Bài tập Giải phương trình bằng phương pháp the
§3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHỮƠNG PHÁP THẾ
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ấn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới đế thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất).
Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Bước 1: Dùng quy tắc thê biến đối hệ phương trình đã cho đế được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiêm của hẹ đã cho.
Chú ý: Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đều bằng
0 thì hệ phương trình đã cho có thế có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
3x + y = ll (1)
2x + 3y = 12 (2)
Giải
Từ phương trình (1) ta có: y = 11 - 3x (3)
Thế (3) vào (2) ta được: 2x + 3(11 - 3x) = 12
2x + 33 - 9x = 12 -7x = -21 o X = 3 Thay X = 3 vào (3) ta được y = 11 - 3.3 = 11-9 = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x = 3; y = 2).
Bài tập cơ bản
13.
x-y = 3
b) •
7x-3y
3x - 4y = 2
4x + y
3x - 2y = 11
b) <
4x - 5y = 3
X + y VI = 0
b).(
xVI + 3y = 1 - VI
-
Giải
12. a) <
a)
14. a)
y
3
VI )x - 3y = 2 + õVI H y = 4 — 2 VI
c)
12. a) Từ x-y = 3=>x = 3+y.
Thay X = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2.
Ta được 3(3 + y) - 4y = 2 9 + 3y - 4y = 2.
o -y = -7 Ó y = 7
Thay y = 7 vào X = 3 + y ta được X = 3 + 7 = 10. Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7). b) Từ 4x + y = 2 => y = 2 - 4x.
Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5.
Ta được 7x - 3(2 - 4x) = 5 7x - 6 + 12x = 5.
11
19x = 11 X = ^
Thay X =
11
19
X + 3y = -2 5x - 4y = 11
19
vào y = 2 - 4x ta được y - 2 - 4,—— = 2
11 6
44
19
G_
19
Hệ phương trình có nghiêm I ig
c) Từ X + 3y = -2 => X = -2 - 3y.
Thay vào 5x - 4y = 11 ta được 5(-2 - 3y)
o -10 - láy
4y = 11 4y = 11
-19y = 21 y = --7-? J J 19
-5 + 75 -1 + 75
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y)
KTA„ „ o of 21A o 63 25
Nenx = -2-3—=7 =-2 + 77 = 77
I 19 J 19 19
\ ( 25 . 21Ì
Vậy hệ phương trình có nghiệm 10 ’ ig Ị'
3x -11
a) Từ phương trình thư nhất ta có y = ——- Thế vào y trong
3x - 11
phương trình thứ hai: 4x - 5 — = 3 -7x - -49 X = 7.
Từ đó y = 5. Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5).
, 2y + 6
b) Từ phương trình thứ nhất ta có: X = —-—
Thế vào X trong phương trình thứ hai
5 2? +6 - 8y = 3 -14y - -21 y = -|
Vậy hệ phương trình có nghiệm I 2 ] •
a) Từ phương trình thứ nhất ta có X = -yTõ.
Thế vào X trong phương trình thứ hai ta được
-y 75.75 + 3y = 1 - 75 -2y = 1-75
75-1 y = —ý;—
Từ đó X
75-1
.75 =
-5 + 75
v 2 2 b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 - 273 - 4x.
Thế vào y trong phương trình thứ hai được
(2 - 73)x - 3(4 - 273 - 4x) = 2 + õTã o (14 - ^3 )x = 14 -73 « X = 1
Từ đó y = 4-273-4.1 = -273.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x;y) = (l;-273)
Bài tập tương tự
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
J4x + y = 2 i3x-2y = ll
a) < „ ~ b) 1
8x + 3y = 5 [4x-5y = 3
c)
4x-3
5
15 - 9y
d)
14
LUYỆN TẬP
X + 3y = 1 (a2 + l)x + 6y = 2a a) a = -1 b) a =, 0 c) a = 1
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thê (các bài 16 và 17):
X 2
15. Giải hệ phương trình
a) <
a) ax + by = c a' x + b' y = c'
ta có thể làm như sau :
§ 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊ A. Tóm tắt kiến thức
Muốn giải hệ phướng trình
-by + c
Gi ủ sử rằng ur(i.
Bước 1. Rút một ẩn X từ một phương trình ax + by = c, ta được X =
DUƠC X. I nay X = — vào pnưo
a
trình một ẩn a'. + 6 + b'y = c'.
Q „7..^^..^ X..' 7. ...Ax a’. V
Bước 2. Thay X = VÍJỠ phương trình a'x + b'y = c', ta được một phương
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa được trong bước 2, tìm được giá trị của y.
Bước 4. Thay giá tri vừa tìm được của ẩn y vào biểu thức X = fey —- , ta tìm ạ
được giá trị tương ứng của X.
Cặp giá trị tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý. a) Nếu a = 0 thì b^o. Khi đó ta rút y từ phương trình ax + by = c.
b) Khi các hệ sô a, b, a', b' lủ những số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số của nó có giá tri tuyệt đối nhỏ nhất.
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
Giải phương trình (4):
(4) 4x + 15x — 18 = 1 19x = 19 X = 1.
Thay X = 1 vào phương trình (3) ta được :
y = 5.1 -6 = -l.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; -1).
đối tương đương như sau :
5x - y = 6 4x + 3y = 1 y = 5x - 6
y = 5x - 6 4x + 3y = 1
y = 5x - 6 19x = 19
í
5
y = 5x - 6 4x + 3(5x - 6) = 1
4x + 15x-18 = l Vậy hệ có một nghiệm là (x ; y) = (1 ; -1).
. Í2x-5y = 6
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
y = 5x - 6 X = 1
y = -i X = 1.
(1)
(2)
4x + 7y = -5
> Giải. Vì 2 là hệ số có giá trị tuyệt đối bé nhất nên ta rút X từ phương trình (1). Ta được :
5y + 6
(3)
- Thay X = vào phương trình (2), ta được :
2
5y + 6
+ 7y = -5 hay 2(5y + 6) + 7y = -5.
(4)
Lưu ý. Có thể trình bày phép giải hệ phương trình bằng một dãy các phép biến
Giải phương trình (4) :
(4) lOy + 12 + 7y = -5 « 17y - -17 y = -l.
Thay y = -1 vào phương trình. (3), ta được :
5.(-l) + 6 _J_ 2 ~2
v2; Y
Vậy hệ đa cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) =
Ví dụ 3. Tìm a và b để đường thẳng (d) : ax + by = 7 đi qua hại điểm A(-3 ; 10) và B(2; -9).
> Giải. Vì đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B nên toạ độ của chúng thoả mãn phương trình ax + by = 7 ; nghĩa là :
(1)
(2)
-3a + 10b = 7
2a - 9b = 7 Giải hệ phương trình này với hai ẩn là a và b.
Rút a từ phương trình (2), ta được
(3)
(4)
9b + 7 a =—— ■
2
Thay a = + 7 vào phương trình (1), ta được :
_3.2Ề±2+ i0b = 7 hay -27b-21 + 20b = 14.
- Giải phương trình (4):
(4) -7b = 35 « b = -= -5.
7
- Thay b = -5 vào phương trình (3), ta được :
= -19.
9 (-5)+ 7
Vậy a = -19, b = -5.
Ví dụ 4. Tim giá trị của b để ba đường thẳng (dj): 4x - 3y = 1, (d2): - 5x + 3y = -2, (d3): 5x + by = 7 đồng quy.
❖ Phân tích. Ba đường thẳng (dj), (d2), (d3) đồng quy có nghĩa là đường thẳng (d3) đi qua giao điểm của |