Bài tập về phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai lớp 10
|
§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VE PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT, bậc hai A. KIÊN THỨC CĂN BẢN 1. Phương trình bậc nhâ’t Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a * 0 (1) có nghiêm duy nhất X = a a - 0 b*0 (1) vô nghiêm b = 0 (1) nghiêm đúng với mọi X 2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a * 0) (2) A = b2 - 4ac Kết luận A > 0 (2) có hai nghiêm phân biêt x19 = - k± '/Ã 2a A= 0 (2) có nghiêm kép X = —— 2a A < 0 (2) vô nghiệm Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a * 0) có hai nghiêm X,, x2 thì b c Xi + x2 - , XiX2 - — a a Ngược lại, nếu hai số u và V có tổng u + V = s và tích uv = p thì u và V là các nghiệm của phương trình 4. X2 - Sx + p = 0. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đôi IAI = B Í A nếu A > 0 -A nếu A < 0 Cách 2: Điểu kiện B > 0 A = B A = -B Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn VÃ = B A = B2 ÍB>0 Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Đặt điều kiện. Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức chung. Đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Kiểm tra điều kiện. Kết luận tập nghiệm. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Giải các phương trinh a) - 3x + 2 2x - 5 2x + 3 4 c) 73x - 5 = 3 ; b) 2#3 4 = 24_t x-3 x + 3 x2-9 d) 72x75=2. ố^íảl a) Điều kiện: X * 2 X2 + 3x + 2 2x - 5 2x + 3 “ 4 4(x2 + 3x + 2) = (2x + 3)(2x - 5) 4x2 + 12x + 8 = 4x2 - lOx + 6x - 15 16x = -23 23 X = - (thỏa điều kiện) 16 23 VậyS=tl6 b) Điều kiện: X * ±3 2x + 3 4 Ta có: 24 X - 3 X + 3 (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3)= 24 + 2(x2 - 9) 5x = -15 X = -3 (loại). Vậy s = 0 5 X2 -9 c) Điều kiện: X > 14 d) Điều kiện: X > - 7 T3x - 5 = 33x-5 = 9x = 77 (nhận) 3 Vậy s = 5 t: X > -7 2 V2x + 5 = 22x + 5 = 4x = -i. Vậy s = 1“ 2} • 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô' m a) m(x - 2) = 3x + 1; b) m2x + 6 = 4x + 3m; (2m + 1 )x - 2m = 3x - 2. ổjiâi Ta có m(x - 2) = 3x + 1 (m - 3)x = 2m + 1 KTA-„ t o _ 2m + 1 Ị2m + lì m-3 1 m-3 J Nếu m = 3 thì Ox = 7; s = 0 m2x + 6 = 4x + 3m o (m2 - 4)x = 3m - 6 (m - 2)(m + 2)x = 3(m - 2). Nếu m * ± 2 thì X = —; s = {—ị m + 2 (m + 2J _ Nếu m = 2 thì Ox = 0; s = R Nếu m = -2 thì Ox = -12; s = 0 (2m + l)x - 2m = 3x - 2 (2m - 2)x = 2m - 2. Nếu m / 1 thì X = lj s = (1) Nếu m = 1 thì Ox = 0; s - K. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thi số quả ở rổ thứ hai bằng của bình phương sô' quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi sô' quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đẩu là bao nhiêu? ốĩiải Gọi X là số quýt ở mỗi rổ. Điều kiện là X nguyên và lớn hơn 30. Ta có phương trình X + 30 = ỉ(x - 30)2 X2 - 63x + 810 = 0 o> Vậy sô' quýt ở mỗi rổ lúc đầu là 45 quả. 4. Giải các phương trinh ' a) 2x“ - 7x2 + 5 = 0; ỐỊlải a) Đặt X = X2 (X > 0) 5 X = 45 X = 18 (loại) b) 3x4 + 2x2 - 1 = 0. Ta có: 2X2 - 7X + 5 = 0 Vậy s = -1; 1;- 10 7ĨÕ X2=Ẽ 2 x2=l X = ±1 Đặt X = X2 (X > 0) Ta có: 3X2 + 2X - 1 = 0 X = -1 (loại) „2 _ 1 I 7Ỗ X = 77 x= ± --- . 3 3 Vậy s = 73. y/3_ 3 ’ 3 Giải các phương trình sau bằng máy tinh bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phàn thứ ba) a) 2x2 - 5x - 4 = 0; b) -3x2 + 4x + 2 = 0; d) 9x2 - 6x - 4 = 0. b) X! « -0,387; x2 » 1,721; d) X! « 1,079; x2 « -0,412. b) |2x-1| = I-5X-2I; d) |2x + 5l =x2 + 5x+1. c) 3x2 + 7x + 4 = 0; 'ĩ)á‘f> iế: a) Xi « 3,137; x2 « -0,637; Xi = -1; x2 « -1,333; Giải các phương trình a) 13x - 2| = 2x + 3; X -1 -3x +1. c 2x-3_ ịx + l| : ốỊiải Điều kiện: X > - ^ 2 , , „ „ T3x-2 = 2x + 3 x 5 L |_x = -1 VậyS=(-l;-iJ. 3 Điều kiện: X * và X * -1. 2 Nếu X > -1 phương trình đã cho tương đương với phương trình X2 - 1 = -6x2 + llx - 3 7x2 - llx + 2 = 0 11 ± 765 _ , 3. 14 2 Nếu X 5x2 - llx + 4 = 0 11 ± 7ĨĨ , 11 ± 7ĨĨ ,, ,. , ., 11-705 11 + 705 14 14 10 10 Vậy s = X = 777— (loại vì 77—— đểu lớn hơn -1) d) • Với X > - — ta có: 12x + 5 ! = X2 + 5x + 1 2x + 5 = X2 + 5x + 1 X2 + 3x - 4 = 0 X = 1(nhận) X = -4 (loại) Với x < - — ta có: I 2x + 5 I = X2 + 5x + 1 o -2x - 5 = X2 + 5x -h 1 2 X + 7x + 6 = 0 Vậy s = (1;-6|. 7. Giải các phương trình: a) \/5x + 6 = x 6 ; c) \'2x2 + 5 = X + 2 ; a) 7õx + 6 = X - 6 • X = -1 (loại) X = -6(nhận) b) 73 - x = Vx + 2 +1; d) \'4x2 + 2x +10 = 3x + 1 . x-6>0 (x>6 5x + 6 = (x - 6)2 ịx2 - 17x + 30 = 0 X > 6 X = 15 X = 15. Vậy s = 115}. b) Điều kiện -2 < X < 3. Ta có: 73 - X = 7x + 2 + 1 3-x = x + 2 + 2 7x + 2 + 1 7x + 2 = -X 0 V2 -X > 0 X + 2 = X2 X < 0 X2 - X - 2 = 0 o X = -1 (nhận). Vậy s = Ị-1Ị. X + 2 > 0 X2 + 5 = X + 2 X > -2 2x2 + 5 = (x + 2)2 [x2 - 4x + 1 = 0 Vậy s = (2 - 73 ; 2 + 70 I. X = 2 ± 73 d) 7ếx2 + 2x + 10 = 3x + 1 <; 3x + 1 > 0 2 4x2 + 2x + 10 =(3x + l) o X = 1. Vậy s = (1|. 1 x > 3 5x2 + 4x - 9 = 0 8. Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1 )x + 3m - 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Ố^Ịiải Ta có A' - (m + l)2 - 3(3m - 5) = m2 - 7m + 16 = f m - + — > 0; Vm l 2/ 4 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. X1 + x2 = 2m + 2 Theo đề bài và định lí Vi-ét ta có: • Xj = 3x2 3m - 5 X1X2 = O (1) (2) (3) m.'í/n..xzoi m + 1 m + 1 Từ (1) và (2) suy ra Xi = —-— ; x2 = ——— Thay Xi, x2 vào (3) ta được: (m +.1)2 = 4(3m - 5) m2 - 10m + 21 = 0 Với m = 3 ta có phương trình 3x2 - 8x + 4 = 0 x = 2 2 X = — 3 s = 2; Với m = 7 ta có phương trình 3x2 - 16x +16 -0« c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải và biện luận các phương trình sau: s= 4; Oi I 00 Tí* I co b) mx + 2(x - m) = (m + 1) + 3; m2x + 1 = mx + m; a(ax + 2b2) - a2 = b2(x + a). Định a, b để phương trình có tập nghiêm là R: a(3x - 1) + b(6x + 1) = 2x + 2 'Đáp a = - ; b = ậ . r 9 9 Định m để phương trình sau có nghiệm dương: m2(x - 1) - 4x - 3m + 2. 'Đáp so: m 1. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c. Chứng minh phương trinh sau vô nghiệm: b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + e2 = 0 -Hướng ìẫn: A = (a + b + c)(b + c - a)(b + a - c)(b - c - a) < 0 Chứng minh rằng phương trình: (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) - 0 luôn có nghiêm. -Hướng ỉẫn: Biên đổi phương trình về dạng: 3x2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 A' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = — [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] > 0. 2 Cho phương trình X2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0. Định m để phương trình: Có hai nghiệm trái dấu; b) Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương. ^ỉ)áf> iế: a) m 3; c) rạ = 3 hoặc m < - 1. Cho phương trình 2x2 + (2m - 1 )x + m - 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt X,, x2 thỏa 3Xì - 4x2 = 11. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đểu âm. Tìm một hệ thức giữa x4, x2 không phụ thuộc vào m. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô’ m: a) m*-m/1=3(1); x + 2 c,£z£! + iLl=2(3); X -1 X -m 9. Giải phương trình: a) (x + 5)(2 - X) = 3yjx2 + 3x ; c) Vx2 -3x + 3 + ựx2 -3x + 6 = 3. b) d) X -m x+m x+3 b) 1 + j Vx - X2 = Vx + ựl-X ; 3
1. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1)
Khi a ≠ 0 phương trình (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai a + bx + c = 0, (a ≠ 0) (2)
3. Định lí Vi-ét. Nếu phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2, thì:
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình – Sx + P = 0. 4. Phương trình có nghiệm trùng phương a + b + c = 0, (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t = , (t ≥ 0). 5. Có thể khử dấu giá trị tuyệt đối trong phương trình chứa án trong dấu giá trị tuyệt đối nhờ sử dụng định nghĩa:
Đặc biệt, đối với phương trình |f(x)| = |g(x)|, ta có:
6. Khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bận hai ta thường bình phương hai vế để khử dấu căn thức và đưa tới một phương trình hệ quả. B. BÀI TẬP MẪUBÀI 1Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
Giải a) (x + 1) – 1 = (2 – m)x ⇔ ( + m – 2)x = 1 – ⇔ (m – 1)(m + 2)x = -(m – 1)(m + 1).
Nếu m = 1 thì có mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình. Nếu m = -2 thì phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện của phương trình là x ≠ 2. Khi đó ta có:
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho khi và chỉ khi
hay -2m – 4 ≠ 2m – 4 ⇔ m ≠ 0. Với m = 2 phương trình (3) trở thành 0, x = -8, phương trình này vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
BÀI 2Cho phương trình bậc hai + (2m – 3)x + – 2m = 0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó. Giải a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi biểu thức Δ > 0. Ta có
Vậy khi m < 9/4 phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình có hai nghiệm m ≤ 9/4. Theo định lí Vi-ét ta có:
BÀI 3Cho phường m + ( – 3)x + m = 0 a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. b) Với giá trị nào của m thì phương trình x1, x2 thỏa mãn
Giải a) Phương trình có nghiệm kép m ≠ 0 và Δ = 0. Ta có Δ = – 4 = – 10 + 9. Phương trình trùng phương – 10 + 9 = 0 có bốn nghiệm m = ±1 và m = ±3 Với m = 1 hoặc m = -3 phương trình đã cho có nghiệm kép x = 1. Với m = -1 hoặc m = 3 phương trình đã cho có nghiệm kép x = -1. b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là m ≠ 0 và Δ = – 10 + 9 ≥ 0 Theo định lí Vi-ét ta có
BÀI 4.Giải phương trình sau bằng cách bình phương hai vế:
Hướng dẫn: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được một phương trình hệ quả. Vì vậy, khi tìm ra các giá trị của ẩn số, ta phải thử lại xem giá trị đó có thỏa mãn phương trình đã cho hay không. Giải a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 9/4. Ta có.
b) Điều kiện của phương trình là – 7x + 10 ≥ 0 Ta có
Thử lại ta thấy phương trình đã cho chỉ một nghiệm x = 1. Vậy nghiệm của phương trình đã cho x = 1. BÀI 5.Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
Giải a) Ta xét hai trường hợp Với x ≥ 3m/4 phương trình đã cho trở thành 4x – 3m = 2x + m ⇔ 2x = 4m ⇔ x =2m. Ta có 2m ≥ 3m/4 ⇔ m ≥ 0. Vậy với m ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = 2m. Với x < 3m/4 phương trình đã cho trở thành -4x + 3m = 2x + m ⇔ 6x = 2m ⇔ x =m/3.
Kết luận: Với m > 0 phương trình có nghiệm x = 2m và x = m/3 Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0 Với m < 0 phương trình vô nghiệm. b) Ta có
Ta thấy (1) ⇔ x = 2m + 1 (2) ⇔ 5x = -1 ⇔ x = -1/5 Hay nghiệm này trùng nhau khi 2m + 1 = -1/5 ⇔ 2m = -6/5 ⇔ m = -3/5. Kết luận. Với m ≠ -3/5 phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2m + 1 và x = -1/5 Với m = -3/5 phương trình có nghiệm kép x = -1/5. Ghi chú. Vì hai vế của phương trình là những biểu thức không âm nên ta cũng có thể bình phương hai vế để được một phương trình tương đương. c) Điều kiện của phương trình x ≠ -1. Khi đó ta có
⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = [(2m – 1)x + 2](x + 1) ⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = (2m – 1) + (2m + 1)x + 2 ⇔ (2m – 1) + (m – 2)x – 6m = 0 (*) Với m = 1/2 phương trình (*) trở thành
Gia trị x = -2 thỏa mãi điều kiện của phương trình đã cho. Với m ≠ 1/2 phương trình (*) là một phương trình bậc hai có biệt thức Δ = + 24m(2m – 1) = 49 – 28m + 4 = ≥ 0. Khi m ≠ 2/7 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
C. BÀI TẬP3.13. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
⇒ Xem đáp án tại đây. 3.14. Cho phương trình (m + 2) + (2m + 1)x + 2 = 0. a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.15. Cho phương trình 9 + (2m + 1)x + 2 = 0 a) Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt âm. b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.16. Giải phương trình.
⇒ Xem đáp án tại đây. 3.17 Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
⇒ Xem đáp án tại đây. Bài tập trắc nghiệm3.18 Nghiệm của phương trình:
A. x = -2/3 B. x = 1 C. x = 1 và x = -2/3 D. x = -1/3 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.19 Trong các giá trị nào sau đây, giá trị nào là nghiệm của phương trình |3x – 4| = + x – 7 A. x = 0 và x = -2 B. x = 0 C. x = 3 D. x = -2 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.20 Tìm nghiệm của phương trình:
A. x = 1/2 B. x = 1 C. x = 0 D. Phương trình vô trình. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.21 Nghiệm của phương trình:
A. x = 0 và x = 1 B. x = 1 và x = 2 C. x = 0 và x = 2 D. x = 0 và x = 1 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.22 Nghiệm của phương trình | – 3x – 4| = |4 – 5x| là: A. x = 0, x = 2, x = 8 và x = – 4 B. x = 0 và x = 4 C. x= – 2 và x = 4 D. x = 1 và x = -4 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.23 Phương trình (m + 1) – 3(m – 1)x + 2 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi giá trị của tham số m là: A. m = 1 B. m = -1 C. m = 0 hoặc m = 3 D. m = 2 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.24. Phương trình 3 + 5x + 2(m + 1) = 0 Có hai nghiệm âm phân biệt khi tham số m nằm trong khoảng nào sau đây? A. 0 < m < 1 B. -1 < m < 1/24 C. -2 < m < 0 D. -1 < m < 1 ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.25 Tìm m để phương trình + 2(m + 1)x + 2(m + 6) = 0 có hai nghiệm x1, x2 mà x1 + x2 = 4 A. m = 1 B. m = -3 C. m = -2 D. Không tồn tại m ⇒ Xem đáp án tại đây. Related |
