Chương 5: Lý thuyết chuỗi• Trường hợp ρ = ∞ . Hiển nhiên chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đỗi tại x = 0 Với x ≠ 0 cóan +1 x n +1lim= ∞ > 1 . Vậy chuỗi luỹ thừa phân kì với ∀x ≠ 0 [Xem chú ý mục A, 5.1.4]. Suy ran →∞an x nR = 0.an +1 x n +1= 0 < 1 . Chứng tỏ chuỗi luỹ thừa hội tụn →∞an x n• Trường hợp ρ = 0 , lấy x tuỳ ý có limvới mọi x , hay nói cách khác R = ∞ .Chú ý: Từ định lí 2 suy ra: Để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa trước hết ta tìm bán kính∞hội tụ R của nó, sau đó xét tiếp sự hội tụ của các chuỗi số∑ a [± R]i =0ii.Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau:xn∑nn =1∞a.xn∑ n!n=0∞b.∞c.∑n xnnn =1Giải:a. Bán kính hội tụ: lim nn→∞1=1= ρ ⇒ R =1n[−1] n∑ n hội tụ,n =1∞Chuỗi sốb. lim nn →∞∞1∑nphân kì. Vậy miền hội tụ là X = [− 1,1]n =11= 0 ⇒ R = ∞.n!nc. lim n n = ∞ ⇒ R = 0 .n →∞Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa2 x5 +4 10 8 15 16 20x + x + x + ...357Giải:2n 5 n∑ 2n − 1 xn =1∞Chuỗi đã cho kí hiệu làĐặt x 5 = X , nhận được chuỗi luỹ thừa theo biến X .Bán kính hội tụ của chuỗi mới: lim nn→∞n2n∑ 2n − 1 X nn =1∞2n1= 2 ⇒ R = . Chuỗi số2n − 12∞2n ⎛ 1 ⎞[−1] n− ⎟ =∑∑ 2n − 1 ⎜ 2 ⎠ n =1 2n − 1 hội tụ [Theo dấu hiệu Leibnitz]⎝n =1∞196 Chương 5: Lý thuyết chuỗin∞2n ⎛ 1 ⎞1=∑∑ 2n − 1⎜ 2 ⎟ n =1 2n − 1 phân kì [So sánh với chuỗi⎝ ⎠n =1∞Chuỗi số∞1∑ 2n ]n =111≤ x5 3⎩⎣,⎡x ≤ 2⎢x > 6⎣,Miền hội tụ : X = [− ∞,2] ∪ [6,+∞ ] .D. Tính chất của chuỗi luỹ thừaGiả sử chuỗi luỹ thừa [5.16] có bán kính hội tụ R > 0 và [a, b] là đoạn tuỳ ý chứa trongkhoảng [ − R, R ] .Tính chất 1. Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên [a, b] .Chứng minh: Giả sử [a, b ] ⊂ [− R, R] ⇒ ∃x0 ∈ [− R, R] để [a, b] ⊂ [− x0 , x0 ] mặt khác:n∀x ∈ [a, b] ⇒ an x n ≤ an x0 vì x0 ∈ [− R, R ] nênsuy ra chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên [a, b] .∞∑a xn =0nn 0hội tụ, Theo tiêu chuẩn WeierstrassTính chất 2. Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều về hàm S [x ] , liên tục trên [ − R, R ]Chứng minh: Lấy tuỳ ý x ∈ [ − R, R ] . Xét sự liên tục của S [x ] tại x . Thật vậy tồn tại[a, b] ⊂ [− R, R] vµ x ∈ [a, b] . Theo tính chất 1 và định lí 1 mục C, 5.2.2trên [a, b] . Vậy liên tục tại xsuy ra S [x ] liên tụcTính chất 3. Bất kì x1 , x2 trong khoảng [ − R, R ] luôn cóx2 ∞∞x1 n = 0n=0x2nn∫ ∑ an x dx = ∑ an ∫ x dxĐặc biệt∀x ∈ [ − R , R ] thìx1x ∞minh:Vì∞an n +1xn =0 n + 1n∫ ∑ an x dx = ∑0 n =0Chứng[5.20]x1 , x2 ∈ [− R, R]nêntồntại[5.21]đoạn[a, b]thoảmãn:x1 , x2 ∈ [a, b] ⊂ [− R, R] . Theo tính chất 1 và định lí 2 mục C, 5.2.2 suy ra các công thức [5.20],[5.21].'∞⎛ ∞⎞Tính chất 4. ∀x ∈ [ − R , R ] luôn có ⎜ ∑ an x n ⎟ = ∑ nan x n −1⎝ n =0⎠ n =1[5.22]Chứng minh: Lấy tuỳ ý x ∈ [ − R, R ] sẽ chứng minh công thức [5.20] đúng tại điểm x đó.Với x ∈ [ − R, R ] sẽ tồn tại số r sao cho x < r < R , rõ ràng chuỗi số∞∑a rn =0ra lim an r n = 0 ⇒ an r n ≤ L , ∀n trong đó L là hằng số nào đó .n →∞198nnhội tụ suy Chương 5: Lý thuyết chuỗi∞Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số∑ na xn =1Ta có n an xn −1x= n an rrn −1n1 L x. ≤ nr r rn −1L ∞ xmà chuỗi số∑nr n =1 rhội tụ khiVậy ∀x ∈ [ − R, R ] chuỗi∞∑ na xn =1n −1nn −1x< 1 [Theo tiêu chuẩn Cauchy]rn −1hội tụ tuyệt đối.nGọi bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm từng từ là R ' thì rõ ràng R ' ≥ RTheo định lí 3 mục C, 5.2.2 và tính chất 1, công thức [5.22] sẽ đúng trên [− r ,+ r ], vậy sẽđúng tại x .Ngoài ra ta thấy:an x n ≤ n an x n , ∀nChứng tỏ nếu chuỗi đạo hàm từng từ hội tụ tại x ∈ [ − R ' , R ' ] thì chuỗi ban đầu cũng hội tụtại x , do đó suy ra R ≥ R ' . Vậy chuỗi đạo hàm từng từ cũng có bán kính hội tụ là R .Chú ý: Dưới đây chúng ta sẽ công nhận các kết quả mở rộng như sau.•Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = R thì nó sẽ hội tụ đều trên [0, R ]•Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = R thì tổng S [x ] của chuỗi sẽ liên tục bên trái tại x = R•Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = R thì công thức [5.21] vẫn đúng với x = R•Nếu chuỗi đạo hàm từng từ hội tụ tại x = R thì công thức [5.22] vẫn đúng với x = R .x 4n. thoả mãn phương trình vi phânn = 0 [ 4n]!∞y=∑Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:y [ 4 ] = y trên RGiải:Đặt x 4 = X , chuỗi luỹ thừalim nn →∞Xn∑ [4n]! có bán kính hội tụ là ∞ vìn =0∞1= 0 , đương nhiên hội tụ ∀X ≥ 0 suy ra chuỗi ban đầu hội tụ trên R . Theo[4n]!tính chất 4 sẽ cóx 4 n −1n =1 [ 4n − 1]!x4n −2n =1 [ 4n − 2]!∞y' = ∑x4n −3n =1 [ 4n − 3]!∞y" = ∑,∞y' ' ' = ∑x4n − 4n =1 [ 4n − 4]!∞,y [ 4] = ∑199
NộI Dung:
Các bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa là bán kính của đường tròn hội tụ mà chuỗi đó hội tụ. Vòng tròn này kéo dài từ giá trị hủy cơ sở của lũy thừa đến điểm kỳ dị gần nhất của hàm được liên kết với chuỗi.
Bất kỳ chức năng phân tích nào f [z] đã liên kết một loạt các quyền hạn xung quanh một điểm không kỳ lạ, được gọi là Chuỗi Taylor:
Ở đâuđến là tâm của đường tròn hội tụ, z biến độc lập của hàm và cnlà các hệ số liên quan đến đạo hàm của hàm F ở điểm đó z = a.
Bán kính hội tụ r là một số thực dương xác định vùng:
| z - a |