Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu
|
Hay nhất
Mặt cầu (S) có tâm O(0 ; 0 ; 0) và bán kính R=1. Giả sử phương trình mặt phẳng\((Q):Ax+By+Cz+D=0, (A^{2} +B^{2} +C^{2} \ne 0).\)
Thay (1) và (2) vào (3), ta có: \(3B^{2} -AB=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {B=0} \\ {A=3B} \end{array}\right.\) Với \(B=0\Rightarrow C=0.\) Chọn \(A=1\Rightarrow D=-1.\) Ta có phương trình mặt phẳng (Q):x-1=0 Với A=3B. Chọn \(B=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=6 } \\ {C=3 } \\ {D=-7} \end{array}\right. \). Ta có phương trình mặt phẳng (Q):6x+2y+3z-7=0 Vậy (Q):x-1=0 ; (Q):6x+2y+3z-7=0 .
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 4 = 0 và mặt phẳng (P): x + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;-1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). A.\((Q):2x + y - 2z - 9 = 0\) hoặc \((Q):4x - 7y - 4z - 9 = 0.\) . B.\((Q):2x - 4y + 2z = 0\) hoặc \((Q):x + y - 4z - 8 = 0.\) . C.\((Q):2x - y - 2z - 9 = 0\) hoặc \((Q):4x - 7y + 4z - 9 = 0.\) D.\((Q):2x + y + 2z - 5 = 0\) hoặc \((Q):4x + 7y - 4z - 23 = 0.\)
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT \({\vec n_P} = (1;0;1)\) .
PT (Q) đi qua M có dạng: \(A(x - 3) + B(y - 1) + C(z + 1) = 0,\,\,{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\) (Q) tiếp xúc với (S) \(\Rightarrow d(I,(Q)) = R \Leftrightarrow \left| { - 4A + B + C} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}\) (*).
\((Q) \bot (P) \Rightarrow {\vec n_Q}.{\vec n_P} = 0 \Leftrightarrow A + C = 0 \Leftrightarrow C = - A\) (**)
Từ (*), (**) \(\Rightarrow \left| {B - 5A} \right| = 3\sqrt {2{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow 8{B^2} - 7{A^2} + 10AB = 0\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 2B\\ {\mkern 1mu} 7{\rm{A}} = - 4B{\mkern 1mu} \end{array} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}\)
Với A=2B. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 suy ra PT (Q): \(2x + y - 2z - 9 = 0\)
Với 7A=-4B. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 suy ra PT (Q): \(4x - 7y - 4z - 9 = 0\) Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu · Điều kiện tiếp xúc $d\left( I;\left( P \right) \right)=R$. · Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 1;-2;3 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 1;-2;3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;1;1 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ Gọi $I\left( 1+3t;-2+t;3+t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left( 3t+2 \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$. Suy ra $I\left( -2;-3;2 \right);R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=11$.
Lời giải chi tiết Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 2;-3;-2 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 2;-3;-2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;3 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=-3+2t \\ {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$ Gọi $I\left( 2+t;-3+2t;-2+3t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left( t+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-4 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 3;-1;1 \right);R=IA=\sqrt{14}$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
Lời giải chi tiết Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -1 \right)-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$. Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Mặt cầu có tâm $I\left( 1;1;1 \right);\text{ }R=\sqrt{3}$. Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left( P \right):x+y+z+m=0\text{ }\left( \text{Do }\left( P \right)//\left( \alpha \right)\Rightarrow m\ne 0 \right)$. Điều kiện tiếp xúc: $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0\text{ }\left( loai \right) \\ {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Gọi $I\left( t;-1;-t \right)\in d$, do $\left( S \right)$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên: $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$. Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Do $I\in d$ ta gọi $I\left( 1+3t;-1+t;t \right)$ khi đó $IA=d\left( I;\left( P \right) \right)=R$ $\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left( 11{{t}^{2}}-2t+t \right)={{\left( 5t+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0\Rightarrow R=1 \\ {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$ Do $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left( 1;-1;1 \right)\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Gọi $I\left( a;b;c \right)$ ta có: $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=d\left( I;\left( \beta \right) \right)=d\left( I;\left( \gamma \right) \right)$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$. Do điểm $A\left( 2;-2;5 \right)$ thuộc miền $x>1;\text{ }y1$ nên $I\left( a;b;c \right)$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y1$. Khi đó $I\left( R+1;-1-R;R+1 \right)$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left( {{R}^{2}}-1 \right)+{{\left( R-1 \right)}^{2}}+{{\left( R-4 \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D. |
