2 h x 7.1 w x 2.3 d là gì năm 2024

Dạng tổng quát: í µí°¹ í µí±¥, í µí±¦, í µí±¦ ′ , … , í µí±¦ í µí±› = 0 Với x là biến số, í µí±¦ = í µí±¦(í µí±¥) là hàm số phải tìm, í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′ , … , í µí±¦ (í µí±›) là các đạo hàm các cấp của í µí±¦ = í µí±¦(í µí±¥). Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó. Ví dụ : í µí±¦ ′′ + í µí±¦ = 0 Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là í µí±¦ = sin⁡ (í µí±¥) hoặc í µí±¦ = í µí° ¶. sin⁡ (í µí±¥) Phương trình vi phân tuyến tính cấp n: í µí±¦ (í µí±›) + í µí±Ž 1 í µí±¥ í µí±¦ í µí±›−1 + ⋯ + í µí±Ž í µí±›−1 í µí±¥ í µí±¦ ′ + í µí±Ž í µí±› í µí±¥ í µí±¦ = í µí±(í µí±¥) Trong đó í µí±Ž 1 í µí±¥ , í µí±Ž 2 í µí±¥ , … , í µí±Ž í µí±› í µí±¥ , í µí±(í µí±¥) là những hàm cho trước. II. Phƣơng trình vi phân cấp 1 1. Khái niệm a. Dạng: í µí°¹ í µí±¥, í µí±¦, í µí±¦ ′ = 0 (1) hoặc í µí±¦ ′ = í µí±“ í µí±¥, í µí±¦ (2) Nếu từ (1) ta tìm được hàm số í µí±¦ = í µí±¦(í µí±¥, í µí° ¶) với í µí° ¶ là hằng số tùy ý thì í µí±¦ = í µí±¦(í µí±¥, í µí° ¶) gọi là nghiệm tổng quát của (1). Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (1) mà tìm được một hệ thức dạng: Φ í µí±¥, í µí±¦, í µí° ¶ = 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức này gọi là tích phân tổng quát của (1). Nếu cho í µí° ¶ trong nghiệm tổng quát của (1) một giá trị xác định í µí° ¶ 0 thì ta được nghiệm riêng của (1), tức là í µí±¦ = í µí±¦(í µí±¥, í µí° ¶ 0) là nghiệm riêng của (1). Tương tự nếu cho í µí° ¶ trong tích phân tổng quát của (1) một giá trị xác định í µí° ¶ 0 thì ta được tích phân riêng của (1), tức là Φ í µí±¥, í µí±¦, í µí° ¶ 0 = 0 là tích phân riêng của (1). Nếu khi giải (1) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai) Ví dụ : Xét phương trình í µí±¦ ′ − í µí±¦í µí±¥ = 0 ⟺ í µí±¦ ′ = í µí±¦í µí±¥

• 1. HAI BIẾN BIVARIATE NORMAL DISTRIBUTION TS CHU VĂN THỌ Bộ môn Toán - Đại Học Y Dược TP HCM
• 2. two or more independent normal random variables is also normal. However, if two or more normal random variables are not independent, then their sum is not necessarily normal. There are two definitions of bivariate normal distribution. Two random variables are said to be bivariate normal, in the first definition, when all their linear combination is normal random variable; and, in the second definition, when their joint probability density function satisfies the bivariate normal probability density function. We prove that the above two definitions are equivalent in the sense that, if two random variables are bivariate normal based on one definition, they are bivariate normal based on the other definition. The proof of their equivalence can be conducted by two ways. We prove that, in the first way, the two definitions result in the same moment generating functions; and, in the second way, the joint probability density function of a normal random vector is the same of the bivariate normal probability density function.
• 3. NHIÊN LIÊN TỤC 1. Hàm mật độ xác suất kết hợp (Joint Probability Density Function, PDF) 1.1. Định nghĩa: a) Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là liên tục kết hợp (jointly continuous) nếu tồn tại một hàm không âm fXY : R2 → R, sao cho, với mọi tập A∈R2 , ta có P((X,Y)∈A) = fXYA (x,y)dxdy . b) Hàm fXY (x,y) được gọi là hàm mật độ xác suất kết hợp của X and Y. 1.2. Kết quả từ định nghĩa: fXYR2 (x,y)dxdy = fXY ∞ −∞ ∞ −∞ (x,y)dxdy = 1. 1.3. Hàm mật độ xác suất lề (Marginal PDF) a) Hàm mật độ xác suất lề của X là fX(x) = fXY ∞ −∞ (x,y)dy với mọi x . b) Hàm mật độ xác suất lề của Y là fY(y) = fXY ∞ −∞ (x,y)dx với mọi y .
• 4. phối tích lũy kết hợp (Joint Cumulative Distribution Function, CDF) 2.1. Định nghĩa: a) Hàm phân phối tích lũy kết hợp của hai biến ngẫu nhiên X và Y là FXY (x,y) = P(X ≤ x,Y ≤ y). b) Hàm phân phối tích lũy kết hợp của hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp (jointly continuous), là FXY (x,y) = P(X ≤ x,Y ≤ y) = f x −∞ y −∞ XY(u,v)dudv Chú ý: Trong trường hợp hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp, ta có fXY (x,y) = ∂2 ∂y ∂x FXY(x,y). 2.2. Tính chất: a) FXY (∞,∞) = 1, FXY (−∞,y) = FXY (x,−∞) = 0. b) P(x1 < X ≤ x2, y1 < Y ≤ y2) = FXY (x2,y2) − FXY (x1,y2) − FXY (x2,y1) + FXY (x1,y1).
• 5. độ xác suất điều kiện (The Conditional PDF) - Hàm phân phối tích lũy điều kiện (The Conditional CDF) 3.1.Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và A là biến cố a < X < b (có thể a = −∞ hay b = +∞). a)Hàm phân phối tích lũy điều kiện là FX A(x) = {1 nếu x ≥ b; FX x −FX(a) FX b −FX(a) nếu a < x < b; 0 nếu x ≤ a}. b)Hàm mật độ xác suất điều kiện là fX A(x) = { fX (x) P(A) nếu a < x < b; 0 chỗ khác}. 3.2. Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục, và A là biến cố a < X < b (có thể a = −∞ hay b = +∞). a) Kỳ vọng điều kiện là E[X|A] = x ∞ −∞ fX A(x)dx . b) Kỳ vọng điều kiện là E[g(X)|A] = g(x) ∞ −∞ fX A(x)dx . c) Phương sai điều kiện là Var(X|A) = E[X2 |A] − (E[X|A])2 .
• 6. hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp. a) Hàm mật độ xác suất điều kiện của X với Y = y là fX Y(x|y) = fXY x,y fY (y) . b) Xác suất điều kiện X∈A với Y = y là P(X∈A|Y = y) = fX YA (x|y)dx . c) Hàm phân phối tích lũy điều kiện của X với Y = y là FX Y(x|y) = P(X ≤ x|Y = y) = fX Y x −∞ (x|y)dx . 3.4. Định nghĩa: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp. a) Kỳ vọng điều kiện của X với Y = y là E[X|Y = y] = xfX Y ∞ −∞ (x|y)dx. b) Kỳ vọng điều kiện của g(X) với Y = y là E[g(X)|Y = y] = g(x)fX Y ∞ −∞ (x|y)dx. c) Phương sai điều kiện của X với Y = y là Var(X|Y = y) = E[X2 |Y = y] − (E[X|Y = y])2 . 3.5. Định lý: a) Luật về tổng xác suất (Law of Total Probability): P(A) = P ∞ −∞ (A|X = x)fX(x)dx b) Luật về kỳ vọng lặp (Law of Iterated Expectation): E[Y] = E ∞ −∞ [Y|X = x]fX(x)dx = E[E[Y|X]] c) Luật về tổng phương sai (Law of Total Variance): Var(Y) = E[Var(Y|X)] + Var(E[Y|X])
• 7. ngẫu nhiên độc lập 4.1. Định nghĩa: Hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp được gọi là độc lập khi fX Y(x|y) = fX(x), với mọi y. Chú ý: Khi hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp độc lập, thì fXY (x,y) = fX(x)fY(y), vì fX Y(x|y) = fXY x,y fY(y) . 4.2. Định nghĩa: a) Hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục được gọi là độc lập khi fXY (x,y) = fX(x)fY(y), với mọi x,y. b) Hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục được gọi là độc lập khi FXY (x,y) = FX(x)FY(y) với mọi x,y.
• 8. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E[XY] = EXEY. b) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)]. 4.4. Chú ý: Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y có E[XY] = EXEY thì không chắc X và Y độc lập. Phản thí dụ: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ xác suất kết hợp là fXY (x,y) = { 1 π nếu (x,y) ∈ D ; 0 chỗ khác}, trong đó D = {(x,y)|x2 + y2 ≤ 1}. Ta có X và Y không độc lập, tuy nhiên E[XY] = EXEY.
• 9. biến ngẫu nhiên liên tục 5.1. Kỳ vọng của hàm hai biến g(X,Y): E[g(X,Y)]= g(x,y) ∞ −∞ ∞ −∞ fXY (x,y)dxdy 5.2. Phương pháp biến đổi (The Method of Transformations) Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y liên tục kết hợp. Gọi (Z,W) = g(X,Y) = (g1(X,Y), g2(X,Y)), trong đó g: R2 ↦ R2 là hàm liên tục 1-1 (khả nghịch), có đạo hàm riêng liên tục. Gọi h = g-1 , nghĩa là, (X,Y) = h(Z,W) = (h1(Z,W), h2(Z,W)). Khi đó, Z và W là hai biến ngẫu nhiên liên tục kết hợp và hàm mật độ xác suất kết hợp là fZW (z,w), với mọi (z,w)∈RZW , được xác định bởi fZW (z,w) = fXY (h1(z,w), h2(z,w)).|J|, với J là định thức Jacobian của h, J = det ∂h1 ∂z ∂h1 ∂w ∂h2 ∂z ∂h2 ∂w .
• 10. kết quả nghiên cứu: 6.1. Định lý: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục kết hợp và độc lập, với hàm kết hợp fXY (x,y). Gọi Z = X + Y và W = X. Khi đó, fZ(z) = fX ∞ −∞ (w)fY(z − w)dw. CM (Z,W) = g(X,Y) = (g1(X,Y) = X+Y, g2(X,Y) = X). Suy ra (X,Y) = h(Z,W) = (h1(Z,W) = W, h2(Z,W) = Z - W). Ta có fZW (z,w) = fXY (h1(z,w), h2(z,w)).|J|, trong đó J = det ∂h1 ∂z ∂h1 ∂w ∂h2 ∂z ∂h2 ∂w . J = det ∂h1 ∂z ∂h1 ∂w ∂h2 ∂z ∂h2 ∂w = det 0 1 1 − 1 = -1, do đó fZW (z,w) = fXY (w, z−w). Vì X và Y độc lập nên fXY (w, z−w) = fX(w)fY(z - w). Suy ra fZW (z,w) = fX(w)fY(z - w). Hàm mật độ lề fZ(z) = fZW (z,w) ∞ −∞ dw = fX ∞ −∞ (w)fY(z − w)dw.
• 11. X ~ N(0,1) và Y~ N(0,1) là hai biến ngẫu nhiên liên tục kết hợp và độc lập, với hàm kết hợp fXY (x,y). Gọi Z = X + Y. Khi đó, fZ(z) = 1 2 π e− z2 4 . CM Gọi W = X. Ta có (Z,W) = g(X,Y) = (g1(X,Y) = X+Y, g2(X,Y) = X). Suy ra, (X,Y) = h(Z,W) = (h1(Z,W) = W, h2(Z,W) = Z - W). Theo định lý 6.1, fZ(z) = fX ∞ −∞ (w)fY(z − w)dw = 1 2π e− w 2 2 ∞ −∞ e− (z−w )2 2 dw = 1 2π e− 2w 2−2wz +z2 2 ∞ −∞ dw = 1 2π e− z2 4 e−(w− z 2 )2∞ −∞ dw = 1 2 π e− z2 4 1 2π 1 2 1 π ∞ −∞ e − (w − z 2 )2 2 1 2 dw . Ta có 1 2π 1 2 1 π ∞ −∞ e − (w − z 2 )2 2 1 2 dw = 1, vì là tích phân của hàm PDF của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, trung bình z 2 , phương sai 1 2 . Vậy fZ(z) = 1 2 π e− z2 4 .
• 12. X1 ∼ N(μ1, σ1 2 ) và X2 ∼ N(μ2, σ2 2 ) liên tục kết hợp và độc lập, thì X1 + X2 ∼ N(μ1+ μ2, σ1 2 + σ2 2 ). CM Gọi Z1 = X1−μ1 σ1 và Z2 = X2−μ2 σ2 . Ta có Z1 ~ N(0,1) và Z2 ~ N(0,1). Suy ra X1 = σ1Z1 +μ1 , X2 = σ2Z2 +μ2 và X1 + X2 = σ1Z1 + μ1 + σ2Z2 + μ2. Do X1 và X2 độc lập nên Z1 và Z2 độc lập. Gọi Z = X1 + X2 = g1(Z1,Z2) = σ1Z1 + μ1 + σ2Z2 + μ2 và W = g2(Z1,Z2) = σ1Z1 +μ1. Suy ra Z1 = h1(Z,W) = W−μ1 σ1 và Z2 = h2(Z,W) = Z−W−μ2 σ2 . Ta có (Z,W) = g(Z1,Z2) = (g1(Z1,Z2) = σ1Z1 + μ1 + σ2Z2 + μ2 , g2(Z1,Z2) = σ1Z1 +μ1) . (Z1,Z2) = h(Z,W) = (h1(Z,W) = W−μ1 σ1 , h2(Z,W) = Z−W−μ2 σ2 ). Theo công thức biến đổi, fZW (z,w) = fZ1Z2 (h1(z,w), h2(z,w)).|J|, với J = det ∂h1 ∂z ∂h1 ∂w ∂h2 ∂z ∂h2 ∂w . J = det ∂h1 ∂z ∂h1 ∂w ∂h2 ∂z ∂h2 ∂w = det 0 1 σ1 1 σ2 − 1 σ2 = - 1 σ1σ2 , do đó fZW (z,w) = 1 σ1σ2 fZ1Z2 ( w−μ1 σ1 , z−w−μ2 σ2 ) .
• 13. Z2 độc lập, nên fZ1Z2 ( w−μ1 σ1 , z−w−μ2 σ2 ) = fZ1 ( w−μ1 σ1 )fZ2 ( z−w−μ2 σ2 ). Suy ra fZW (z,w) = 1 σ1σ2 fZ1 ( w−μ1 σ1 )fZ2 ( z−w−μ2 σ2 ) = 1 2πσ1σ2 exp{- 1 2 [( w−μ1 σ1 )2 + ( z−w−μ2 σ2 )2 ]} = 1 2πσ1σ2 exp{- 1 2 ( μ1 2 σ1 2 + (z−μ2)2 σ2 2 ) - 1 2 σ1 2+σ2 2 σ1 2σ2 2 (w2 − 2w( σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1 σ1 2+σ2 2 ))} = 1 2πσ1σ2 exp{- 1 2 ( μ1 2 σ1 2 + (z−μ2)2 σ2 2 ) + (σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1)2 2σ1 2σ2 2(σ1 2+σ2 2) - σ1 2+σ2 2 2σ1 2σ2 2 (w − σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1 σ1 2+σ2 2 )2 } = 1 2π σ1 2+σ2 2 exp{- 1 2 ( μ1 2 σ1 2 + (z−μ2)2 σ2 2 ) + (σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1)2 2σ1 2σ2 2(σ1 2+σ2 2) }. σ1 2+σ2 2 2πσ1σ2 exp{- σ1 2+σ2 2 2σ1 2σ2 2 (w − σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1 σ1 2+σ2 2 )2 } Hàm mật độ lề fZ(z) = fZW (z,w) ∞ −∞ dw = 1 σ1σ2 fZ1Z2 ( w−μ1 σ1 , z−w−μ2 σ2 ) ∞ −∞ dw = = 1 2π σ1 2+σ2 2 exp{- 1 2 ( μ1 2 σ1 2 + (z−μ2)2 σ2 2 ) + (σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1)2 2σ1 2σ2 2(σ1 2+σ2 2) }. σ1 2+σ2 2 2πσ1σ2 exp{− σ1 2+σ2 2 2σ1 2σ2 2 (w − σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1 σ1 2+σ2 2 )2 } ∞ −∞ dw
• 14. − σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1 σ1 2+σ2 2 )2 } ∞ −∞ dw = 1, vì là tích phân của hàm PDF của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, trung bình σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1 σ1 2+σ2 2 , phương sai σ1 2σ2 2 σ1 2+σ2 2 . Suy ra fZ(z) = 1 2π σ1 2+σ2 2 exp{- 1 2 ( μ1 2 σ1 2 + (z−μ2)2 σ2 2 ) + (σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1)2 2σ1 2σ2 2(σ1 2+σ2 2) } = 1 2π σ1 2+σ2 2 exp{ (−σ2 2μ1 2−σ1 2(z−μ2)2)(σ1 2+σ2 2)+(σ1 2 z−μ2 +σ2 2μ1)2 2σ1 2σ2 2(σ1 2+σ2 2) } = 1 2π σ1 2+σ2 2 exp{- (z−μ1−μ2)2 2(σ1 2+σ2 2) } . Vậy Z = X1 + X2 ∼ N(μ1+ μ2, σ1 2 + σ2 2 ).
• 15. sai (Covariance) 7.1. Định nghĩa: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y. Hiệp phương sai giữa X và Y là Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] = E[XY] − EXEY. 7.2. Tính chất: a) Cov(X, X) = Var(X). b) Cov(X,Y) = Cov(Y,X). c) Cov(cX,Y) = cCov(X,Y) , với c là hằng số. d) Cov(X + c,Y) = Cov(X,Y) , với c là hằng số. (Chú ý: Cov(c,Y) = 0). e) Cov( aiXi, bjYj) = aibjCov(Xi,Yj)ji , với ai (i=1,2,…n), bj (j=1,2,…m) là các hằng số. f) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì Cov(X,Y) = 0. 7.3. Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên: Var(aX + bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + 2abCov(X,Y) , với mọi a,b ∈ R.
• 16. tương quan (Correlation Coefficient) 8.1.Định nghĩa: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y. Hệ số tương quan giữa X và Y là ρXY = ρ(X,Y) = Cov( X−EX σX , Y−EY σY ) = Cov( X σX , Y σY ) = Cov (X,Y) σX σY . 8.2.Tính chất: a) −1 ≤ ρXY ≤ 1. b) Nếu ρXY = 1 thì Y = aX + b , với a = σY σX > 0. c) Nếu ρXY = −1 thì Y = aX + b , với a = − σY σX < 0. d) ρ(aX + b, cY + d) = ac ac ρXY với a, c ≠ 0. Do đó, ρ(aX + b, cY + d) = ρXY với a, c > 0. 8.3. Định nghĩa: a) Nếu ρXY = 0, ta nói X và Y không tương quan (uncorrelated). b) Nếu ρXY > 0, ta nói X và Y tương quan thuận (positively correlated). c) Nếu ρXY < 0, ta nói X và Y tương quan nghịch (negatively correlated).
• 17. X và Y không tương quan, thì Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). b) Nếu X1, X2, ..., Xn không tương quan từng đôi, ρ(Xi, Xj) = 0 khi i ≠ j, thì Var(X1+ X2 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn) . 8.5. Không tương quan và độc lập của hai biến ngẫu nhiên: Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì Cov(X,Y) = 0, do đó ρXY = 0, suy ra X và Y không tương quan. Nhưng nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y không tương quan, thì X và Y không chắc độc lập. Phản thí dụ: Theo phản thí dụ trong 4.4, hai biến ngẫu nhiên X và Y không độc lập và E[XY] = EXEY. Suy ra Cov(X,Y) = E[XY] – EXEY = 0, dẫn đến ρXY = 0, do đó X và Y không tương quan.
• 18. CHUẨN HAI BIẾN Trong phân tích tương quan, hai biến ngẫu nhiên X và Y là hai biến ngẫu nhiên đồng thời. Một phân phối biểu diễn sự biến đổi đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phân phối hai biến kết hợp (bivariate distribution or jointly distribution). 1. Nhận xét Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn và độc lập thì X + Y có phân phối chuẩn. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn và không độc lập, thì X + Y không chắc có phân phối chuẩn. Phản thí dụ: Cho X∼N(0,1) và W∼Bernoulli( 1 2 ) là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Đặt Y = h(X,W) = X if W = 0 –X if W = 1 . Khi đó, Y∼N(0,1), tuy nhiên X + Y không có phân phối chuẩn, vì X và Y không độc lập.
• 19. phân phối chuẩn hai biến (đn 1) Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là có phân phối chuẩn hai biến hoặc có phân phối chuẩn kết hợp (bivariate normal distribution or jointly normal distribution), nếu aX + bY có phân phối chuẩn, với mọi a,b∈R. Chú ý: Trong định nghĩa trên, nếu a = b = 0, thì aX + bY = 0. Do đó, ta có thể coi hằng số zero là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, có trung bình 0 và phương sai 0. 3. Tính chất a) Nếu X và Y có phân phối chuẩn hai biến, thì X có phân phối chuẩn và Y có phân phối chuẩn. b) Nếu X và Y có phân phối chuẩn và độc lập, thì X và Y có phân phối chuẩn hai biến. c) Nếu X ∼ N(μX, σX 2 ) và Y ∼ N(μY, σY 2 ) có phân phối chuẩn hai biến, thì X + Y ∼ N(μX + μY, σX 2 + σY 2 + 2ρσXσY), với ρ = ρ(X,Y).
• 20. Z1 ~ N(0,1) và Z2 ~ N(0,1) là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Gọi X = Z1 và Y = ρZ1 + 1 − ρ2 Z2 , với ρ ∈ (−1,1). Khi đó: a) X và Y có phân phối chuẩn hai biến và ρ(X,Y) = ρ . b) Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là fXY (x,y) = 1 2π 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) (x2 − 2ρxy + y2 )}. CM a) Z1 ~ N(0,1) và Z2 ~ N(0,1) là hai biến ngẫu nhiên độc lập, nên Z1 và Z2 có phân phối chuẩn hai biến. Hàm mật độ xác suất kết hợp fZ1Z2 (z1, z2 ) = fZ1 (z1)fZ2 (z2) = 1 2π e− 1 2 (z1 2 + z2 2) . Ta có X = Z1 ~ N(0,1) và Y = ρZ1 + 1 − ρ2 Z2 ~ N(0,1). Vì aX + bY = aZ1 + b(ρ Z1 + 1 − ρ2 Z2) = (a + bρ)Z1 + b 1 − ρ2 Z2 , với a,b∈R, nên X và Y có phân phối chuẩn hai biến. Var(X) = Var(Z1) = 1, Var(Y) = ρ2 Var(Z1) + (1−ρ2 )Var(Z2) = 1. ρ(X,Y) = Cov (X,Y) σX σY = Cov(X,Y) = Cov(Z1, ρZ1+ 1 − ρ2 Z2) = ρCov(Z1, Z1) + 1 − ρ2 Cov(Z1, Z2) = ρ.1+ 1 − ρ2.0 = ρ.
• 21. h1(X,Y) = X , Z2 = h2(X,Y) = ρ 1−ρ2 X + 1 1−ρ2 Y. Dùng công thức biến đổi, fXY (x, y) = fZ1Z2 (z1, z2). J , với J = det ∂h1 ∂x ∂h1 ∂y ∂h2 ∂x ∂h2 ∂y = det 1 0 −ρ 1−ρ2 1 1−ρ2 = 1 1−ρ2 . Do đó, fXY (x,y) = fZ1Z2 (x , ρ 1−ρ2 x + 1 1−ρ2 y) 1 1−ρ2 = 1 2π 1 1−ρ2 exp{− 1 2 (x2 + 1 1−ρ2 (ρx + y)2 } = 1 2π 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) (x2 − 2ρxy + y2 )}.
• 22. phân phối chuẩn hai biến chính tắc Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là có phân phối chuẩn hai biến chính tắc với hệ số tương quan ρ (the standard bivariate normal distribution with correlation coefficient ρ) nếu hàm mật độ xác suất kết hợp là fXY (x,y) = 1 2π 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) (x2 − 2ρxy + y2 )} với ρ∈(−1,1). Chú ý: Trong định nghĩa trên, nếu ρ = 0, thì fXY (x,y) = 1 2π e− 1 2 (x2+ y2) = 1 2π e− 1 2 x2 1 2π e− 1 2 y2 , khi đó X và Y được gọi là có phân phối chuẩn hai biến chính tắc.
• 23. X ∼ N(μX,σX 2 ) và Y ∼N(μY,σY 2 ) có phân phối chuẩn hai biến. Gọi Z1 = X−μX σX và Z2 = 1 1−ρ2 ( Y−μY σY − ρ X−μX σX ), với ρ∈(−1,1). Khi đó, Z1 ~ N(0,1) và Z2 ~ N(0,1). CM Z1= X−μX σX ~ N(0,1). Do X và Y có phân phối chuẩn hai biến nên Z2 = 1 1−ρ2 ( Y−μY σY − ρ X−μX σX ) có phân phối chuẩn. Ta có EZ2 = 1 1−ρ2 (E( Y−μY σY ) − ρEZ1) = 0 và Y = σY (ρZ1 + 1 − ρ2 Z2) +μY . Var(Y) = σY 2 [ρ2 Var(Z1) + (1 − ρ2 )Var(Z2)] = σY 2 [ρ2 + (1 − ρ2 )Var(Z2)]. Suy ra Var(Z2) = 1. Do đó Z2 ~ N(0,1).
• 24. X ∼ N(μX,σX 2 ) và Y ∼N(μY,σY 2 ) có phân phối chuẩn hai biến. Giả sử Z1 = X−μX σX và Z2 = 1 1−ρ2 ( Y−μY σY − ρ X−μX σX ) độc lập, với ρ(X,Y) = ρ ∈(−1,1). Khi đó hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là fXY (x,y) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]}. CM Theo định lý (6.), Z1 ~ N(0,1) và Z2 ~ N(0,1). Do giả sử Z1 và Z2 độc lập, nên Z1 và Z2 có phân phối chuẩn hai biến, với hàm mật độ xác suất kết hợp fZ1Z2 (z1, z2 ) = fZ1 (z1)fZ2 (z2) = 1 2π exp{− 1 2 (z1 2 + z2 2 )}. Z1 = h1(X,Y) = X−μX σX , Z2 = h2(X,Y) = 1 1−ρ2 ( Y−μY σY − ρ X−μX σX ) . Dùng công thức biến đổi, fXY (x, y) = fZ1Z2 (z1, z2). J = fZ1Z2 ( x−μX σX , −ρ 1−ρ2 x−μX σX + 1 1−ρ2 y−μY σY ). J , trong đó J = det ∂h1 ∂x ∂h1 ∂y ∂h2 ∂x ∂h2 ∂y = det 1 σX 0 −ρ σX 1−ρ2 1 σY 1−ρ2 = 1 σX σY 1−ρ2 . Suy ra fXY (x,y) = 1 2π 1 σX σY 1−ρ2 exp{− 1 2 [( x−μX σX )2 + ( −ρ 1−ρ2 x−μX σX + 1 1−ρ2 y−μY σY )2 ]} = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]}.
• 25. phân phối chuẩn hai biến (đn 2) Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là có phân phối chuẩn hai biến, với tham số μX, σX 2 , μY, σY 2 , ρ , nếu hàm mật độ xác suất kết hợp là fXY(x,y) = 1 2πσXσY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]} trong đó μX , μY ∈ R, σX,σY > 0 and ρ ∈ (−1,1) là những hằng số. Chú ý: Hai định nghĩa 1 và 2 về phân phối chuẩn hai biến là tương đương. (Phần chứng minh sự tương đương này được trình bày ở phần sau).
• 26. X và Y là hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến, theo nghĩa hàm mật độ xác suất kết hợp là fXY (x,y) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]}. Khi đó, Z1 = X−μX σX và Z2 = 1 1−ρ2 ( Y−μY σY − ρ X−μX σX ) độc lập và có phân phối N(0,1) . CM Phần trên đã chứng minh Z1 và Z2 có phân phối N(0,1). Ta có X = g1(Z1, Z2) = σXZ1 + μX và Y = g2(Z1, Z2) = σYρZ1 + σY 1 − ρ2 Z2 + μY . Dùng công thức biến đổi, fZ1Z2 (z1, z2) = fXY (x, y). J , trong đó J = det ∂g1 ∂z1 ∂g1 ∂z2 ∂g2 ∂z1 ∂g2 ∂z2 = det σX 0 σYρ σY 1 − ρ2 = σXσY 1 − ρ2 . Suy ra fZ1Z2 (z1, z2) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]}σXσY 1 − ρ2 = 1 2π exp{− 1 2(1−ρ2) [ 𝑧1 2 − 2ρz1(ρz1 + 1 − ρ2 z2) + (ρz1 + 1 − ρ2 z2)2 ]} = 1 2π exp{− 1 2 (z1 2 + z2 2 )} = fZ1 (z1)fZ2 (z2). Do đó, Z1 và Z2 độc lập.
• 27. X và Y là hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến với tham số μX, σX 2 , μY, σY 2 , ρ. Khi đó, Y|X = x có phân phối chuẩn N(σYρ x−μX σX + μY ,σY 2 (1 −ρ2 )). CM Ta có X∼N(μX,σX 2 ), Y∼N(μY,σY 2 ). Cách 1: fXY (x,y) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]} và fX(x) = 1 σX 2π exp{− 1 2 ( x−μX σX )2 }. Do đó, fY|X(y|x) = fXY (x,y) fX(x) = 1 σY 1−ρ2 2π exp{− 1 2 [ y−(σY ρ x−μX σX + μY ) σY 1−ρ2 ]2 }. Suy ra Y|X = x ∼ N(σYρ x−μX σX + μY, σY 2 (1 −ρ2 )) .
• 28. X = σXZ1 + μX , Y = σY(ρZ1 + 1 − ρ2 Z2) + μY . Do đó, khi cho X = x, ta được Z1 = x−μX σX , Y = σY 1 − ρ2 Z2 +σYρ x−μX σX + μY . Suy ra, khi cho X = x, Y là hàm tuyến tính với Z2 , do đó Y|X = x có phân phối chuẩn. E[Y|X = x] = σY 1 − ρ2 EZ2 +σYρ x−μX σX + μY = σYρ x−μX σX + μY . Var(Y|X = x) = σY 2 (1 −ρ2 )Var(Z2) = σY 2 (1 −ρ2 ) . Vậy Y|X = x ∼ N(σYρ x−μX σX + μY, σY 2 (1 −ρ2 )) .
• 29. X và Y có phân phối chuẩn hai biến và không tương quan, thì X và Y độc lập. CM Cách 1: Theo định lý 3.10, Y|X = x ∼N(σYρ x−μX σX + μY, σY 2 (1 −ρ2 )). Vì X và Y không tương quan, nên ρ = ρ(X,Y) = 0. Suy ra, fY|X(y|x) = 1 σY 1−ρ2 2π exp{− 1 2 [ y−(σYρ x−μX σX + μY) σY 1−ρ2 ]2 } = 1 σY 2π exp{− 1 2 ( y− μY σY )2 } = fY(y), với mọi x,y∈R. Do đó, X và Y độc lập. Cách 2: Vì X và Y không tương quan, nên ρ = ρ(X,Y) = 0. Suy ra fXY (x,y) = 1 2πσXσY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]} = 1 2πσX σY exp{− 1 2 [( x−μX σX )2 + ( y−μY σY )2 ]} = fX(x)fY(y), với mọi x,y∈R. Do đó, X và Y độc lập.
• 30. kết quả nghiên cứu về 𝐟 𝐗𝐘(x,y) của phân phối chuẩn hai biến 12.1. Bài toán 1: Giả sử chiều cao bụng X (cm) và trọng lượng thai nhi Y (kg) của sản phụ sắp chuyển dạ, có phân phối chuẩn hai biến, với μX = 30,56 cm, σX = 2,322 cm, μY = 3,08 kg, σY = 0,363 kg và hệ số tương quan giữa X và Y là ρ = 0,854. Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là fXY (x,y) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ( x−μX σX )( y−μY σY ) + ( y−μY σY )2 ]} = 1 2,755 exp{− 1 0,541 [( x−30,56 2,322 )2 − 1,708( x−30,56 2,322 )( y−3,08 0,363 ) + ( y−3,08 0,363 )2 ]}
• 31. fXY = 1 2,755 khi x = μX = 30,56, y = μY = 3,08. Đồ thị z = fXY (x,y) (với μX =30,56, σX=2,322, μY =3,08, σY=0,363, ρ = 0,854) được trình bày khi 23 < x < 39; 1,9 < y < 4,7 như sau: (Hình 1)
• 32. = fXY (x,y) được nhìn từ trên xuống. (Hình 2)
• 33. mật độ xác suất điều kiện của Y|X = x: Ta có Y|X = x ∼ N(μY|X=x =μY + σYρ x−μX σX ; σY|X=x 2 = σY 2 (1 −ρ2 )). Do đó, Y|X = 30 ∼ N(μY|X=30= 3,08 + 0,363.0,854( 30−30,56 2,322 ) = 3,005 ; σY|X=30 2 = 0,3632 (1 − 0,8542 ) = 0,0356). Đồ thị hàm mật độ xác suất điều kiện của Y|X = 30 được trình bày như sau: (Hình 3)
• 34. mật độ xác suất điều kiện của Y|X = 30, nhìn trực diện. (Hình 4)
• 35. mật độ xác suất điều kiện của Y|X = 30, tại điểm X =30, nhìn trực diện. (Hình 5)
• 36. ngẫu nhiên Y|X = x có phân phối chuẩn, với trung bình μY|X=x chỉ phụ thuộc vào giá trị X = x và phương sai σY|X=x 2 không đổi với mọi giá trị X = x. Do đó, khi X và Y có μX = 30,56, σX = 2,322, μY = 3,08, σY = 0,363, ρ = 0,854, thì Y|X = x ∼ N(μY|X=x= 3,08 + 0,133(x - 30,56) + 3,08 ; σY|X=x 2 = 0,0356), với mọi giá trị X = x.
• 37. < Y−(μY + σY ρ x−μX σX ) σY 1−ρ2 < C | X = x) = 1 – α (với C =1,96 hay 2,58 ứng với α = 0,05 hay 0,01) ⇔ P(- CσY 1 − ρ2 + σYρ x−μX σX + μY < Y < CσY 1 − ρ2 + σYρ x−μX σX + μY | X = x) = 1 - α . Một sản phụ sắp chuyển dạ, có chiều cao bụng X = 30 cm. Khả năng 99% trọng lượng thai nhi Y của sản phụ nằm trong khoảng nào ? Khả năng trọng lượng thai nhi Y của sản phụ trong khoảng 3kg đến 3,3 kg là bao nhiêu ? Giải: P(- 2,58 < Y−3,005 0,188 < 2,58 | X = 30) = 0,99 ⇔ P(- 2,58.0,188 + 3,005 < Y < 2,58.0,188 + 3,005 | X = 30) = 0,99 ⇔ P(2,519 < Y < 3,490 | X = 30) = 0,99. Vậy khả năng 99% trọng lượng thai nhi Y của sản phụ trong khoảng (2,519 kg, 3,490 kg). P(3 < Y < 3,3 | X = 30) = P( 3−3,005 0,188 < Y−3,005 0,188 < 3,3−3,005 0,188 | X = 30) = Φ(1,569) + Φ(0,026) = 0,449.
• 38. 2: Giả sử chiều cao bụng X (cm) và trọng lượng thai nhi Y (kg) của sản phụ sắp chuyển dạ, có phân phối chuẩn hai biến, với μX = 30,56 cm, σX = 2,322 cm, μY = 3,08 kg, σY = 0,363 kg và hệ số tương quan giữa X và Y là ρ = 0,4. Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là fXY (x,y) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ( x−μX σX )( y−μY σY ) + ( y−μY σY )2 ]} = 1 4,853 exp{− 1 1,68 [( x−30,56 2,322 )2 − 0,8( x−30,56 2,322 )( y−3,08 0,363 ) + ( y−3,08 0,363 )2 ]}
• 39. fXY = 1 4,853 khi x = μX = 30,56, y = μY = 3,08. Đồ thị z = fXY (x,y) (với μX =30,56, σX=2,322, μY =3,08, σY=0,363, ρ = 0,4) được trình bày khi 23 < x < 39; 1,9 < y < 4,7 như sau: (Hình 6)
• 40. = fXY (x,y) được nhìn từ trên xuống. (Hình 7)
• 41. giá trị μX = 30,56, σX = 2,322, μY = 3,08, σY = 0,363, độ lệch về phía trái trục X của đồ thị z = fXY(x,y) (ứng với ρ = 0,854) (hình 2) nhiều hơn độ lệch về phía trái trục X của đồ thị z = fXY(x,y) (ứng với ρ = 0,4) (hình 7).
• 42. 3: Giả sử chiều cao bụng X (cm) và trọng lượng thai nhi Y (kg) của sản phụ sắp chuyển dạ, có phân phối chuẩn hai biến, với μX = 30,56 cm, σX = 6,966cm, μY = 3,08 kg, σY = 0,363 kg và hệ số tương quan giữa X và Y là ρ = 0,854. Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là fXY (x,y) = 1 2πσXσY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ( x−μX σX )( y−μY σY ) + ( y−μY σY )2 ]} = 1 8,266 exp{− 1 0,541 [( x−30,56 6,966 )2 − 1,708( x−30,56 6,966 )( y−3,08 0,363 ) + ( y−3,08 0,363 )2 ]}
• 43. fXY = 1 8,266 khi x = μX = 30,56, y = μY = 3,08. Đồ thị z = fXY (x,y) (với μX =30,56, σX = 6,966, μY =3,08, σY=0,363, ρ = 0,854) được trình bày khi 23 < x < 39; 1,9 < y < 4,7 như sau: (Hình 8)
• 44. = fXY(x,y) được nhìn từ trên xuống. (Hình 9)
• 45. = fXY(x,y) (với μX =30,56, σX=6,966, μY =3,08, σY=0,363, ρ = 0,854) được trình bày khi 8 < x < 53; 1,9 < y < 4,7 như sau: (Hình 10)
• 46. giá trị μX =30,56, μY =3,08, σY=0,363, ρ = 0,854, max fXY (x,y) (ứng với 𝛔 𝐗 = 6,966) (hình 8) bằng 1/3 của max fXY (x,y) (ứng với 𝛔 𝐗 = 2,322) (hình 1); đồ thị z = fXY (x,y) (ứng với 𝛔 𝐗 = 6,966) (hình 10) trãi dài theo trục X nhiều hơn (gần như 3 lần) so với đồ thị z = fXY (x,y) (ứng với 𝛔 𝐗 = 2,322) (hình 1).
• 47. 4: Giả sử chiều cao bụng X (cm) và trọng lượng thai nhi Y (kg) của sản phụ sắp chuyển dạ, có phân phối chuẩn hai biến, với μX = 30,56 cm, σX = 2,322 cm, μY = 3,08 kg, σY = 0,363 kg và hệ số tương quan giữa X và Y là ρ = 0. Khi hệ số tương quan giữa X và Y là ρ = 0, thì X và Y độc lập. Khi đó, fXY(x,y) = fX(x)fY(y). Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là fXY(x,y) = 1 2πσXσY exp{− 1 2 [( x−μX σX )2 + ( y−μY σY )2 ]} = 1 5,296 exp{− 1 2 [( x−30,56 2,322 )2 + ( y−3,08 0,363 )2 ]}.
• 48. = fXY (x,y) (với μX = 30,56, σX= 2,322, μY = 3,08, σY = 0,363, ρ = 0) được trình bày khi 23 < x < 39; 1,9 < y < 4,7 như sau: (Hình 11)
• 49. lệch theo trục X của đồ thị z = fXY (x,y). (Hình 12)
• 50. lệch theo trục Y của đồ thị z = fXY(x,y). (Hình 13)
• 51. mật độ xác suất điều kiện của Y|X = x khi ρ = 0: Khi ρ = 0 thì X và Y độc lập, biến ngẫu nhiên Y|X = x ~ N(μY|X=x = μY ; σY|X=x 2 = σY 2 ). Đồ thị hàm mật độ xác suất điều kiện của Y|X = x khi ρ = 0. (Hình 14)
• 52. MOMENT (Moment Generating Function, MGF) Mục tiêu của phần này là dùng MGF để chứng tỏ hai định nghĩa của hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến là tương đương (định nghĩa 1 và định nghĩa 2). 1. Hàm sinh moment của biến ngẫu nhiên 1.1. Định nghĩa moment của biến ngẫu nhiên: Moment thứ n của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là E[Xn ]. Moment trung tâm thứ n (the nth central moment) của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là E[(X−EX)n ]. Moment thứ 1 của biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng E[X], moment trung tâm thứ 1 là phương sai Var(X).
• 53. hàm sinh moment: Hàm sinh moment của biến ngẫu nhiên X là MX(s) = E[esX ]. Ta nói hàm sinh moment của X tồn tại khi có một hằng số dương a sao cho MX(s) hữu hạn với mọi s∈[−a,a]. Chú ý: Hàm sinh moment của X cung cấp mọi moment của X. 1.3. Định lý: MX(s) = E[esX ] = sk k! E[Xk ]∞ k=0 . E[Xk ] = dk dsk MX(s) s=0 . 1.4. Định lý: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y. Giả sử tồn tại hằng số dương c sao cho MGF của X và MGF của Y hữu hạn và đồng nhất với mọi s ∈ [−c,c]. Khi đó, FX(t) = FY(t) với mọi t ∈ R.
• 54. hàm sinh moment của X tồn tại, thì nó xác định duy nhất phân phối xác suất của X. 1.5. Định lý: Nếu X1, X2 , ⋯, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì với Y = X1 + X2 + ⋯ + Xn , ta có MY(s) = MX1 (s)MX2 (s)…MXn (s). 1.6. Moment và hàm sinh moment của một vài phân phối: a) Cho X ∼ Uniform(a,b). Khi đó, MX(s) = es−1 s và E[Xk ] = 1 k+1 . b) Cho X∼Exponential(λ). Khi đó, MX(s) = λ λ−s (s < λ) và E[Xk ] = k! λk . c) Cho X∼Poisson(λ). Khi đó, MX(s) =eλ(es−1) với mọi s∈R. d) Cho X∼ Binomial(n,p). Khi đó, MX(s) = (pes +1−p)n .
• 55. kết quả nghiên cứu Định lý: 1) Cho X ∼ N(0,1). Khi đó, MX(s) = e s2 2 với mọi s ∈ R. 2) Cho X ∼ N(μ, σ2 ). Khi đó, MX(s) = esμ + σ2s2 2 với mọi s ∈ R. 3) Cho Y=X1 + X2 +…+ Xn , trong đó các Xi độc lập và Xi ∼ N(μi,σi 2 ), với i=1,2,...,n. Khi đó, Y ~ N( μi n i=1 , σi 2n i=1 ). 4) Cho Y = X1 + X2 +…+ Xn , trong đó các Xi độc lập và Xi ∼ Binomial(mi ,p), với i=1,2,...,n. Khi đó, Y ~ Binomial( mi n i=1 , p). 5) Cho Y = X1 + X2 +…+ Xn , trong đó các Xi độc lập và Xi ∼ Poisson(λi), i=1,2,...,n. Khi đó, Y∼Poisson( λi n i=1 ).
• 56. E(esX ) = 1 2π esx e− x2 2 ∞ −∞ dx = e s2 2 1 2π e− (x−s)2 2 ∞ −∞ dx = e s2 2 (vì 1 2π e− x2 2 ∞ −∞ dx = 1). 2) Cách 1: MX(s) = E(esX ) = 1 σ 2π esx e − (x−μs)2 2σ2 ∞ −∞ dx = esμ + s2 2 σ2 1 σ 2π e − (x−s(μ+σ2))2 2σ2 ∞ −∞ dx = esμ + s2 2 σ2 (vì 1 σ 2π e − (x−s(μ+σ2))2 2σ2 ∞ −∞ dx = 1). Cách 2: Có thể viết X = σZ + μ, với Z∼N(0,1). MX(s) = E(esX ) = E[esσZ esμ ] = esμ E[esσZ ] = esμ MZ(sσ) = esμ + σ2s2 2 với mọi s ∈ R.
• 57. X2 , ⋯, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì với Y= X1 + X2 + ⋯ + Xn , ta có MY(s) = MX1 (s)MX2 (s)…MXn (s) = esμi + s2σi 2 2n i=1 = e (sμi + s2σi 2 2 n i=1 ) = es μi n i=1 + s2 2 σi 2n i=1 với mọi s ∈ R. Suy ra Y ~ N( μi n i=1 , σi 2n i=1 ) . 4) Nếu X1, X2 , ⋯, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì với Y= X1 + X2 + ⋯ + Xn , ta có MY(s) = MX1 (s)MX2 (s)…MXn (s) = (pes + 1 − p)min i=1 = (pes + 1 − p) mi n i=1 . Suy ra Y ~ Binomial( mi n i=1 , p). 5) MXi (s)= eλi(es−1) với mọi s∈R. Do đó, MY(s) = eλi(es−1)n i=1 = e(es−1) λi n i=1 với mọi s∈R. Suy ra Y∼Poisson( λi n i=1 ).
• 58. của hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối kết hợp (The MGF of the joint distribution) 2.1. Định nghĩa: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối kết hợp. Hàm sinh moment của hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối kết hợp (the MGF of the joint distribution), được định nghĩa là MXY(s,t) = E[esX+tY ]. Chú ý: Hàm sinh moment của hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối kết hợp xác định duy nhất phân phối kết hợp của X và Y.
• 59. kết quả nghiên cứu: 2.2.1. Xác định MGF của hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn hai biến (theo đn 1): X và Y được gọi là có phân phối chuẩn hai biến khi aX + bY có phân phối chuẩn, với mọi a, b ∈ R. Khi đó, MXY(s,t) = E[esX + tY ] = esμX +tμY + 1 2 s2σX 2 + t2σY 2 + 2stρσXσY , trong đó EX = μX, EY = μY,Var(X) = σX 2 , Var(Y) = σY 2 , ρ(X,Y) = ρ.
• 60. Y có phân phối chuẩn hai biến, nên biến ngẫu nhiên U = sX + tY có phân phối chuẩn, với mọi s, t ∈R. EU = sEX + tEY = sμX +tμY. Var(U) = s2 Var(X) + t2 Var(Y) + 2stρ(X,Y)σXσY = s2 σX 2 + t2 σX 2 + 2stρσXσY. Do đó, U ∼ N(sμX +tμY , s2 σX 2 + t2 σX 2 + 2stρσXσY). Ta có MGF của biến ngẫu nhiên U là MU(h) = eh(sμX +tμY) + (s2σ 𝐗 𝟐 + t2σ 𝐘 𝟐 + 2st ρσXσY )h2 2 . Do đó, MXY(s,t) = E[esX + tY ] = E[eU ] = MU(1) = esμX +tμY + 1 2 s2σX 2 + t2σY 2 + 2stρσXσY .
• 61. MGF của hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến (theo đn 2): X và Y được gọi là có phân phối chuẩn hai biến khi hàm mật độ xác suất kết hợp là fXY (x,y) = 1 2πσX σY 1 1−ρ2 exp{− 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY + ( y−μY σY )2 ]}, trong đó EX = μX , EY = μY ,Var(X) = σX 2 , Var(Y) = σY 2 , ρ(X,Y) = ρ. Khi đó, MXY(s,t) = E[esX + tY ] = esμX +tμY + 1 2 s2σX 2 + t2σY 2 + 2stρσXσY .
• 62. MGF của hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn hai biến, là MXY(s,t) = E[esX+tY ] = 1 2πσXσY 1−ρ2 esx+ty e − 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2+( y−μY σY )2 − 2ρ x−μX σX y−μY σY ]+∞ −∞ +∞ −∞ dxdy. Đổi biến số, đặt u = x−μX σX và v = y−μY σY . Suy ra x = σXu + μX và y = σYv + μY . Ta có MXY(s,t) = E[esX+tY ] = 1 2πσXσY 1−ρ2 es(σX u + μX)+t(σYv + μY) e − 1 2(1−ρ2) (u2+v2 – 2ρuv)+∞ −∞ +∞ −∞ J dudv, trong đó J = det 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 = det σX 0 0 σY = σXσY. Do đó MXY(s,t) = 1 2πσXσY 1−ρ2 es(σX u + μX)+t(σYv + μY) e − 1 2(1−ρ2) (u2+v2 – 2ρuv)+∞ −∞ +∞ −∞ σXσYdudv = 1 2π 1−ρ2 es μX+t μY esσXu +tσYv e − 1 2(1−ρ2) (u2+v2 – 2ρuv)+∞ −∞ +∞ −∞ dudv = 1 2π 1−ρ2 es μX+t μY e tσYv − 1 2(1−ρ2) v2 e sσXu − 1 2(1−ρ2) (u2 – 2ρuv)+∞ −∞ +∞ −∞ dudv
• 63. = 1 2π 1−ρ2 e sσXu − 1 2(1−ρ2) (u2 – 2ρuv)+∞ −∞ du = 1 2π 1−ρ2 e [sσX 1−ρ2 +ρv]2 2(1−ρ2) e – [u−(sσX 1−ρ2 +ρv)]2 2(1−ρ2) +∞ −∞ du Vì 1 2π 1−ρ2 e – [u−(sσX 1−ρ2 +ρv)]2 2(1−ρ2) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, trung bình sσX 1 − ρ2 + ρv, phương sai 1 − ρ2 , nên 1 2π 1−ρ2 e – [u−(sσX 1−ρ2 +ρv]2 2(1−ρ2) +∞ −∞ du = 1. Suy ra I = 1 2π e [sσX 1−ρ2 +ρv]2 2(1−ρ2) .
• 64. = 1 2π es μX+t μY e tσYv − 1 2(1−ρ2) v2 e [sσX 1−ρ2 +ρv]2 2(1−ρ2) +∞ −∞ dv = 1 2π es μX+t μY+ s2σX 2 1−ρ2 2 e 2(tσY+sσXρ)v−v2 2 +∞ −∞ dv = 1 2π es μX+t μY+ s2σX 2 1−ρ2 2 + 1 2 (tσY+sσXρ)2 e− [v−(tσY+sσXρ)]2 2 +∞ −∞ dv Vì 1 2π e− [v−(tσY+sσXρ)]2 2 là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, trung bình tσY + sσXρ phương sai 1, nên 1 2π e− [v−(tσY+sσXρ)]2 2 +∞ −∞ dv = 1. Vậy MXY(s,t) = es μX+t μY+ s2σX 2 1−ρ2 2 + 1 2 (tσY+sσXρ)2 = esμX + tμY + 1 2 s2σX 2 + t2σY 2 + 2stρσXσY với mọi s, t ∈R.
• 65. nghĩa 1 và định nghĩa 2 về hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến là tương đương. CM Từ hai kết quả trên, ta kết luận MGF của hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn hai biến theo định nghĩa 1 và định nghĩa 2 là như nhau. Theo định lý (1.4.), kết luận định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến là tương đương.
• 66. NHIÊN CHUẨN (Normal Random Vector) Mục tiêu của phần này là dùng vectơ ngẫu nhiên chuẩn để chứng tỏ hai định nghĩa của hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến là tương đương (định nghĩa 1 và định nghĩa 2). 1. Nhiều biến ngẫu nhiên liên tục (More Random Continuous Variables) 1.1. Định nghĩa: a) Cho X1, X2 , ⋯, Xn là n biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm mật độ xác suất kết hợp (the joint PDF) của X1, X2 ,⋯, Xn được định nghĩa là fX1X2…Xn (x1, x2, ⋯, xn), sao cho với mọi tập A⊂Rn , ta có P((X1, X2 , ⋯, Xn)∈A) = ∫⋯∫A fX1X2…Xn (x1, x2, ⋯, xn) dx1dx2⋯dxn. b) Hàm mật độ xác suất lề của Xi (the marginal PDF of Xi) được định nghĩa là fXi (xi) sao cho fXi (xi) = ∫R⋯∫R fX1…Xi−1Xi+1…Xn (x1,…, xi−1, xi+1 ,…, xn)dx1…dxi−1dxi+1…dxn . c) Hàm mật độ tích lũy kết hợp (the joint CDF) của X1, X2 , ⋯, Xn được định nghĩa là FX1X2…Xn (x1, x2, ⋯, xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2 , ... , Xn ≤ xn) . 1.2. Sự độc lập: a) Các biến ngẫu nhiên X1, X2 , ⋯, Xn được gọi là độc lập nếu với mọi (x1, x2, ⋯, xn)∈Rn , ta có FX1X2…Xn (x1, x2, ⋯, xn) = FX1 (x1)FX2 (x2)…FXn (xn) . b) Các biến ngẫu nhiên liên tục X1, X2 , ⋯, Xn được gọi là độc lập nếu với mọi (x1, x2, ⋯, xn)∈Rn , ta có fX1X2…Xn (x1, x2, ⋯, xn) = fX1 (x1)fX2 (x2)…fXn (xn) .
• 67. các biến ngẫu nhiên X1, X2 , ⋯, Xn độc lập thì E[X1 X2 ⋯ Xn] = E[X1]E[X2]⋯E[Xn]. 1.4. Định nghĩa: Các biến ngẫu nhiên X1, X2 , ⋯, Xn được gọi là độc lập và có phân phối đồng nhất (independent and identically distributed, i.i.d.), nếu X1, X2 , ⋯, Xn độc lập và FX1 (x) = FX2 (x) = ... = FXn (x) với mọi x∈R. Chú ý: Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2 , ⋯, Xn độc lập và có phân phối đồng nhất, thì X1, X2 , ⋯, Xn có cùng trung bình và phương sai, do đó, E[X1 X2 ⋯ Xn] = E[X1]E[X2]⋯E[Xn] = (EX1)n . 1.5. Kỳ vọng và phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên: Cho các biến ngẫu nhiên X1, X2 , ⋯, Xn . Gọi Y= X1 + X2 + ⋯ + Xn . a) EY= EX1 + EX2 + ⋯ + EXn . Var( Xi n i=1 ) = Cov( Xi n i=1 , Xj n j=1 ) = Cov(Xi,Xj)n j=1 n i=1 = Var(Xi)n i=1 + 2 Cov(Xi,Xj)i<𝑗 . b) Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2 , ⋯, Xn độc lập, thì Cov(Xi, Xj) = 0 với i ≠ j, khi đó Var( Xi n i=1 ) = Var(Xi)n i=1 .
• 68. nhiên (Random Vector): 2.1. Định nghĩa: Gọi X là vectơ ngẫu nhiên khi X là một vectơ cột, có n hàng, gồm các thành phần là n biến ngẫu nhiên X1, X2, ... , Xn. Ta viết X = X1 X2 . . Xn . 2.2. Hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên: a) Hàm phân phối tích lũy của vectơ ngẫu nhiên X là FX(x) = FX1,X2,…,Xn (x1, x2, ..., xn ) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,..., Xn ≤ xn) . b) Hàm mật độ xác suất của vectơ ngẫu nhiên X là fX(x) = fX1,X2,…,Xn (x1, x2, ..., xn ). c) Vectơ kỳ vọng (trung bình) của vectơ ngẫu nhiên X là EX = EX1 EX2 . . EXn .
• 69. ngẫu nhiên (random matrix): 3.1. Định nghĩa: Ma trận ngẫu nhiên M là ma trận m hàng, n cột, gồm các phần tử là các biến ngẫu nhiên Xij (hàng i, cột j). Ta viết M = X11 X12 …X1n X21 X22 …X2n . . Xm1 Xm2 …Xmn = [Xij] . Ma trận trung bình (the mean matrix) của M là EM= EX11 EX12 …EX1n EX21 EX22 …EX2n . . EXm1 EXm2 …EXmn . 3.2. Định lý: a) Cho X là vectơ ngẫu nhiên, A là ma trận cố định m hàng, n cột và b là vectơ cố định m hàng. Khi đó, Y = AX + b vectơ ngẫu nhiên m hàng và EY = AEX + b. b) Nếu X1, X2 ,⋯, Xk là k vectơ ngẫu nhiên n hàng, thì E[X1+X2+ ⋯ +Xk] = EX1 + EX2+ ⋯ + EXk .
• 70. tương quan (The Correlation Matrix) - Ma trận hiệp phương sai (The Covariance Matrix) 4.1. Định nghĩa: Cho X là vectơ ngẫu nhiên n hàng. Ma trận tương quan của X là RX = E[X1 2 ] E[X1X2] … E[X1Xn] E[X2X1] E[X2 2 ] … E[X2Xn] . . E[XnX1] E[XnX2] … E[Xn 2 ] Ma trận hiệp phương sai của X là CX = Var X1 Cov(X1, X2) … Cov(X1, Xn) Cov(X2, X1) Var X2 … Cov(X2, Xn) . . Cov Xn, X1 Cov Xn, X2 … Var(Xn) 4.2. Tính chất của ma trận hiệp phương sai: a) Ma trận hiệp phương sai CX là ma trận đối xứng (symmetric matrix). b) Ma trận hiệp phương sai CX có thể được chéo hóa và các giá trị riêng của CX là số thực. c) Ma trận hiệp phương sai CX là ma trận bán xác định dương (positive semi-definite, PSD).
• 71. M là ma trận bán xác định dương nếu với mọi vectơ b, ta có bT Mb ≥ 0. Ma trận M là ma trận xác định dương (positive definite, PD) nếu với mọi vectơ b, ta có bT Mb > 0. 4.3. Định lý: a) Ma trận CX là ma trận xác định dương (PD) khi và chỉ khi mọi giá trị riêng của nó là số dương. b) Ma trận CX là ma trận xác định dương (PD) khi và chỉ khi det(CX) > 0. 5. Hàm mật độ xác suất của vectơ ngẫu nhiên Y = AX + b 5.2. Định lý: Cho X là vectơ ngẫu nhiên n hàng, A là ma trận cố định m hàng, n cột và b là vectơ cố định m hàng. Ta có Y = AX + b là vectơ ngẫu nhiên m hàng. Khi đó, CY = ACXAT . 5.3. Định lý: Cho vectơ ngẫu nhiên X có n phần tử, với PDF fX(x). Gọi A là ma trận khả đảo cố định nxn, và b là vectơ cố định có n phần tử. Gọi Y=AX + b. Khi đó, PDF of Y, fY(y) = 1 det ⁡(A) fX(A-1 (y−b)).
• 72. chuẩn (normal random vector): 6.1. Các biến ngẫu nhiên chuẩn kết hợp: Các biến ngẫu nhiên X1,…,Xn được gọi là chuẩn kết hợp, nếu biến ngẫu nhiên a1X1 + ⋯+ anXn có phân phối chuẩn, với mọi a1,…,an ∈ R. Chú ý: Ta thống nhất hằng số zero là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, với trung bình 0 và phương sai 0, i.e., hằng số zero có phân phối N(0,0). 6.2. Định nghĩa: Vectơ ngẫu nhiên X = X1 X2 . . Xn được gọi là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, nếu các biến ngẫu nhiên X1,…,Xn là chuẩn kết hợp.
• 73. là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, có ma trận trung bình m và ma trận hiệp phương sai CX , thì ta viết X ∼ N(m,CX). 6.3. Định lý: a) Nếu X là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, A là ma trận cố định mxn, b là vectơ cố định m hàng, thì Y = AX + b cũng là vectơ ngẫu nhiên chuẩn. b) Nếu X là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, X ∼ N(m,CX), A là ma trận cố định mxn, b là vectơ cố định m hàng, thì Y = AX + b cũng là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, có ma trận trung bình AEX + b, ma trận hiệp phương sai là CY = ACXAT . Khi đó Y ∼ N(AEX+b, ACXAT ). 6.4. Vectơ ngẫu nhiên chuẩn chính tắc (standard normal random vector): Vectơ Z = Z1 Z2 . . Zn được gọi là vectơ ngẫu nhiên chuẩn chính tắc khi Zi (i=1,2,..,n) là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối và Zi ∼ N(0,1) (i=1,2,..,n).
• 74. hàm mật độ xác suất PDF của vectơ ngẫu nhiên chuẩn chính tắc: Vectơ ngẫu nhiên chuẩn chính tắc Z có hàm mật độ xác suất PDF được cho bởi fZ(z) = fZ1,…,Zn (z1,…,zn) = fZi n i=1 (zi) = 1 (2π) n 2 exp{- 1 2 zi 2n i=1 } = 1 (2π) n 2 exp {- 1 2 zT z }. 6.6. Xác định hàm mật độ xác suất PDF của vectơ ngẫu nhiên chuẩn: Cho vectơ ngẫu nhiên chuẩn X ∼ N(m, CX), với det(CX) > 0. Hàm mật độ xác suất PDF của vectơ ngẫu nhiên chuẩn X được cho bởi fX(x) = 1 (2π) n 2 det⁡(CX) exp{- 1 2 (x−m)T CX -1 (x−m)}.
• 75. kết quả nghiên cứu: 7.1. Xác định hàm mật độ xác suất kết hợp của hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn kết hợp: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn kết hợp, với EX = μX , Var(X) = σX 2 , EY = μY , Var(Y) = σY 2 , ρ(X,Y) = ρ ∈ (-1,1). Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y được cho bởi fX,Y(x,y) = 1 2πσXσY 1−ρ2 exp{- 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 +( y−μY σY )2 - 2ρ x−μX σX y−μY σY ]}.
• 76. Y là hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn kết hợp, nên vectơ X Y là vectơ ngẫu nhiên chuẩn. Hàm mật độ xác suất kết hợp của X và Y là hàm mật độ xác suất của vectơ X Y . Vectơ X Y có vec tơ trung bình m = μX μY và CX = Var X Cov(X, Y) Cov Y, X Var(Y) = σX 2 ρσXσY ρσXσY σY 2 . Suy ra det(CX) = σX 2 σY 2 (1 − ρ2 ) > 0, do đó CX là ma trận xác định dương. Ta có CX -1 = 1 σX 2 σY 2 (1−ρ2) σY 2 − ρσXσY −ρσXσY σX 2 . Suy ra (x−m)T CX -1 (x−m) = 1 σX 2 σY 2 (1−ρ2) x − μX y − μY T σY 2 − ρσXσY −ρσXσY σX 2 x − μX y − μY = 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 +( y−μY σY )2 - 2ρ x−μX σX y−μY σY ]. Do đó, hàm mật độ xác suất của vectơ X Y là fX,Y(x,y) = 1 2πσX σY 1−ρ2 exp{- 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 +( y−μY σY )2 - 2ρ x−μX σX y−μY σY ]}.
• 77. nghĩa 1 và định nghĩa 2 về hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến là tương đương. CM Từ kết quả (7.1) trên, ta kết luận hai biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn hai biến theo định nghĩa 1, có hàm mật độ xác suất PDF được cho bởi fX,Y(x,y) = 1 2πσXσY 1−ρ2 exp{- 1 2(1−ρ2) [( x−μX σX )2 +( y−μY σY )2 - 2ρ x−μX σX y−μY σY ]}, với EX = μX , Var(X) = σX 2 , EY = μY , Var(Y) = σY 2 , ρ(X,Y) = ρ. Kết luận định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai biến là tương đương.
• 78. vectơ ngẫu nhiên chuẩn X = X1 X2 có các thành phần X1 và X2 không tương quan thì X1 và X2 độc lập. CM Nếu X là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, có các thành phần X1 và X2 không tương quan, thì Cov(X1, X2) = 0, do đó ma trận hiệp phương sai CX là ma trận chéo. Ta có CX = Var X1 0 0 Var(X2) = σX1 2 0 0 σX2 2 . Suy ra ma trận CX -1 cũng là ma trận chéo, CX -1 = 1/σX1 2 0 0 1/σX2 2 . Ta có ma trận trung bình m = μX1 μX2 . Khi đó, X ∼ N(m, CX) có PDF được cho bởi fX(x) = 1 (2π) n 2 det ⁡(CX ) exp{- 1 2 (x−m)T CX -1 (x−m)}. = 1 2πσX1 σX2 1−ρ2 exp{- 1 2(1−ρ2) [( x1−μX1 σX1 )2 +( x2−μX2 σX2 )2 ]} = fX1 (x1). fX2 (x2). Vậy X1 và X2 độc lập.
• 79. vectơ ngẫu nhiên chuẩn X = X1 X2 . . Xn có các thành phần X1, X2,..., Xn không tương quan, thì X1, X2,..., Xn độc lập. CM Nếu X là vectơ ngẫu nhiên chuẩn, có các thành phần Xi (i =1,2,..,n) không tương quan, thì ma trận hiệp phương sai CX là ma trận chéo. Suy ra ma trận CX -1 cũng là ma trận chéo. Khi đó, X ∼ N(m, CX) có PDF được cho bởi fX(x) = 1 (2π) n 2 det ⁡(CX ) exp{- 1 2 (x−m)T CX -1 (x−m)} = fXi (xi).n i=1 Vậy các Xi (i =1,2,..,n) độc lập. Hết
• 80. KHẢO 1) Bivarate Normal Distribution. Colin Rundel. Department of Statistical Science, Duke University, USA. (2012) 2) Construction of Continuous Bivarate Density Functions. Yuchung J. Wang. Academia Statistica Sinica 3 (1993), 173-187. 3) Introduction to Probability - The Bivarate Normal Distribution. D. P. Bertsekas and J. N. Tsitsiklis. Section 4.7. The 1st Edition. (2002) 4) Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes Hossein Pishro-Nik. Department of Electrical and Computer Engineering, University of Massachusetts Amherst, USA. (2014) 5) Moment Generating Functions and Multivariate Normal Distribution Tamás Linder, P.Eng. Department of Mathematics and Statistics Queen's University Kingston, Ontario, Canada. (2012) 6) Multivariate Normal Distribution Rebecca Jennings, Mary Wakeman-Linn, Xin Zhao November 11, 2010
• 81. and multivariate normal distribution Marie Davidian. Statistics Department, University of North Carolina. Courses Taught, Chapter 3, st732. (2015) 8) The Bivariate and Multivariate Normal Distribution School of Mathematical Sciences, Queen Mary University, London, UK. MTH5118, Probability 2, Notes11. (2009) 9) The Multivariate Gaussian Distribution Steffen Lauritzen. University of Oxford. BS2 Statistical Inference, Lecture 6, Hilary Term. (2009) 10) The Multivariate Normal Distribution Robert B. Ash. Deparment of Mathematics, University of Illinois. A standard first course in probability, Lecture 21. (1996) 11) Academo.org/demos/3d-surface-plotter Source code available at GitHub.com. Academo.org (2016). PHÂN PHỐI CHUẨN HAI BIẾN BIVARIATE NORMAL DISTRIBUTION CHU VĂN THỌ Bộ môn Toán - Đại Học Y Dược Tp HCM