Bài tập tìm công thức đa thức tối tiểu năm 2024
100% found this document useful (1 vote) 2K views 4 pages Tìm đa thức tối tiểu của một tự đồng cấu. Original TitleTìm đa thức tối tiểu.pdf Copyright© Attribution Non-Commercial (BY-NC) Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?100% found this document useful (1 vote) 2K views4 pages Tìm đa thức tối tiểu PDFTÌM ĐA THỨ C T Ố I TI Ể U Nguy ễ n Minh Trí. Trong bài này, ta s ẽ có m ột cách khác để tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a m ộ t ma tr ậ n vuông hay m ộ t t ự đồ ng c ấ u mà không nh ấ t thi ế t ph ải tìm đa thức đặc trưng. Ta nh ắ c l ại định nghĩa đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a m ộ t t ự đồ ng c ấ
V là m ộ t K - không gian vectơ hữ u h ạ n chi ề u v ớ i dim . V n Định nghĩa 1: Cho : f V V là m ộ t t ự đồ ng c ấ u tuy ến tính. Đa thứ c chu ẩ n t ắ c có b ậ c nh ỏ nh ấ t nh ậ n f làm nghi ệm đượ c g ọi là đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a . f Kí hi ệ u ( ). f m x Ta nh ắ c l ạ i r ằng, đa thứ c chu ẩ n t ắc là đa thứ c có h ệ s ố cao nh ấ t b ằ ng 1. Gi ả s ử ( ) [ ] f m x K x là đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f , khi đó ta có ( ) 0 f m f (đồ ng c ấ u không). T ứ c là ( )( ) 0 f m f v v ớ i m ọi vectơ . v V Ta có b ổ đề sau: B ổ đề 2: Cho : V V là m ộ t t ự đồ ng c ấ u và 1 2 { , ,..., } n B e e e là m ột cơ sở c ủ a . V Ta có là đồ ng c ấ u không khi và ch ỉ khi ( ) 0 i e v ớ i 1,2,..., . i n Ch ứ ng minh. N ế u là đồ ng c ấ u không thì hi ể n nhiên ta có ( ) 0 i e v ớ i 1,2,..., . i n Ngượ c l ạ i, n ế u ta có ( ) 0 i e v ớ i 1,2,..., . i n Ta s ẽ ch ứ ng minh ( ) 0 v v ớ i m ọ i . v V Vì 1 2 { , ,..., } n B e e e là m ột cơ sở c ủ a V nên 1 1 ... n n v k e k e v ớ i , 1,2,..., . i k K i n Khi đó 1 1 1 1 ( ) ( ... ) ( ) ... ( ) 0. n n n n v k e k e k e k e Như vậy ta có điề u ph ả i ch ứ ng minh. Do đó, để ch ứ ng minh m ột đồ ng c ấu là đồ ng c ấ u không, ta không c ầ n thi ế t ph ả i ch ứ ng minh ả nh c ủ a m ọi vectơ đề u b ằ ng 0 mà ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh ả nh c ủa các vectơ trong cơ s ở là vectơ không. Để tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a , f ta đưa ra khái niệm đa thứ c t ố i ti ể u liên k ế t v ớ i m ột vectơ. Định nghĩa 3: Cho : f V V là m ộ t t ự đồ ng c ấ u tuy ế n tính và v là m ột vectơ củ a . V Đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i , v kí hi ệ u ( ), v m x là đa thứ c chu ẩ n t ắ c có b ậ c nh ỏ nh ấ t sao cho ( )( ) 0. v m f v Để tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i v ta c ầ n xét h ệ các vectơ 2 3 , ( ), ( ), ( ),... v f v f v f v đế n khi nào ta có m ộ t h ệ ph ụ thu ộ c tuy ế n tính thì ta s ẽ tìm được đa thứ c chu ẩ n t ắ c c ầ n tìm. Ví d ụ 4: Cho ánh x ạ tuy ế n tính 4 4 : f xác định như sau ( , , , ) (3 - , ,3 5 -3 ,4 - 3 - ). f x y z t x y x y x z t x y z t Tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i (1,0,0,0). v Ta có: 2 ( ) (3,1,3,4), ( ) (3,1,3,4) (8,4,12,16). f v f v f Khi đó 2 ( ) 4 ( ) 4 0. f v f v v Do đó đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i (1,0,0,0) v là 2 4 4. x x Ta d ễ dàng ch ứng minh đượ c nh ậ n xét sau d ựa vào định nghĩa đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i v . N ế u ( ) v m x đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i v và ( ) p x là đa thứ c th ỏ a ( )( ) 0 p f v thì ( ) v m x là ướ c c ủ a ( ) p x . Gi ả s ử ( ) i m x là các đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ới vectơ i e v ớ i 1,2,..., . i n Ta bi ế t ( ) f m x là đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f do đó ( )( ) 0 f i m f e v ớ i 1,2,..., . i n T ừ nh ậ n xét trên ta suy ra ( ) f m x là b ộ i chung c ủ a các ( ). i m x Ta s ẽ ch ứ ng minh ( ) f m x là b ộ i chung nh ỏ nh ấ t c ủa các đa thứ c ( ). i m x Gi ả s ử ta có đa thứ c ( ) q x là b ộ i c ủa các đa thứ c ( ) i m x , khi đó ( )( ) 0 i q f e v ớ i m ọ i 1,2,..., . i n Theo B ổ đề 2, ta có ( ) q f là đồ ng c ấ u không và do đó ( ) q x chia h ế t cho ( ). f m x Như vậ y, ( ) f m x là b ộ i chung nh ỏ nh ấ t c ủa các đa thứ c ( ). i m x Ví d ụ 5: Cho ánh x ạ tuy ế n tính 4 4 : f xác định như sau ( , , , ) (3 - , ,3 5 -3 ,4 - 3 - ). f x y z t x y x y x z t x y z t Tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f . Ta ch ọn cơ sở chính t ắ c c ủ a 4 là 1 2 3 4 (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). e e e e Ta l ần lượt tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i các . i e T ừ ví d ụ 4, ta có đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i các 1 e là 2 2 4 4 ( 2) . x x x Đố i v ớ i 2 (0,1,0,0) e ta có 22 2 ( ) ( 1,1,0, 1), ( ) ( 4,0,0, 4) f e f e suy ra 22 2 2 ( ) 4 ( ) 4 0. f e f e e Do đó, đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i các 2 e là 2 2 4 4 ( 2) . x x x Đố i v ớ i 3 (0,0,1,0) e ta có 23 3 ( ) (0,0,5,3), ( ) (0,0,16,12) f e f e suy ra 23 3 3 ( ) 4 ( ) 4 0. f e f e e Do đó, đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i các 3 e là 2 2 4 4 ( 2) . x x x Đố i v ớ i 4 (0,0,0,1) e ta có 24 4 ( ) (0,0, 3, 1), ( ) (0,0,12, 8) f e f e suy ra 24 4 4 ( ) 4 ( ) 4 0. f e f e e Do đó, đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f liên k ế t v ớ i các 4 e là 2 2 4 4 ( 2) . x x x V ậy đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a f là 2 ( 2) . x Để tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a ma tr ậ n vuông A c ấ p n v ớ i các ph ầ n t ử thu ộc trườ ng , K ta cũng làm tương tự . G ọ i 1 2 , ,..., n e e e là các vectơ (cột) cơ sở chính t ắ c c ủ a . n K Ta tìm các đa thứ c t ố i ti ể u liên k ế t v ớ i i e b ằ ng cách xét h ệ các vectơ cộ t 2 , , ,... i i i e Ae A e đến khi nào ta đượ c m ộ t h ệ ph ụ thu ộ c tuy ến tính. Khi đó, bộ i chung nh ỏ nh ấ t c ủa các đa th ứ c t ố i ti ể u liên k ế t v ới các vectơ i e chính là đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a ma tr ậ n . A Bài t ậ p áp d ụ ng: Bài 1 . Tìm đa thứ c t ố i ti ể u c ủ a ma tr ậ n |
