Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Page 2
Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
A.
B.
C.
D.
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.
2. Số các hoán vị
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
- Định lí: Pn = n.[n – 1].[n – 2]….2.1
- Chú ý: Kí hiệu n.[n – 1]…2.1 là n! [đọc là n là giai thừa], ta có: Pn = n!.
- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.
Lời giải:
Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa.
- Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1].
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.
2. Số các chỉnh hợp
- Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử [1 ≤ k ≤ n] .
- Định lí:Ank = n[n−1]...[n−k+ 1]
- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.
Lời giải:
Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:
Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài.
- Chú ý:
a] Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n![n−k]!; 1 ≤ k ≤n.
b] Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Vì vậy: Pn = Ann.
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa.
- Giả sử tập A có n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.
Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.
2. Số các tổ hợp.
Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử [ 0 ≤ k ≤ n].
- Định lí: Cnk = n!k![n−k]!.
Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.
Lời giải:
Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 [điểm].
Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83 = 56.
3. Tính chất của các số Cnk
a] Tính chất 1.
Cnk = Cnn−k; 0 ≤ k ≤ n.
Ví dụ 6. C83=C85=56.
b] Tính chất 2 [công thức Pa-xcan].
Cn−1k−1 + Cn−1k= Cnk; 1 ≤ k