Trong tinh thể có bao nhiêu yếu tố đối xứng

Chương 3 HÌNH HỌC CẤU TRÚC TINH THỂ

Những nội dung về 32 nhóm điểm và về 47 hình đơn là những vấn đề thuần tuý hình thái, thuộc về tinh thể học vĩ mô. Sau khi xuất hiện phương tiện phân tích cấu trúc tinh thể chẳng hạn, tia X và năng lực nhiễu xạ của nó trong mạng tinh thể, đầu thế kỉ XX, khả năng đi sâu vào cấu trúc bên trong tinh thể, vào tinh thể học vi mô mới được rộng mở.

3.1 ĐỐI XỨNG CỦA CẤU TRÚC TINH THỂ

Nội dung cơ bản sẽ xem xét dưới đây là 230 nhóm đối xứng khơng gian. Trong khn khổ của chương này, nhóm điểm tổ hợp yếu tố đối xứng của hình hữu hạn là chỗ xuất phát để suy đốn nhóm khơng gian, tập hợp yếu tố đối xứng của hình vơ hạn.

3.1.1 Yếu tố đối xứng trong mạng tinh thể

Những yếu tố đối xứng của đa diện tinh thể, cũng có mặt hết thảy trong cấu trúc tinh thể. Đó là: – Trục xoay các bậc hai, ba, bốn, sáu; – Mặt gương; – Trong số các trục nghịch đảo, ngoài tâm đối xứng và trục bậc bốn nghịch đảo, mạng tinh thể cũng có các trục nghịch đảo bậc ba và bậc sáu chúng có mặt ở đây không phải dưới dạng tập hợp kiểu Bravais L3C và L3P. Nhưng đặc trưng của mạng, ngoài mười bốn loại mạng Bravais hay phép tịnh tiến, các yếu tố đối xứng phức là trục và mặt đối xứng, mà ngoài phép xoay và phép phản chiếu còn chứa thêm phép trượt. Đó là: – Trục xoắn; – Mặt ảnh trượt. Mười bốn loại mạng Bravais Mạng không gian được mô tả như hệ thống trật tự các nút điểm. Trong hệ thống ấy, 8 nút bất kì kề nhau cho một khối bình hành cơ sở. Cho nên, mạng khơng gian có thể xem như hệ thống các khối bình hành cơ sở xếp song song và kề nhau. Một mạng không gian đơn giản nguyên thuỷ, số khối bình hành cơ sở bằng nhau ấy bằng số nút của mạng. Mạng khơng gian có 14 loại xác định. Mỗi loại có một ơ mạng cơ sở; nó tiêu biểu cho tinh thể về mặt đối xứng và tuân theo những quy phạm quốc tế vế phép định trục. Cần nhắc lại rằng mỗi loại mạng có thể thay thế bằng chùm các vectơ bước tịnh tiến chung gốc tại đỉnh. Ô nguyên thuỷ P hay R với 8 nút tại đỉnh thì thay bằng 3 vectơ tịnh tiến trùng với các cạnh của ô cơ sở. Ngồi ơ ngun thuỷ với nút tại đỉnh tức là 3 bước tịnh tiến trùng các cạnh, phải kể thêm: – Ô mạng tâm khối I có thêm nút tại tâm ô, tức là bước tịnh tiến thứ tư xyz T JJJJG dọc chéo khối và với độ lớn bằng một nửa chéo. – Ô mạng tâm đáy C hay AB trong hệ trực thoi có thêm nút tại tâm hai đáy, tức là bước tinh tiến thứ tư xy T JJJG hay yz T JJJG xz T JJJG theo hướng chéo đáy và với độ lớn bằng một nửa chéo. – Ô mạng tâm mặt F có thêm các nút tại tâm các mặt, tức là 3 bước tịnh tiến dọc đường chéo các đáy xy T JJJG , yz T JJJG và xz T JJJG với độ lớn bằng một nửa chéo. Vậy, mỗi loại mạng là một nhóm bước tịnh tiến: mạng nguyên thuỷ P là 3 bước, mạng tâm khối I 4 bước, mạng tâm đáy C 4 bước, mạng tâm mặt F 6 bước. Thật ra, chỉ cần 3 bước tịnh tiến là đủ để đặc trưng cho mỗi loại mạng [13]. Trục xoắn Trong số các trục phức đã biết có trục nghịch đảo gồm phép xoay và phép nghịch đảo và trục gương gồm phép xoay và phép phản chiếu qua mặt gương vng góc. Trục xoắn hình 3.1 cũng là trục phức: nó bao gồm phép xoay bằng 360 ° : n và bước trượt. Mạng khơng gian có thể có trục xoắn bậc hai, bậc ba, bậc bốn và bậc sáu. Chúng phân biệt khơng những bằng góc quay cơ sở, mà còn bằng độ lớn của bước trượt. Ví dụ: Trục xoắn bậc hai 2 1 có góc quay cơ sở 180 ° và bước trượt t G bằng 12 của bước tịnh tiến T JG tương ứng bước tịnh tiến của mạng dọc theo trục. Trục xoắn bậc ba 3 1 có góc quay cơ sở bằng 120 ° và bước trượt z t JJG bằng 13 của z T JJG . Trong mạng có những trục xoắn sau đây: T 4 T 4 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 . Trong đó, một số ghép với nhau thành những cặp trục phải-trái: 3 1 − 3 2 , 4 1 − 4 3 , 6 2 − 6 4 và 6 1 − 6 5 . Dưới tác dụng của các trục xoắn, nút mạng phân bố thành các chuỗi song song với trục, các chuỗi lại so le làm thành đường xoắn xung quanh trục hình 3.1. Mặt ảnh trượt mặt trượt Mặt ảnh trượt hình 3.2 bao gồm phép phản chiếu qua gương và bước trượt song song với mặt. Nút mạng phản chiếu qua mặt và đồng thời dịch chuyển theo bước trượt. Tuỳ hướng và độ lớn của bước trượt, mặt ảnh trượt chia ra như sau: Mặt a có bước trượt x t JJG dọc theo chiều OX với độ lớn x T JJG : 2. Mặt b có bước trượt y t JJG dọc theo chiều OY với độ lớn y T JJG : 2. Mặt c có bước trượt z t JJG dọc theo chiều OZ với độ lớn z T JJG : 2. Mặt n và d có bước trượt xz t JJJG , yz t JJJG và xy t JJJG dọc theo đường chéo, độ lớn lần lượt bằng 1 : 2 và 1 : 4 độ lớn của bước tịnh tiến tương ứng, tức là bằng: yz xy xz T T T 2 2 2 và yz xy xz T T T 4 4 4 [13] Tương tác của yếu tố đối xứng Trước khi nói sự suy đốn nhóm khơng gian hãy nói đến sự tương tác của các yếu tố đối xứng. Những quy tắc đã đề cập trong mục 2.1.2 đã áp dụng cho hình hữu hạn vẫn giữ nguyên hiệu lực trong mạng. Lần này có sự tham gia của phép tịnh tiến bao gồm bước tịnh tiến và bước trượt [13,14]. Tương tác giữa phép tịnh tiến và yếu tố đối xứng Trong trường hợp tổng quát, phép tịnh tiến thứ tư dọc đường chéo khối của mạng tâm khối, bước tịnh tiến dọc đường chéo mặt của mạng tâm đáy hay tâm mặt có thể tác dụng xiên góc lên yếu tố đối xứng dọc các trục toạ độ. Hết thảy, chúng đều có độ lớn bằng một nửa đường chéo các loại. Nó sẽ phân tích thành 2 hay 3 thành phần t G song song với các trục toạ độ và có độ lớn bằng độ lớn của bước trượt phổ biến, tức là bằng T X : 2, T Y : 2, T Z : 2 và song song hoặc vng góc so với yếu tố đối xứng. – Thành phần song song t JJG hay hình chiếu của phép tịnh tiến xiên trên yếu tố đối xứng sẽ trở thành bước trượt của trục xoay, biến nó thành trục xoắn và ngược lại, có thể triệt tiêu bước trượt của trục xoắn, khiến nó trở thành trục xoay hay trục xoắn khác. Mặt gương thành mặt ảnh trượt và ngược lại, hoặc mặt ảnh trượt có thể đổi tên cũng nhờ nó. Chẳng hạn, vectơ t JJG với độ lớn t = X 1 T 2 biến m XZ m XY mặt gương thẳng đứng vng góc OY hay nằm ngang thành a XZ a XY , biến a XZ a XY thành m XZ m XY , biến b XY thành n XY , biến n XZ thành c XZ , biến c XZ thành n XZ , v.v… – Thành phần vng góc t ⊥ JJG hay là hình chiếu của phép tịnh tiến xiên trên pháp tuyến của yếu tố đối xứng sẽ làm xuất hiện yếu tố đối xứng cùng tên và song song, trong đó: + Mặt gương cùng tên hay tâm nghịch đảo cách mặt tâm cũ một khoảng bằng 1 2 t ⊥ về phía tịnh tiến. + Trục xoay và trục xoắn bậc n nằm cách trục cũ một khoảng bằng 1 2 t ⊥ sin 2 α , dọc theo hướng tạo với t ⊥ JJG một góc bằng 90° − 2 α , trong đó α là góc quay cơ sở của trục. Trên hình 3.3,a trục xoay bậc bốn chịu tác dụng của t ⊥ JJG \= T JG thì sinh thêm trục mới cùng tên tại cự li sin 45 2 Τ ° theo hướng 90 ° − 45° = 45° so với hướng của vectơ T JG . Trục xoay bậc bốn mới sinh sẽ nằm tại tâm điểm của hình vng với cạnh T. Tương tự, dưới tác dụng của bước tịnh tiến vng góc T JG , trục xoay bậc ba hình 3.3,b sẽ có thêm trục mới cùng tên trên hướng làm thành với T JG một góc bằng 90 ° − 60° = 30°, cách trục cũ một khoảng bằng T 3 : 3; trục mới sinh sẽ nằm ở tâm điểm của tam giác với cạnh T. Bằng cách đó, t ⊥ JJG làm cho trục bậc hai tái hiện ở phía tịnh tiến giống như cách của mặt gương hay tâm nghịch đảo. + Trục xoay bậc cao và nghịch đảo có thể là tập hợp yếu tố đối xứng đơn; ví dụ, trục xoay bậc sáu = trục xoay bậc ba + trục xoay bậc hai, trục nghịch đảo bậc ba = trục xoay bậc ba + phép nghịch đảo, trục nghịch đảo bậc sáu = trục xoay bậc ba + mặt gương vng góc, v.v… thì mỗi yếu tố đối xứng đơn chịu tác dụng của bước trượt theo những quy tắc riêng của nó. Chẳng hạn, chịu tác dụng của t ⊥ JJG \= T JG trục xoay bậc sáu sẽ sinh ra những trục mới, cùng tên với các trục vốn là thành phần của nó. Trục xoay bậc hai nằm phía T JG và cách trục sáu một đoạn bằng một nửa độ dài của tịnh tiến. Trục xoay bậc ba sẽ nằm tại tâm của tam giác đều với cạnh T, như trên đã nói. Hình 3.3 Tương tác của phép xoay quanh trục bậc n a- trục bậc bốn; b- trục bậc ba với véctơ tịnh tiến → T vng góc, sinh ra trục mới cùng bậc tại tâm của đa giác vuông hay tam giác với cạnh T Trong trường hợp trục nghịch đảo bậc bốn thì nó vốn bao gồm hai thao tác đối xứng: phép xoay 90 ° và phép nghịch đảo qua điểm đặc biệt; ngồi ra, nó còn chứa phép xoay 180°, tức là trục xoay bậc hai. Dưới tác dụng của vectơ vng góc t ⊥ JJG các trục xoay thành phần đều xuất hiện theo cách riêng, như trên đã nói. Điểm đặc biệt có tác dụng như tâm nghịch đảo, nhưng khơng cứ là yếu tố đối xứng độc lập không tách khỏi trục nghịch đảo bậc bốn. Vậy, vectơ vng góc khơng có tác dụng đẩy điểm đặc biệt ra khỏi trục đối xứng của nó; nhưng nếu vectơ song song có thể biến trục xoay bậc hai thành trục xoắn, thì nó cũng dịch chuyển điểm đặc biệt đi một đoạn bằng một nửa độ dài của nó. Các mặt đối xứng cắt nhau thì trên giao tuyến sẽ sinh ra trục đối xứng quy tắc một, xem 2.1.2. Trục mới sinh này có thể là trục xoắn; tuỳ số bước trượt song song với giao tuyến tổng hợp từ các mặt ảnh trượt giao nhau. Nếu tổng của chúng bằng độ dài T của bước tịnh tiến tương ứng, chúng triệt tiêu nhau, trục mới sinh sẽ là trục xoay. Tổng ấy bằng T2 chẳng hạn, trục ấy sẽ là 2 1 4 2 hay 6 3 . Riêng mặt ảnh trượt d với bước trượt bằng ẳ chéo mặt mặt ảnh trượt n có bước trượt bằng 12 độ dài của chéo, thì nó có đặc điểm riêng: – Mặt d chỉ có hướng trượt dọc theo một trong 2 chéo mặt. – Mặt d chỉ có mặt trong loại mạng tâm mặt F; như vậy, chúng không tồn tại đơn độc trong mạng và phải đi kèm các mặt vng góc cùng tên. – Trục bậc hai giao tuyến sẽ xen kẽ nhau và thuộc hai loại tuỳ chiều của bước trượt từ các mặt cắt nhau: là trục xoay nếu các bước trượt khác chiều và là trục xoắn nếu chúng cùng chiều [14].

3.1.2 Nhóm đối xứng khơng gian