Giải và biện luận phương trình bậc hai là biện luận theo tham số cho trước số nghiệm của một phương trình bậc hai.
Giải và biện luận phương trình bậc hai là dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường, thành phố, tỉnh trên toàn quốc. Dạng bài này thường xuất hiện ở bài số 3 ý số hai cùng với bài giải phương trình hệ số hằng. Dạng toán này thường kết hợp với một ý ví dụ như xét dấu các nghiệm, hoặc tìm tham số \[m\] để các nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.... làm thành một câu chiếm 0,5 điểm của bài thi.
Đây là dạng toán mức độ tương đối khó, yêu cầu học sinh cần phải có kiến thức vững về định nghĩa phương trình bậc hai, các trường hợp có nghiệm của phương trình bậc hai. Học sinh muốn đạt mức điểm từ 6 đến 7 thì cần thiết phải tốt dạng toán này.
Trong một đề thi tốt nhất ta nên trình bày và giải bài toán này trong tối đa 10 phút.
Phương pháp giải: [edit]
Với phương trình \[ax^2+bx+c=0 \] với \[a\ne 0\]
Tìm điều kiện tham số sao cho:
Dạng 1. Phương trình vô nghiệm điều kiện là: \[\Delta 0 \]].
Chú ý:
Trong trường hợp hệ số \[a\] có chứa tham số, chúng ta cần xét hai trường hợp [với \[a=0\] và với \[a\ne 0\] ], khi đó:
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, bao gồm:
1.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \[a\ne 0\].
1.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, tương ứng \[ \Delta >0\].
Do đó ta có hệ điều kiện là \[ \left\{\begin{array}{ll} a\ne 0\\ \Delta >0 \end{array}\right. \]
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép bao gồm:
2.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \[a\ne 0\].
2.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép, tương ứng \[\Delta=0 \].
Do đó ta có hệ điều kiện là: \[ \left\{\begin{array}{ll}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.\]
Các lỗi sai thường gặp [edit]
- Khi xét một phương trình dạng \[ ax^2+bx+c= 0 \], trong đó hệ số \[a\] có chứa tham số, học sinh thường quên xét điều kiện \[a\ne 0\].
- Điều kiện để phương trình có nghiệm khác với điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt. Cụ thể:
Phương trình có nghiệm thì điều kiện là : \[ \Delta \ge 0 \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì điều kiện là \[ \Delta>0 \]
Ví dụ minh họa: [edit]
Ví dụ 1:Cho phương trình bậc hai ẩn \[x\], tham số \[m\]: \[x^2+2mx+4m-3=0\].
Tìm điều kiện của tham số \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Do hệ số \[x^2\] là \[1\ne 0\] nên bài toán này thuộc dạng 4. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: \[\Delta' >0\].
Ta có \[\Delta'=m^2-1[4m-3]=m^2-4m+3\].
Để giải bất phương trình \[\Delta' >0 \] việc đầu tiên ta nên nghĩ đến là phân tích \[\Delta'\] thành nhân tử.
Thật vậy \[\Delta'=m^2-4m+3=[m^2-m]-[3m-3]=m[m-1]-3[m-1]=[m-1][m-3] \].
Xét bất phương trình \[ \Delta'