Từ 7 chữ số 1;2, 3, 4, 5, 6;7 có thể lập được bao nhiêu số tự 4 chữ số khác nhau
|
Giới thiệu về cuốn sách này Page 2Giới thiệu về cuốn sách này Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau? A.  B. C. D.
I. Hoán vị 1. Định nghĩa - Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. - Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau. 2. Số các hoán vị Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử. - Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1 - Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!. - Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang. Lời giải: Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách. II. Chỉnh hợp 1. Định nghĩa. - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. - Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh. 2. Số các chỉnh hợp - Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) . - Định lí:Ank = n(n−1)...(n−k+ 1) - Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho. Lời giải: Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử: Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài. - Chú ý: a) Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n!(n−k)!; 1 ≤ k ≤n. b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy: Pn = Ann. III. Tổ hợp 1. Định nghĩa. - Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. - Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. - Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}. Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}. 2. Số các tổ hợp. Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n). - Định lí: Cnk = n!k!(n−k)!. Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho. Lời giải: Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm). Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83 = 56. 3. Tính chất của các số Cnk a) Tính chất 1. Cnk = Cnn−k; 0 ≤ k ≤ n. Ví dụ 6. C83=C85=56. b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan). Cn−1k−1 + Cn−1k= Cnk; 1 ≤ k < n Ví dụ 7. C84+C85=C95=126. Page 2
I. Hoán vị 1. Định nghĩa - Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. - Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau. 2. Số các hoán vị Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử. - Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1 - Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!. - Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang. Lời giải: Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách. II. Chỉnh hợp 1. Định nghĩa. - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. - Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh. 2. Số các chỉnh hợp - Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) . - Định lí:Ank = n(n−1)...(n−k+ 1) - Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho. Lời giải: Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử: Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài. - Chú ý: a) Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n!(n−k)!; 1 ≤ k ≤n. b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy: Pn = Ann. III. Tổ hợp 1. Định nghĩa. - Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. - Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. - Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}. Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}. 2. Số các tổ hợp. Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n). - Định lí: Cnk = n!k!(n−k)!. Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho. Lời giải: Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm). Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83 = 56. 3. Tính chất của các số Cnk a) Tính chất 1. Cnk = Cnn−k; 0 ≤ k ≤ n. Ví dụ 6. C83=C85=56. b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan). Cn−1k−1 + Cn−1k= Cnk; 1 ≤ k < n Ví dụ 7. C84+C85=C95=126. Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần lập là $\overline{abcd}$ 1) Số có 4 chữ số Chọn $a,b,c,d$ đều có 7 cách ⇒ Số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số là $7^4$ cách 2) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau Chọn $a$ có 7 cách Chọn $b$ có 6 cách Chọn $c$ có 5 cách Chọn $d$ có 4 cách ⇒ Số cách lập được số có 4 chữ số đôi một khác nhau là $7.6.5.4=840$ cách 3) $\overline{abcd}$ là số chẵn Chọn $d$ có 3 cách (2 hoặc 4 hoặc 6) Chọn $a,b,c$ đều có 7 cách ⇒ Số cách lập được số tự nhiên chẵn có 4 chữ số là $3.7^3=1029$ cách 4) Chọn $d$ có 3 cách (2 hoặc 4 hoặc 6) Chọn $a$ có 6 cách Chọn $b$ có 5 cách Chọn $c$ có 4 cách ⇒ Số cách lập được số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau là: $3.6.5.4=360$ cách 5) Số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số đầu tiên là chữ số 2 Chọn a có 1 cách $(a=2)$ Chọn $b,c,d$ đều có 7 cách ⇒ Số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số đầu tiên là chữ số 2 có $1.7.7.7=343$ cách 6) Chọn $d$ có 6 cách (d=1,2,3,4,6,7) Chọn $a,b,c$ đều có 7 cách ⇒ Số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số mà không chia hết cho 5 là $6.7.7.7=2058$ cách Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là: Số các hoán vị của \(10\) phần tử là: Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là: Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là: Một lớp có \(40\) học sinh. Số cách chọn ra \(5\) bạn để làm trực nhật là: Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là: Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc? |
