Tính phân tích của đa thức trên vành
in Đại Số by | No comments
Thông thường khi xét đa thức f $\in \mathbb{R}[x]$, f phân tích duy nhất được thành các đa thức bất khả quy. Câu hỏi được đặt ra khi ta thấy thế $\mathbb{R}$ bởi một trường, vành, bất kì thì tính chất trên liệu có còn đúng? Xây dựng lí thuyết để trả lời câu hỏi này, ta sẽ nhận được những ứng dụng rất thú vị.
1. Mở đầu:
Bài viết này nghiên cứu đa thức trên cấu trúc tổng quát của $\mathbb{R}$, đó là TRƯỜNG và rộng hơn là VÀNH:
Định nghĩa 1:Tập hợp $K$ được trang bị 2 phép toán + và . thỏa mãn:
$[K,+]$ là nhóm abel
$K$ đóng với phép nhân
Hai phép toán kết hợp, nghĩa là $\forall a,b,c \in K$ thì $a[b+c]=ab+ac$ và $[b+c]a=ba+ca$
Khi đó $K$ gọi là vành.
Thông thường ta kí hiệu 0 là đơn vị của phép + và 1 là đơn vị của phép . [nếu có]
Khi phép $.$ có đơn vị ta gọi $K$ là vành có đơn vị, khi phép $.$ giao hoán ta gọi $K$ là vành giao hoán. Đặc biệt, khi $[K$\ $\{0\},.]$ là nhóm abel thì $K$ gọi là trường.
Ví dụ như tập số nguyên $\mathbb{Z}$ hay tập số nguyên modulo $n$, $\mathbb{Z}_n$ cùng với phép $+$ và $.$ thông thường lập thành một vành giao hoán. Tập số hữu tỉ $\mathbb{Q}$, tập các số nguyên theo modulo p nguyên tố $\mathbb{Z}_p$, tập số thực $\mathbb{R}$, tập số phức $\mathbb{C}$, tập các số đại số $R_{alg}$ cùng với phép $+$ và $.$ thông thường lập thành một trường.
Để hiểu và xây dựng được một vành đa thức, ta cần xem xét một số tính chất cơ bản của vành và trường. Tương tự với nhóm, ta cũng có thể xây dưng đồng cấu từ vành như sau,
Định nghĩa 2:Cho K và L là hai vành, xét hàm $\phi:K \rightarrow L$ thỏa mãn:
$\phi[a+b]=\phi[a]+\phi[b]$
$\phi[ab]=\phi[a].\phi[b]$
Khi đó $\phi$ được gọi là một đồng cấu từ vành K tới vành L.
Nếu $\phi$ đơn ánh, thì $\phi$ được gọi là đơn cấu
Nếu $\phi$ toàn ánh, thì $\phi$ được gọi là toàn cấu
Nếu $\phi$ song ánh, thì $\phi$ được gọi là đẳng cấu. Hai vành $K, L$ tồn tại đẳng cấu giữa chúng được gọi là hai vành đẳng cấu, kí hiệu $K\cong L$
Hàm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_n, a\rightarrow a$ [mod $n$] là một toàn cấu từ $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_n$. Phép nhúng $\mathbb{Z}$ vào $\mathbb{Q}$ là một đơn cấu vành hoặc sau này chúng ta có phép nhúng đa thức $\alpha :K[x]\rightarrow K,f[x]\rightarrow f[u]$
Khi nhắc đến đồng cấu, việc ta quan tâm là hạt nhân và ảnh của đồng cấu đó. Tương tự như nhóm con chuẩn tắc trong lý thuyết nhóm, khái niệm ideal cũng sinh ra từ việc khảo sát hạt nhân của đồng cấu, để tránh việc phải nhắc đến ideal trái, phải từ giờ ta sẽ coi các vành đề cập đều giao hoán.
Định lí 1.1:
Cho $A$ là một tập con của vành $K$. $A$ được gọi là một ideal của $K\Leftrightarrow$ $A$ là vành và với mọi $a\in K, b\in A$ thì $ab\in A$.
Khi đó, tập hợp $A$ là một ideal của $K\Leftrightarrow$ tồn tại đồng cấu vành $f$ từ $K$ nhận $A$ làm hạt nhân.
Chứng minh:
Chiều $\Leftarrow$, giả sử tồn tại một đồng cấu $f$ từ $K$ nhận $A$ là hạt nhân. Với $a,b\in A$, $f[a+b]=f[a]+f[b]=0$ và $f[ab]=f[a]f[b]=0$ nên $a+b, ab\in A$, từ đây ta dễ dàng chứng minh được $A$ là một vành, mặt khác với $a\in K, b\in A$ thì $f[ab]=f[a]f[b]=0$, do đó $ab\in A$ nên $A$ là một ideal của $K$
Ở trên ta mới chứng minh khẳng định theo chiều $\Leftarrow$, để chứng minh được chiều ngược lại, ta cần tới định nghĩa về vành thương và định lí đồng cấu [tương tự như trong lý thuyết nhóm có nhóm thương vậy]
Định lí 1.2:Cho vành $K$ và $A$ là một ideal của $K$. Khi đó: $K/A$ là tập hợp các lớp ghép trái của $A$ trên $K$ theo phép $+$, cùng với hai phép toán $+$ và $.$ lập thành 1 vành, gọi là vành thương.
Chứng minh:
$K/A$ là tập hợp các lớp ghép trái theo phép +, tức là $K$ phân hoạch được thành $\{a_1+A, a_2+A,..\}$. Hiển nhiên $K/A$ cùng với phép + lập thành nhóm abel.
Mặt khác, $[a+A][b+A]=ab+[a+b+A]A=ab+A$ do $A$ là ideal của $K$, từ đó ta có $K/A$ là một vành.
Sau khi xây dựng vành, quan sát thấy khi co một vành $K$ thành vành thương $K/A$, định lí đồng cấu vành sẽ cho ta biết quan hệ giữa hạt nhân và ảnh, cũng như lý giải hoàn toàn cách xây dựng nên khái niệm ideal trong định lí 1.1
Định lí 1.3:Cho $f:K\rightarrow L$ là một đồng cấu vành, khi đó $K/A\cong Im[f]$ với $A=Ker[f]$
Chứng minh:
Xét hàm $g:K/A\rightarrow Im[f], a+A\rightarrow f[a]$.
\\Dễ dàng kiểm chứng đây là một đồng cấu nhóm. Ngoài ra, nếu $g[a+A]=g[b+A]$ thì $f[a]=f[b]$ dẫn tới $a-b\in A$ hay $a+A=b+A$ nên $g$ là đơn cấu. Hiển nhiên $g$ là toàn cấu.
Vậy $g$ là đẳng cấu, hay $K/A\cong Im[f]$
Từ đây ta hoàn thiện định lí 1.1, với mọi ideal $A$ của $K$, đồng cấu $f:K\rightarrow K/A, a\rightarrow a+A$ có hạt nhân chính là $A$. Điều đó khẳng định sự tồn tại của ideal gắn liền với đồng cấu vành, cũng giống như sự tồn tại của nhóm con chuẩn tắc gắn liền với đồng cấu nhóm vậy.
Ví dụ như $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z_n}, a\rightarrow a$[mod $n$], ta sẽ có $Ker[f]=n\mathbb{Z}$ là một ideal của $\mathbb{Z}$ và $Im[f]=\mathbb{Z}_n$, do đó ta có đẳng cấu quen thuộc: $\mathbb{Z}_n\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Kết thúc mục này, chúng ta cùng đến với một ứng dụng của đồng cấu vành:
Bài toán 1:Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, giả sử $[a+b\sqrt{2}]^n=A+B\sqrt{2}$ với $A, B\in \mathbb{Z}$. Khi đó $[a-b\sqrt{2}]^n=A-B\sqrt{2}$.
Chứng minh:
Xét vành $Q[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}, a,b \in \mathbb{Z}\}$ và hàm $f:Q[\sqrt{2}]\rightarrow Q[\sqrt{2}], a+b\sqrt{2}\rightarrow a-b\sqrt{2}$, dễ dàng kiểm tra $f$ là một đồng cấu vành.
Khi đó $f[[a+b\sqrt{2}]^n]=f[a+b\sqrt{2}]^n=[a-b\sqrt{2}]^n$ mà $f[[a+b\sqrt{2}]^n]=f[A+B\sqrt{2}]=A-B\sqrt{2}$.
Do đó: $[a-b\sqrt{2}]^n=A-B\sqrt{2}$.
Ta đã chuẩn bị cái nền để ta nghiên cứu đa thức trên đó. Mà khoan, đa thức là gì nhỉ?
2. Vành đa thức
Ta thường gặp các đa thức có hệ số nguyên, hệ số thực, Khi đó các đa thức có dạng hệ số chung như vậy, lập nên vành đa thức nguyên $\mathbb{Z}[x]$ và vành đa thức thực $\mathbb{R}[x]$. Thông thường ta hiểu đa thức là một biểu thức có hệ số và có ẩn là một cách hiểu không rõ ràng. Do đó ta cần xây dựng định nghĩa của đa thức một cách tường minh?
Cho $K$ là một vành có đơn vị . là 1.
Xét tập hợp gồm tẩt các dãy vô hạn có các phần tử thuộc $K$ thỏa mãn chỉ có hữu hạn chỉ số khác 0. Từ đây ta định nghĩa phép toán $+$ và $.$ tương tự phép $+$ và $.$ trên $K$ như sau:
$[a_i]+[b_i]=[a_i+b_i]$
$[a_i].[b_i]=[c_i]$ với $c_i=\Sigma_{j=0}a_jb_{i-j}$
Ta sẽ chứng minh tập hợp trên cùng với phép $+$ và $.$ vừa được định nghĩa lập thành một vành
Định lí 2.1:Tập hợp gồm các dãy vô hạn các phần tử thuộc $K$, $[a_0,a_1,]$ thỏa mãn chỉ có hữu hạn chỉ số khác 0, cùng với phép $+$ và $.$ lập thành một vành
Chứng minh:
Hiển nhiên tập trên lập thành nhóm giao hoán với phép cộng, do phép cộng giao hoán trên $K$. Phép nhân trên tập này cũng hiển nhiên đóng theo định nghĩa, và phép nhân kết hợp vì:
$[[a_i].[b_i]].[c_i]=[d_i][c_i]=[e_i]$ với $d_i=\Sigma_{j=0}^ia_jb_{i-j}$
nên $e_i=\Sigma_{k=0}^id_kc_{i-k}=\Sigma_{k=0}^i[\Sigma_{j=0}^ka_jb_{i-j}]c_{i-k}
=\Sigma_{j+k+m=i}a_jb_kc_m$
Tương tự ta cũng chứng minh được $[a_i].[[b_i].[c_i]]=\Sigma_{j+k+m=i}a_jb_kc_m$ nên $[[a_i].[b_i]].[c_i]=[a_i].[[b_i].[c_i]]$ hay $.$ kết hợp trên $K$
Cuối cùng ta chứng minh $+$ và $.$ phân phối,
$[a_i][[b_i]+[c_i]]=[a_i][b_i+c_i]=\Sigma_{j=0}^ia_j[b_{i-j}+c_{i-j}]=\Sigma_{j=0}^i[a_jb_{i-j}+a_jc_{i-j}]
=\Sigma_{j=0}^ia_jb_{i-j}+\Sigma_{j=0}^ia_jc_{i-j}=[a_i][b_i]+[a_i][c_i]$
Như vậy $+$ phân phối phải với $.$, tương tự $+$ phân phối trái nên ta có $.$ phân phối $+$
Vậy tập này cùng với phép $+$ và $.$ lập thành một vành.
Đặc biệt, khi $K$ giao hoán thì vành trên là vành giao hoán
Đơn vị $+$ của vành trên là $[0,0,0,]$ và đơn vị $.$ là $[1,0,0,]$.
Đặt $x=[0,1,0,]$, khi đó mọi dãy $f=[a_0,a_1,,a_n,0,0]$ phân tích duy nhất:
$[a_0,a_1,,a_n,]=a_0[1,0,0,]+a_1[0,1,0,0,]++a_n[0,0,,1,0,]=a_0+a_1x++a_nx^n$
hay $f=a_0+a_1x++a_nx^n$, tính duy nhất có được là do $f=0\Leftrightarrow a_i=0\forall 0\le i\le n$
Từ các nhận xét trên, ta xây dựng vành đa thức như sau
Định nghĩa 3:Vành dãy các phần tử thuộc $K$ gọi là vành đa thức ẩn $x$, kí hiệu là $K[x]$. Nói cách khác, $K[x]=\{a_0+a_1x++a_nx^n|n\in \mathbb{N}, a_i\in K\forall 0\le i\le n\}$
Với $f\in K[x]$, $f[x]=a_0+a_1x++a_nx^n$, thì bậc của đa thức $f$ là $n$, kí hiệu: $deg[f]=n$. Bậc của đa thức là một đặc trưng quan trọng của đa thức, do đó ta cần xem xét các tính chất của bậc đa thức dưới hai phép toán $+$ và $.$
Định lí 2.2:
Cho đa thức $f,g\in K[x]$, khi đó:
$deg[f.g]=deg[f]+deg[g]$
$deg[f+g]=\le max[deg[f],deg[g]$
Chứng minh:
Áp dụng định nghĩa phép nhân và phép cộng hai đa thức [hay hai dãy vô hạn] trên trường K
Ta vừa xây dựng vành đa thức với các tính chất cơ bản như đa thức trên trường số thực. Chúc mừng bạn đọc đã đến bước này, tới đây ta mới thực sự hiểu câu hỏi ta đặt ra là gì: liệu các đa thức trên vành này có thể phân tích duy nhất dưới dạng các nhân tử bất khả quy?
3. Tính chia hết trên vành
Khi nghiên cứu về việc phân tích các đa thức trong vành đa thức, việc đầu tiên ta quan tâm là phép chia hết. Do đó ta cần định nghĩa quan hệ chia hết trong vành và đặc biệt ta quan tâm đến vành Euclid và vành nhân tử hóa Gauss. Trước hết, ta cần định nghĩa tính chia hết trong vành.
Trong mục này, ta xét các quan hệ chia hết trên vành giao hoán có đơn vị $K$
Định nghĩa 4:Cho $a,b\in K$, ta nói $a$ là ước của $b$ [hay $b$ chia hết cho $a$] nếu tồn tại $c\in K:b=ac$
Trên vành $\mathbb{Z}$, tích 2 số bằng 0 thì một trong 2 thừa số phải bằng 0.Tuy nhiên trên vành nói chung không có tính chất này, giả sử tồn tại $a,b\in K$ và $a,b\ne 0$ thỏa $ab=0$, khi đó ta sẽ gặp một số trở ngại sau:
Thương trong phép chia hết không duy nhất, từ đó ảnh hưởng đến phép chia dư và đặc biệt là tính duy nhất của phân tích, điều mà ta đang hướng đến ở mục này
Ảnh hưởng đến các đặc trưng khác như ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, các tính chất liên quan đến ideal,
Ví dụ:Xét vành các số nguyên modulo 6: $\mathbb{Z}_6$ . Ta thấy $\mathbb{Z}_6$ không phải là miền nguyên vì $[2].[3]=[0]$, do đó ta thấy $[2]$ là ước của $[4]$ vì $[4]=[2].[2]$ nhưng $[4]$ cũng là ước của $[2]$ vì $[2]=[4].[2]$ trong khi $[2]$ và $[4]$ đều không khả nghịch. Tính chia hết khi xét trên $\mathbb{Z}_6$ khá khó để khai thác
Như vậy nếu chỉ đề cập đến chia hết nói riêng thì ta không cần quan tâm đến vấn đề trên, tuy nhiên khi nghiên cứu về tính phân tích, ta cần $K$ phải trang bị thêm:
Định nghĩa 5:Vành giao hoán $K$ được gọi là miền nguyên nếu $a.b=0$ thì $a=0$ hoặc $b=0$
Từ nay trong bài viết này, ta sẽ làm việc trên miền nguyên $K$
Phép chia hết trên vành là một quan hệ sắp thứ tự, thường là không toàn phần:
Định lí 3.1:Cho $a,b,c$ thuộc vành giao hoán có đơn vị $K$. Khi đó:
$a|a$
Nếu $a|b,b|c$ thì $a|c$
Nếu $a|b,b|a$ thì $a,b$ sai khác phần tử khả nghịch
Chứng minh:
$a=1.a$ nên $a|a$
$a|b,b|c$ dẫn tới tồn tại $u,v\in K$: $b=au,c=bv$ nên $c=auv$ hay $a|c$
$a|b,b|a$ thì tồn tại $k,h\in K: b=ka,a=hb$ nên $b=khb$, dẫn tới $kh=1$ nên $a,b$ sai khác một phần tử khả nghịch
Tính chia hết trong vành tuy hơi khác biệt so với tính chia hết trong $\mathbb{Z}$ nhưng cũng có nhiều đặc điểm giống nhau:
Định lí 3.2:Cho $K$ là một vành và $a,b,c \in K$
$a|b,a|c$ thì $a|b+c$ và $a|b-c$
$a|b$ thì $a|bc$
Chứng minh tính chất trên khá đơn giản, xin nhường lại bạn đọc.
Xét một phần tử $a\in K$, khi đó các bội của $a$ sẽ có dạng là $\{ak|k\in K\}$ chính là ideal sinh bởi $a$, do đó thực chất tính chia hết chính là việc phụ thuộc của ideal
Định lí 3.3:$a|b\Leftrightarrow [b]\subset [a]$
Trong đó, $[X]$ là ideal sinh bởi $X$ trong $K$
Chứng minh:$a|b\Leftrightarrow b=ak$ với $k\in K\Leftrightarrow b\in [a]\Leftrightarrow [b]\subset [a]$
Một đặc trưng cơ bản nữa của tính chia hết là tính thứ tự trong chia hết [như trong phần 3 của định lí]. Trong các ước chung của một phần tử $a$ và $b$, ta quan tâm đến phần tử nào đó lớn nhất để qua đó ta xác định được tập ước chung, đó chính là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$
Định nghĩa 6:Cho $a,b\in K$. Một phần tử $c\in K$ được gọi là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ nếu nó thỏa mãn:
$c|a,c|b$
$\forall t\in K: t|a,t|b$ thì $t|c$
Ta kí hiệu tập ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ là $gcd[a,b]$
Không giống như trong $\mathbb{Z}$, khi định lí phân tích nguyên tố rõ ràng chỉ ra ước chung lớn nhất của 2 số là duy nhất, trong vành khi ta chưa thể xây dựng một lý thuyết về phân tích nguyên tố thì ước chung lớn nhất của 2 phần tử sẽ là một tập. Tuy nhiên ta có một quan hệ giữa các phần tử trong tập:
Định lí 3.4:Nếu $d$ là một ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ thì $au$ cũng là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ với $u$ khả nghịch
Ngược lại nếu hai số $d, d$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ thì tồn tại $u$ khả nghịch sao cho $d=ud$
Chứng minh:Giả sử $d$ là một ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ và $u$ khả nghịch. Khi đó do $d|a, d|b$ nên $du|a, du|b$.
Xét $k|a$ và $k|b$ dẫn tới $k|d$ nên $k|du$, do đó $du$ là một ước chung lớn nhất của $a$ và $b$
Định lí trên càng chứng tỏ việc ta coi các phần tử khả nghịch trong $K$ như một đơn vị rất hợp lí. Nhận thấy rằng nếu $u$ là một phần tử khả nghịch trong $K$ và $a|b$ thì $au|b$. Quan hệ chia hết sai khác một phần tử khả nghịch, điều này cũng xảy ra khi ta định nghĩa các tính chất chia hết căn bản, do đó ta hoàn toàn có thể coi các phần tử khả nghịch trong vành là đơn vị [như trong cuốn [2]], ta có đủ cơ sở để định nghĩa quan hệ bằng nhau mới như sau
Định nghĩa 7:Hai phần tử $a,b\in K$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi $a,b$ sai khác một phần tử khả nghịch. Kí hiệu: $a=b$
Bằng cách này chúng ta đã chỉ ra được ước chung lớn nhất của 2 số nếu tồn tại là duy nhất, do đó ta kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là $gcd[a,b]$
Tuy nhiên tới đây ta mới đặt ra câu hỏi: chắc gì ước chung lớn nhất giữa 2 số đã tồn tại?
Đến đây ta nhớ đến một định lí rất quan trọng trong việc xác định ước chung lớn nhất mà không cần phân tích các thừa số, đó là thuật chia Euclid hay định lí Bezout, ở đó phát biểu là: $d=[a,b]$ khi và chỉ khi tồn tại $u,v\in \mathbb{Z}:au+bv=d$ dẫn tới $[a,b]=d$
Điều này gợi ý cho ta về việc biểu diễn tuyến tính $d$ theo $a$ và $b$, hay $d\in [a,b]$ với $[a,b]$ là ideal sinh bởi $a$ và $b$ nên $[a,b]\subset [d]$. Tuy nhiên để khẳng định $[a,b]=[d]$ hay mọi cặp phần tử đều có ước chung lớn nhất thì mọi ideal sinh bởi cặp phần tử phải sinh bởi một phần tử, theo quy nạp ta sẽ chứng được mọi ideal của vành đều là ideal sinh bởi một phần tử.
Định nghĩa 8:Miền nguyên $K$ được gọi là miền chính nếu mọi ideal của $K$ đều sinh bởi 1 phần tử
Do đó ta có thể chỉ ra sự tồn tại của ước chung lớn nhất của 2 cặp số
Định lí 3.5:Giả sử $K$ là môt miền chính, khi đó $d=gcd[a,b]\Leftrightarrow [a,b]=[d]$
Do đó ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ tồn tại.
Chứng minh:Chiều $\Rightarrow$, do $d|a$ và $d|b$ nên $a,b\in [d]$, nên $[a,b]\subset [d]$
Mặt khác, tồn tại $u\in K:[a,b]=[u]$ nên $[u]\subset [d]$ hay $d|u$, dẫn tới $d=uu$ với $u$ khả nghịch theo định nghĩa của ước chung lớn nhất, do đó $[a,b]=[u]=[d]$ .
Chiều $\Leftarrow$, do $[a,b]=[d]$ nên $a,b\in [d]$ hay $d|a$ và $d|b$. Mặt khác, tồn tại $u$ và $v$ thuộc $K$: với mọi $c|a,c|b$ thì $c|au+bv=d$, do đó $d$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.
Như vậy ta đã xây dựng được ước chung nhỏ nhất của 2 số trong miền chính, đây là cơ sở cho việc phân tích phần tử trong vành. Sau đây là một số ví dụ về các kết quả trong mục này:
Ví dụ:Trên vành số nguyên $\mathbb{Z}$, ta dễ dàng chứng minh $Z$ là miền nguyên và cũng là miền chính. Ví dụ xét 2 phần tử 12 và 9 thuộc $\mathbb{Z}$, khi đó ideal sinh bởi 12 là $[12]=12\mathbb{Z}$ và ideal sinh bởi 9 là $[9]=9\mathbb{Z}$, khi đó ước chung lớn nhất của 9 và 12 là $gcd[9,12]=3$ [thực ra có cả -3 nữa nhưng ta đã quy ước về sai khác phần tử khả nghịch], khi đó ideal sinh bởi 9 và 12 là $[9,12]=[3]=[-3]$
Ví dụ: Trong một vài cuốn sách ở cấp 3, tác giả thường kí hiệu $[a,b]$ là ước chung lớn nhất của $[a,b]$ thay cho $gcd[a,b]$. Điều này không hoàn toàn hợp lí vì kí hiệu $[a,b]$ để chỉ ideal sinh ra bởi $a$ và $b$ còn $gcd[a,b]$ là một số, tuy nhiên $[a,b]$ lại là ideal sinh bởi ước chung lớn nhất của $a,b$ nên trong một số trường hợp kí hiệu như vậy cũng được.
Nối tiếp đây là các vành đặc biệt ta đã nhắc đến ở đầu đề mục
4. Vành Euclid-Vành nhân tử hóa Gauss
Ta đến với 2 vành quan trọng trong việc nghiên cứu tính chia dư và phân tích một phần tử trong trường. Lưu ý rằng ta xét quan hệ hai phần tử bằng nhau nếu chúng sai khác một phần tử khả nghịch.
Trước hết, một vành nói chung không thể sắp thứ tự, dẫn tới không có cơ sở nào để đánh giá sự chia dư. Tuy nhiên ta có thể đánh số các phần tử trong vành để làm cơ sở để so sánh và từ đó xây dựng phép chia dư
Định nghĩa 9:Miền nguyên $K$ được gọi là một vành Euclid nếu:
$\exists \theta :K$\$ \{0\}\rightarrow N$ thỏa mãn:
$\theta [ab]\ge \theta[a]$ với mọi $a,b\in K$
Với mọi $a,b \in K$\$ \{0\}$, tồn tại $q$ và $r$ sao cho $a=bq+r$ và $r=0$ hoặc $\theta[r]0$ và $r0$ thì $ac+5bd=0$ và $ad+bc=0$ nên $acd=-5bd^2=-bc^2$
Nếu $b=0$ thì $c=0$ và $a=0$ hoặc $d=0$, vô lí
Nếu $b\ne 0$ thì $5=[\frac{c}{d}]^2$, vô lí.
Một cách bắt chước rất tự nhiên [copy là phải copy đến cùng], ta cũng tổng quát hóa ước chung lớn nhất trên vành Euclid:
Ví dụ: Vành số nguyên $\mathbb{Z}$ thông thường định nghĩa được ước chung lớn nhất, do đó ta dự đoán $\mathbb{Z}$ là một miền chính. Thật vậy gọi I là một ideal của $\mathbb{Z}$ thì tồn tại phần tử $a=\{x\in I|\theta[x]=|x| min\}$, khi đó xét phần tử $b$ bất kì trong I, tồn tại $q, r\in \mathbb{Z}$, $r=0$ hoặc $\theta[r]