép đối xứng trục [Δ] là
A. x - 3 = 0.
B. 3x + y - 1 = 0.
C. 3x + 2y - 5 = 0.
D. y - 3 = 0.
Lời giải
Chọn D
Gọi M = [d]∩[Δ] ⇒ M[-1; 3].
Lấy N[2;-1] ∈ [d].
Gọi [d1] là đường thẳng qua N và vuông góc với [Δ], ta có [d1]: 2x - y - 5 = 0
Gọi I = [d1]∩[Δ] ⇒ I[3; 1].
Gọi N' là ảnh của N qua phép đối xứng trục [Δ] ⇒ I là trung điểm của NN' nên N'[4; 3].
[d'] là ảnh của đường thẳng [d] qua phép đối xứng trục [Δ]
⇒ [d'] là đường thẳng qua M[-1; 3] và N'[4; 3].
Vậy [d']: y - 3 = 0.
Câu 8. Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0, d1: x + 2y - 3 = 0. Tìm ảnh của d1 qua phép đối xứng trục d.
A. d1': x + y - 3 = 0.
B. d1': 2x + 2y - 3 = 0.
C. d1': 2x + 2y - 1 = 0.
D. d1': 2x + y - 3 = 0.
Lời giải.
Ta có d1 ∩ d = I[1;1] nên Đd[I] = I.
Lấy M[3;0] ∈ d1. Đường thẳng d2 đi qua M vuông góc với d có phương trình x - y - 3 = 0. Gọi M0 = d ∩ d2, thì tọa độ của M0 là nghiệm của hệ
Gọi M'là ảnh của M qua Đd thì M0 là trung điểm của MM'nên
M'[2;-1]. Gọi d1'= Đd[d1] thì d1' đi qua I và M'nên có phương trình
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 2 = 0. Ảnh của d qua phép đối xứng trục tung có phương trình:
A. x - y + 2 = 0.
B. x + y + 2 = 0.
C. x + y - 2 = 0.
D. x + 2y-2 = 0.
Lời giải:
Chọn B.
Lấy M[x;y] ⇒ M'[-x;y] đối xứng với M qua Oy.
Vậy ảnh của d qua phép đối xứng trục tung là:
-x - y - 2 = 0 ⇒ x + y + 2 = 0
Câu 10. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d'?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra 4 góc [2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau].
Đường phân giác của 2 cặp góc đối đỉnh chính là 2 trục đối xứng biến d thành d'.
Chọn C.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp