Bài 1.6 trang 7 sbt đại số và giải tích 11 nâng cao
(Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x = - {\alpha \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên).
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Từ tính chất của hàm số\(y = \sin x\)là hàm số tuần hoàn với chu kì\(2\pi \), hãy chứng minh rằng: LG a Hàm số\(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\)(\(A,B,\omega ,\alpha \)là những hằng số,\(A\omega \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì\({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) Lời giải chi tiết: Giả sử \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\). Đặt \(\omega x + \alpha = u\) , ta được \(\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u\), với mọi số thực \(u\) . Vậy suy ra \(\omega T = k2\pi \) , tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) nguyên. Ngược lại dễ thấy rằng \(A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) \)\(= A\sin \left( {\omega x + \alpha + k2\pi } \right)\) \(= A\sin (\omega x + \alpha )\) Vậy số \(T = {{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) là số dương bé nhất thỏa mãn \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\). (tức là \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) ). LG b Hàm số\(y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\)(\(A,B,\omega ,\alpha \)là những hằng số,\(A\omega \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì\({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) Lời giải chi tiết: T là số mà \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\), với mọi \(x \in R\) thì \(\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha + {\pi \over 2}} \right) \) \(= \sin \left( {\omega x + \alpha + {\pi \over 2}} \right)\) Đặt \(\omega x + \alpha + {\pi \over 2} = u\), ta được \(\sin (u + \omega T) = \sin u\) với mọi \(u\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \) tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên. (Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x = - {\alpha \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên). Từ đó dễ thấy rằng \(y = A\cos (\omega x + \alpha )\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\).
|