+] Gọi \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \] là số có ba chữ số khác nhau được lập từ tập các chữ số trên.
Ta có: \[{a_1} \ne 0 \Rightarrow {a_1}\] có 3 cách chọn.
\[{a_2},\;{a_3}\] có \[A_3^2 = 6\] các chọn.
\[ \Rightarrow \] có \[3.6 = 18\] số được chọn.
+] Tính tổng các số lập được:
Ta thấy số 1 có thể xuất hiện ở hàng trăm 6 lần: \[102;\;103;\;120;\;130;\;123;\;132.\]
Số 1 có thể xuất hiện ở hàng chục 4 lần: \[210;\;310;\;213;\;\;312.\]
Số 1 có thể xuất hiện ở hàng đơn vị 4 lần: \[201;\;301;\;231;\;321.\]
Tương tự đối với các số \[2\] và \[3.\] Số \[0\] không ảnh hưởng đến tổng cần tính.
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \overline {{a_1}{a_2}{a_3}} = 100{a_1} + 10{a_2} + {a_3}\\ = 6.100\left[ {1 + 2 + 3} \right] + 4.10\left[ {0 + 1 + 2 + 3} \right] + 4.\left[ {0 + 1 + 2 + 3} \right]\\ = 3600 + 240 + 24 = 3864.\end{array}\]
Để lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta cần thực hiện 2 công đoạn: chọn chữ số hàng trăm và chọn 2 chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
+ Chọn chữ số hàng trăm từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, chữ số này phải khác 0, nên có 4 cách chọn.
+ Chọn 2 chữ số tiếp theo từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, hai chữ số này khác nhau và khác chữ số hàng trăm, nên số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4. Do đó có \[A_4^2 = 12\] cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân, có 4 . 12 = 48 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4.
Cách 2:
Mỗi cách lập một bộ gồm 3 chữ số từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên số cách lập bộ số là \[A_5^3\] = 60 [cách].
Tuy nhiên, số tự nhiên có 3 chữ số thì chữ số hàng trăm phải khác 0.
Ta lập các số có dạng \[\overline {0ab} \] , thì số cách lập là: \[A_4^2 = 12\] [cách].
Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là: 60 – 12 = 48 [số].