Viết phương trình đường tròn đường kính AB nếu A 7 3 B 1 7

Đường tròn tâm $I\left[ {a;b} \right]$ và bán kính $R$ có dạng:

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

20:10:0726/04/2022

Viết phương trình đường tròn biết đường kính AB, hay bán kính R có tâm I là bài tập mà các em rất hay gặp trong nội dung hình học 10, đây cũng là kiến thức nền tảng giúp các em tiếp thu tốt bài học về mặt cầu sau này.

Bài viết này giúp các em hiểu cách lập phương trình đường tròn khi biết đường kính AB, lập phương trình đường tròn khi biến bán kính R và tâm I của đường tròn.

Như các em đã biết, đường tròn [C]: tâm I [a; b] và bán kính R có phương trình:

[x - a]2 + [y - b]2 = R2

* Cách lập phương trình đường tròn [C] biết đường kính AB:

Cho hai điểm A[xA; yA] và B[xB; yB]. Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:

- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB theo công thức: 

 ; 

- Bước 2: Tính độ dài IA.

- Bước 3: Lập phương trình đường tròn [C] tâm I và bán kính R = IA.

* Cách lập phương trình đường tròn [C] tâm I và đi qua điểm A

⇒ Đường tròn [C]: tâm I và bán kính R = IA.

* Một số bài tập, ví dụ minh họa cách lập phương trình đường tròn khi biết đường kính AB, hay tâm I và bán kính R.

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn [C] đường kính AB, biết A[1; 1] ; B[7; 5]

> Lời giải:

- Gọi I[xi;yi] là trung điểm của AB, ta có:

 

 

Vậy I[4;3] là tâm đường tròn [C]

- Ta lại có: 

 

Vậy phương trình đường tròn [C] tâm I[4;3] bán kính  có dạng:

 [x - 4]2 + [y - 3]2 = 13

⇔ x2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0

* Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn đường kính AB, biết A[3;-1] ; B[1;-5].

> Lời giải:

- Gọi I[xi;yi] là trung điểm của AB, ta có:

 

 

Vậy I[2;-3] là tâm đường tròn [C]

- Ta lại có:

Vậy phương trình đường tròn [C] tâm I[2;-3] bán kính  có dạng:

 [x - 2]2 + [y + 3]2 = 5

⇔ x2 + y2 - 4x  + 6y + 8 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A[-1;-2] và B[2;1].

* Lời giải:

- Gọi I[xi;yi] là trung điểm của AB, ta có:

 

Vậy I[1/2;-1/2] là tâm đường tròn [C]

- Ta lại có:

 

Vậy phương trình đường tròn [C] tâm I[1/2;-1/2] bán kính  có dạng:

⇔ x2 + y2 - x  + y - 4 = 0

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em Cách viết phương trình đường tròn biết đường kính AB, bán kính R, tâm I . Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhoiA chúc các em thành công.

Lập phương trình đường tròn [C] có đường kính AB với A[1; 1] và B[7; 5]

Loga Toán lớp 10

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

+ Đường tròn [ C] : tâm I [a; b] và bán kính R có phương trình :

[x - a]2 + [y - b]2 = R2

+ Cho hai điểm A[xA; yA] và B[xB; yB]. Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:

- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.

- Bước 2: Tính IA.

- Bước 3: Lập phương trình đường tròn [ C] tâm I và bán kính R = IA.

+ Đường tròn [ C] tâm I và đi qua điểm A

⇒ Đường tròn [ C]: tâm I và bán kính R = IA.

Ví dụ 1. Cho hai điểm A[ 5; -1] ; B[ -3; 7] . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0.    B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0.    D. Tất cả sai

Lời giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I[ 1; 3] .

Bán kính R =

AB = = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là: [x - 1]2 + [y - 3]2 = 32

Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho hai điểm A[ -4; 2] và B[2; -3]. Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0.    B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0.    D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải

Ta có: MA→[x + 4;y - 2]; MB→[x - 2; y + 3]

Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31

Tương đương : [ x + 4]2 + [y - 2]2 + [x - 2]2 + [y + 3]2 = 31

Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3. Đường tròn tâm I[ 3; -2] và bán kính R= 2 có phương trình là

A. [ x + 3]2 + [y + 2]2 = 2    B. [x - 3]2 + [y + 2]2 = 4

C. [ x + 3]2 + [y - 2]2 = 4    D. [x - 3]2 + [y - 2]2 = 4

Lời giải

Phương trình đường tròn có tâm [3; -2] , bán kính R = 2 là:

[x - 3]2 + [y + 2]2 = 4

Chọn B.

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I[ -1; 2] và đi qua điểm M[ 2;1] có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0.    B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0.    D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I[ -1; 2] và đi qua M[ 2; 1] thì có bán kính là:

R = IM =

= √10

Khi đó có phương trình là: [x + 1]2 + [ y - 2]2 = 10

Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Cho hai điểm A[ 5; -1] và B[ -3; 7]. Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0.    B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0    D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0

Hướng dẫn giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I[ 1;3] .

Bán kính AB =

= 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:

[x - 1]2 + [y - 3]2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A[3; 1]; B[5; 5] và tâm I nằm trên trục hoành?

A.[x - 1]2 + y2 = 16    B. [x - 10]2 + y2 = 50

C. [x + 1]2 + y2 = 17    D. [x - 10]2 + y2 = 50

Lời giải

+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I[a; 0].

⇒ Phương trình đường tròn [ C]: [x - a]2 + y2 = R2.

+ Điểm A[ 3; 1] thuộc [C] nên [3 - a]2 + 12 = R2 [1].

+ Điểm B[ 5; 5] thuộc [ C] nên [ 5 - a]2 + 52 = R2 [ 2].

Lấy [1] trừ [2]; vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0

⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

Thay a = 10 vào [1] ta được: R2 = 50.

Vậy phương trình đường tròn [ C]: [x - 10]2 + y2 = 50

Chọn D.

Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A[0; 1]; B[1; 0] và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0    B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn [ C]: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [ với a2 + b2 - c > 0]

Là đường tròn có tâm I[a; b].

+ Do điểm A[0; 1] thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 [1]

+ Do điểm B[1; 0] thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 [2]

+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 [3].

Từ [ 1]; [2] và [3] ta có hệ phương trình :

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

Chọn B.

Câu 1: Đường tròn tâm I [ 3; -1] và bán kính R = 2 có phương trình là

A. [x + 3]2 + [y - 1]2 = 4.    B. [x - 3]2 + [y - 1]2 = 4.

C. [x - 3]2 + [y + 1]2 = 4.    D. [x + 3]2 + [y + 1]2 = 4.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình đường tròn có tâm I[ 3; -1] , bán kính R = 2 là:

[x - 3]2 + [y + 1]2 = 4

Câu 2: Đường tròn tâm I[ -1; 2] và đi qua điểm M[ 2; 1] có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0    B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0    D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn có tâm I[ -1; 2] và đi qua M[2; 1] thì có bán kính là:

R = IM =

= √10

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:

[x + 1]2 + [y - 2]2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0

Câu 3: Đường tròn tâm I[ 1; 4] và đi qua điểm B[ 2; 6] có phương trình là

A. [x + 1]2 + [y + 4]2 = 5    B. [x - 1]2 + [y - 4]2 = √5

C. [x + 1]2 + [y + 4]2 = √5    D. [x - 1]2 + [y - 4]2 = 5

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn có tâm I[ 1; 4] và đi qua B[ 2; 6] thì có bán kính là:

R = IB =

= √5

Khi đó đường tròn có phương trình là: [x - 1]2 + [y - 4]2 = 5

Câu 4: Cho điểm M[ x ; y] có

. Tập hợp điểm M là

A. Đường tròn tâm I [-1 ;2] và R = 3.    B. Đường tròn tâm I[-1 ; 2] và R = 2.

C. Đường tròn tâm I[-1 ; 2] và R = 4.    D. Đường tròn tâm I[1; -2] và R = 4.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Ta có: M

⇒ [x + 1]2 + [y - 2]2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ [x + 1]2 + [y - 2]2 = 4[sin2t + cos2t]

⇔ [x + 1]2 + [y - 2]2 = 4

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I [ -1; 2] , bán kính R = 2.

Câu 5: Cho hai điểm A[ 5; -1] ; B[ -3; 7] . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0    B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0

C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0    D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Đường tròn [ C] có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

⇒ Tọa độ điểm I :

⇒ I[ 1; 3]

Bán kính R = AB =

= 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:

[x - 1]2 + [y - 3]2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0

Câu 6: Cho hai điểm A[ - 4; 2] và B[ 2; -3] . Tập hợp điểm M[x; y] thỏa mãn :
MA2 + MB2 = 31 có phương trình là

A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0    B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0    D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có: MA2 = [ x + 4]2 + [y - 2]2 và MB2 = [ x - 2]2 + [y + 3]2

Để MA2 + MB2 = 31

⇔ [x + 4]2 + [y - 2]2 + [x - 2]2 + [y + 3]2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A[1; 2]; B[2; 1] và tâm nằm trên đường thẳng [d]: 3x + 4y + 7 = 0?

A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0     B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0

C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0    D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm [ C]: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [a2 + b2 - c > 0].

Đường tròn này có tâm I[a;b].

+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 [1].

+ Do điểm A[1;2] nằm trên đường tròn nên:

1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 [2]

+ Do điểm B[2;1] nằm trên đường tròn nên :

4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 [3]

Từ [1]; [2] và [3] ta có hệ:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0

Câu 8: Biết đường tròn [ C] đi qua A[1; 2]; B[3; 1] và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn?

A. I[0; -2]    B. I[ 0; 1]    C. I[0;

]    D. I[0; ]

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I[0; a].

⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + [y - a]2 = R2

+ Điểm A[ 1; 2] thuộc đường tròn [ C] nên :

12 + [2 - a]2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 [1]

+ Điểm B[3; 1] thuộc đường tròn [C] nên :

32 + [1 - a]2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 [2]

+ Lấy [1] trừ [2] vế trừ vế ta được:

- 2a = 5 ⇔ a =

⇒ Tâm đường tròn là I[0; ]

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp