Các bài tập giới hạn dãy số có lời giải
Show Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 4, nhà 25T2, lô N05, khu đô thị Đông Nam, đường Trần Duy Hưng, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Thành phố Hà Nội, Việt Nam
Lớp học
Tính năng
Đặc trưngTài khoản
Thông tin liên hệ+84 096.960.2660 Follow us KHÓA: GIẢI TÍCH 1 – KHỐI KỸ THUẬTCHƯƠNG 01: DÃY SỐBÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài 1: Tìm giới hạn của các dãy số với số hạng tổng quát như sau: ( 1) ( 1) n n n n x n +− −− Lời giải: ( )( )1 ( 1) 1 1 / lim lim lim ( 1) 1 1 / n n n n n n n n n n x → → n → n +− +− = = = −− −− 2 2 57 7 2 6 n nn x nn +− −+ Lời giải: 22 22 5 7 5 1 / 7 / l 7 im lim lim 7 2 6 7 2 / 6 / 5 n n n n n n n n x → → n n → n n
32 2 2 1 5 2 3 5 1 − =+ ++ n nn x nn Lời giải: ( )3 2 3 2 22 2 1 5 2 3 3 15 lim lim lim 2 3 5 1 2 3 5 1 n n n n n n n n n n n n x → → n n → n n − + − + − + = + = +
22 1 3 1 1 / 3 / 1 lim lim 0 5 1 2 3 5 1 / 2 3 / 5 1 nn 5 n n n n → n n → n n ++ = − = − = − = + + + +
Lời giải: ( )( )2 22 2 22 11 l 2 im lim lim lim 1 1 1 / 11 1 n n n n n n n n n n n → → n n n → n n n → n −− − − = = = = =
Lời giải: ( ) ( )( )( )3 333 3333 2 2 333 3 1 lim 1 lim 1 lim 11 n n n nn n n n n n n n n → → → −−
( )2 2 333 3 0 1 lim 11 n n n n n → \==
52 52 n xn n + − Lời giải: 1 11 5 2 5 / 2 2 1 / 2 1 / 2 lim lim 5 2 1 1 1 5 / 2 nn nnnn → ++→ −− == ++ − −
( 2) 3 ( 2) 3 nn xn nn ++ −+ −+ Lời giải: ( )( )11 1 2 / 3 / 3 1 3 ( 2) 3 /3 1 / 3 lim lim ( 2) 3 2 1 1 / 3 1 nn n nn → nn ++→ n + −+ −+ = = = −+ −+ . Ở đây đã sử dụng tính chất với -1 < a < 1 (bài này là -2/3) thì an có giới hạn bằng 0 khi n ra vô cùng 23 sin −cos n = nn x n Lời giải: 23 sin cos 2 00 n nn x nn − = → khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp) − xxxnnn mà lim nn →( )− = xxnn lim→ = 0 lim n → xn = 0 (lại theo nguyên lý kẹp)cos 1 \= + n nn x n Lời giải: cos 1 / 00 1 1 1 1 / n n n n n x n n n = = → + + + khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp). Tương tự bài 1 từ đây có lim n 0 n x → \= 10) ( )2 x n nn = − −1 .sin n Lời giải: ( )( )2 22 22 22 1 1 0 1 .sin 1 0 11 n nn x n n n n n n n n n −− = − − − − = = →
khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp). Cũng từ đây có lim n 0 n x → \=
.sin! 1 n nn x n \= + Lời giải: 2 2 2 .sin! 1 / 00 1 1 1 1 / n n n n n x n n n = = → + + + khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp). Suy ra lim n 0 n x → \=
n n n x = Lời giải: ( )( )( )0 1 2 2 1 2 1 1 ... 2 2 1 / 2 nnn n n n n n n n nn nn C C C C C x nn − = + = + + + + = = − ( )2 00 1 / 2 1 n n x n n n = → −− khi lim n 0 n nx → → = 2 ! n xn n \= Lời giải: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 2 1 n kk x k k k k k k n n +− = = − = + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 1 1 1 2 2 3 n n 1 2 3 n n n 1 = − + − + + − = − + − + + − = − → −− khi n →
1 1 1 1 1 ... 1 23 xn n = − − − Lời giải: ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 111 1 1 ... 1 ... ... 2 3 2 3 2 3 2 nnnn n n n n − − − −+ + − − − = = = từ đó dãy số có giới hạn 1/ 2 2 2 3 1 2 ... ( 1) n n x n
Lời giải: áp dụng kết quả trong câu (14) 2 2 2 ( ) ( 121 )1 2 ... ( 1) 6 n n n n −−
thì ( ) ( ) ( )( )3 3 1 2 1 1 1 / 2 1 / 1. 6 6 6 1 n n n n n n x n − − − − = = → = khi n → Bài 2: Xét sự hội tụ của các dãy sau có số hạng tổng quát như sau:
####### n = n x Lời giải: khi n → thì: 8 8 cos cos 2 1 1 4 n n x ####### ####### = = = → và ( )82 82 cos cos 2 0 0 42 n n x ####### ####### +
. Điều này chứng tỏ hai dãy con có hai giới hạn khác. Vậy dãy không hội tụ. 1 xn =sin n Lời giải: ta chứng minh sin(x) < x với x dương, gần 0 – bằng phương pháp hình học. Thật vậy, vẽ vòng tròn đơn vị như hình vẽ, góc x = AOB thì B thuộc góc phần tư thứ nhất, và sin(x) = OH = BK < BA < cung (BA) = x ta có đpcm. Áp dụng: 11 0 xn sin 0 nn = → khi n →, theo nguyên lý kẹp thì xn hội tụ về 0 1 = − +( 1) sin n xn n Lời giải: Theo câu 2 thì 1 lim sin 0 n → n \= , mặt khác lim( ) 1n n → − không tồn tại vì nó nhận giá trị xen kẽ -1 và 1. Ta chứng minh dãy đã cho không tồn tại giới hạn, thật vậy, giả sử tồn tại, khi đó: 11 lim( 1) lim sin lim lim sin n n n xxnnn n → → nn → → − = − = − , giới hạn này tồn tại, điều này mâu thuẫn. Vậy dãy đã cho phân kỳ
Lời giải: giả sử dãy đã cho sin(n) hội tụ, suy ra sin 2 n cũng hội tụ, suy ra cos 2 n hội tụ, gọi giới hạn của sin(n) là a, cos 2 n là b (a, b hữu hạn) ( ) ( ( ) )22 2 sin n + = 1 sin cos1 cos sin1 n + n cos n sin 1= sin n + − 1 sin cos1 n , cho n ra vô cùng được: ( ) ( )2222 b sin 1= − a a cos1 = − a 1 cos1 (1) ( ) ( ( ) )22 2 sin n + = 2 sin cos 2 cos sin 2 n + n cos n sin 2= sin n + − 2 sin cos 2 n , lại cho n ra vô cùng được: ( ) ( )2222 b sin 2= − a a cos 2 = − a 1 cos 2 (2) (1) và (2) cho thấy a và b đồng thời khác 0, khi đó chia hai đẳng thức thu được: ( )( )2 2 2 2 sin 2 1 cos 2 sin 1 1 cos − − . Ta có thể kiểm tra điều này sai bằng máy tính, vậy điều giả sử là sai hay dãy đã cho phân kỳ Bài 3: Chứng minh rằng dãy số un là một dãy số phân kỳ với:1 1 1 1 ... 23 un = + + + + n Lời giải: đặt 222 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 2 3 2 3 1 2 vnnvn v n n n n n = + + + = + + + = ++ + + ++ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 1 n n n n n n n n n k k k n v v v v v v kn kn kn n kn n k − − − \= = = = + + + + + = + = + = + + + + + (1)Giả sử dãy vn hội tụ, tức lim n n va → \= hữu hạn, thế thì cũng phải có lim 2 n n va → \= (a > 0 vì dãy dương tăng). Ở (1) có 22 n n vv cho n ra vô cùng được: aa 2 , điều này vô lí Vậy dãy vn phân kỳ, suy ra dãy đã cho phân kỳ uvnn =+ 1 Bài 4: Chứng minh rằng:
aa → \= Lời giải: Với a > 1 1 n = + ab , b > 0, suy ra |