Các bài toán phụ của hình học oxy năm 2024

Có lẽ thị trường sách tham khảo chưa bao giờ “phát triển” như hiện nay. Bởi với bạn đọc, để tìm một cuốn sách về một chủ đề nào đó lại gặp rất nhiều khó khăn. Không phải bởi sự khan hiếm, mà bạn đọc đứng trước quá nhiều sự lựa chọn. Khi cầm trên tay cuốn sách này, chắc hẳn bạn cũng đang băn khoăn liệu đây có phải là cuốn sách phù hợp dành cho bạn. Nếu chỉ đọc một vài trang đầu, bạn sẽ khó cảm nhận hết được cách viết và ý tưởng mà tác giả muốn gửi gắm thông qua cuốn sách này .

Bạn có thể hình dung việc giải toán, giống như bạn phải tìm đúng con đường để về đích và chọn một con đường ngắn nhất luôn là điều chúng ta muốn hướng tới. Để làm tốt được điều này, trên hành trình tìm ra đích đến, chúng ta thường nhớ tới các mốc, những địa điểm dễ nhớ gắn liền với đích đến. Và trong cuốn sách này tác giả thiết kế dựa trên ý tưởng đó, bằng cách tạo ra những “điểm mốc” thông qua 10 bài toán gốc. Trên con đường để tìm đến “đáp số” các bạn sẽ cần những bài toán này. Nghĩa là khi nhìn thấy chúng, bạn sẽ biết cách để tìm ra được lời giải cho các bài toán. Đây là 10 bài toán quan trọng, là “linh hồn” để tạo ra các bài toán khác. Có thể sẽ có rất nhiều bạn sẽ ngạc nhiên khi đọc nội dung các bài toán gốc, vì thực ra nó khá đơn giản. Nhưng các bạn có biết rằng, ý tưởng được lấy từ các bài toán này chính là “nguồn cảm hứng” cho các câu hỏi xuất hiện trong đề thi quốc gia. Chúng gần như giải quyết hầu hết các bài toán thi Đại Học trong các năm vừa qua và tác giả tin nó sẽ có giá trị rất nhiều trong các kì thi Quốc Gia sắp tới. Mong rằng với cách tiếp cận hoàn toàn mới này, sẽ giúp bạn đọc thấy thích thú và việc chinh phục các câu hỏi liên quan đến hình học phẳng Oxy không còn là vấn đề lớn đối với các bạn. Tác giả hi vọng cuốn sách sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập, ôn thi một cách chủ động, tự tin bước vào kì thi Quốc Gia và là tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy.

Mặc dù rất nghiêm túc trong quá trình biên soạn, song chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót và khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự phản hồi, góp ý và xây dựng từ phía bạn đọc, để cuốn sách được hoàn thiện hơn cho những lần tái bản sau.

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,987,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,128,Đề thi THỬ Đại học,404,Đề thi thử môn Toán,68,Đề thi Tốt nghiệp,47,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,197,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,208,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,308,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,392,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

• 1. BÀI HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG OXY TRONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC PHẦN THỨ NHẤT : NĂM 2013 - 2014 Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh A(−1; 2) ; C(3; −2). Gọi E là trung điểm cạnh AD ; BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M ; N là trung điểm cạnh BM và P là giao điểm của AN và DM. Biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − 4 = 0 .Tìm tọa độ đỉnh P. Lời giải: A B C D E M N P I - Phương trình EC đi qua C vuông góc với BM là: x + 2y + 1 = 0 - Tọa độ điểm M = EC ∩ BM là nghiệm của hệ 2x − y − 4 = 0 x + 2y + 1 = 0 ⇐⇒    x = 7 5 y = − 6 5 =⇒ M 7 5 ; − 6 5 - Do N là trung điểm BM suy ra N 11 5 ; 2 5 - Phương trình AN qua hai điểm A và N là x + 2y − 3 = 0 - Gọi I là tâm hình vuông suy ra I(1; 0). Phương trình BD qua I vuông góc với AC là x − y − 1 = 0 - Tọa độ B là nghiệm của hệ 2x − y − 4 = 0 x − y − 1 = 0 ⇐⇒ x = 3 y = 2 =⇒ B (3; 2) - Do I là trung điểm BD suy ra tọa độ D (−1; −2) - Phương trình DM qua D và M là x − 3y − 5 = 0 - Tọa độ P = DM ∩ AN là nghiệm của hệ x − 3y − 5 = 0 x + 2y − 3 = 0 ⇐⇒    x = 19 5 y = − 2 5 =⇒ P 19 5 ; − 2 5 Kết luận: Tọa độ điểm P 19 5 ; − 2 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1http://megabook.vn
• 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ. Biết các điểm M(−3; −1) và N(2; −1) thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AB và P thuộc cạnh AC. Đường thẳng AB có phương trình x − y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Lời giải: A CB M N PQ - Phương trình đường thẳng BC qua M và N là y + 1 = 0 - Tọa độ điểm B = AB ∩ BC là nghiệm của hệ x − y + 5 = 0 y + 1 = 0 ⇐⇒ x = −6 y = −1 =⇒ B (−6; −1) - Đường thẳng QM qua M vuông góc với BC có phương trình là x + 3 = 0 - Tọa độ Q = QM ∩ AB là nghiệm của hệ x + 3 = 0 x − y + 5 = 0 ⇐⇒ x = −3 y = 2 =⇒ Q (−3; 2) - Ta có −−→ MN = (5; 0) ; −−−→ QP = (xP + 3; yP − 2) =⇒ −−→ MN = −−−→ QP ⇐⇒ xP = 2 yP = 2 =⇒ P (2; 2) - Đường thẳng AC qua P vuông góc với AB là x + y − 4 = 0 - Tọa độ C = AC ∩ BC là nghiệm của hệ x + y − 4 = 0 y + 1 = 0 ⇐⇒ x = 5 y = −1 =⇒ C (5; −1) - Tọa độ A = AB ∩ AC là nghiệm của hệ x + y − 4 = 0 x − y + 5 = 0 ⇐⇒    x = − 1 2 y = 9 2 =⇒ A − 1 2 ; 9 2 Kết luận: Tọa độ các điểm A − 1 2 ; 9 2 ; B(−6; −1) ; C(5; −1) . Bài toán 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 và đường thẳng (d) : 4x − 3y + 9 = 0. Gọi A; B lần lượt là hai điểm thuộc (d) và C là điểm thuộc đường tròn (C). Biết điểm H 22 5 ; 11 5 là một giao điểm của AC và (C) ( C = H) và điểm K − 6 5 ; 7 5 là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh A; B; C. Lời giải: 2 http://megabook.vn
• 3. : 4x − 3y = −9 K B H I C - Đường tròn (C) có tâm I(2; −1); bán kính R = 4. - Tọa độ (d) ∩ (C) thỏa x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 4x − 3y + 9 = 0 ⇐⇒    x = − 6 5 y = 7 5 =⇒ (d) ∩ (C) = K − 6 5 ; 7 5 - Ta có HK = 4 √ 2 =⇒ HK2 = IH2 + IK2 = R2 + R2 =⇒ ∆IHK vuông tại I suy ra tứ giác AHIK là hình thang vuông tại I và K. =⇒ SAHIK = (AH + IK) IH 2 = 24 ⇐⇒ (AH + R) R 2 = 24 =⇒ AH = 8 - Gọi A a; 3a + 9 3 ∈ (d) =⇒ B − 12 5 − a; 14 5 − 3a + 9 3 .Ta có a + 6 5 2 + 4a 3 + 3 − 7 5 2 = 8 ⇐⇒ 5a2+12a−180 = 0 ⇐⇒ a = 18 5 a = −6 =⇒    A 18 5 ; 39 5 → B (−6; −5) A (−6; −5) → B 18 5 ; 39 5 (Loại do A; B khác phía với IK) - Phương trình AC qua A và H là 7x + y − 33 = 0 - Tọa độ C = (C) ∩ AC thỏa x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 7x + y − 33 = 0 ⇐⇒    x = 26 5 y = − 17 5 =⇒ C 26 5 ; − 17 5 Kết luận: Tọa độ các điểm A 18 5 ; 39 5 ; B (−6; −5) ; C 26 5 ; − 17 5 . Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm A (1; 0) và các đường tròn (C1) : x2 + y2 = 2; (C2) : x2 + y2 = 5 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên (C1) và (C2) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Lời giải: 3http://megabook.vn
• 4. ta có nhận xét: để tam giác ABC có diện tích lớn nhất thì O phải là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: Giả sử CO không ⊥ AB thì ta luôn tìm được điểm C ∈ (C2) sao cho d(C , AB) lớn hơn d(C, AB), hay S∆ABC lớn hơn S∆ABC → không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó CO ⊥ AB -Tương tự ta cũng có BO ⊥ AC Vậy O là trực tâm của tam giác ABC.Suy ra AO ⊥ BC ⇐⇒ xB = xC Và ta giả sử B(t; b) ∈ (C1), C(t; c) ∈ (C2) (t, b, c ∈ R) thì ta có t2 + b2 = 2 t2 + c2 = 5 ⇐⇒ b2 = 2 − t2 c2 = 5 − t2 Mà CO ⊥ AB nên −−−→ CO. −−−→ AB = 0 hay t(t − 1) + bc = 0 suy ra b2c2 = t4 − 2t3 + t2 Do đó (2 − t2)(5 − t2) = t4 − 2t3 + t2 ⇐⇒ (t + 1)(2t2 − 10t + 10) ⇐⇒ t = −1; t = 5 + √ 5 2 ; t = 5 − √ 5 2 Tới đây ta có: S∆ABC = 1 2 BC.d(A, BC) = 1 2 |xA − xB||yB − yC| = 1 2 |1 − t||b − c| Suy ra S2 ∆ABC = 1 4 (1 − t)2(b2 + c2 − 2bc) = 1 4 (1 − t)2((2 − t2) + (5 − t2) − 2(t − t2)) = 1 4 (1 − t)2(7 − 2t) * Nếu t = −1 thì ta suy ra S2 ∆ABC = 9 hay S∆ABC = 3 * Nếu t = 5 + √ 5 2 thì ta dễ thấy điều vô lí vì t2 + b2 = 2. * Nếu t = 5 − √ 5 2 thì ta có S2 ∆ABC = √ 5 − 1 8 < 9 → Loại. Suy ra với t = −1 thì S∆ABC lớn nhất. Và ta có    bc = −2 b2 = 1 c2 = 4 ⇐⇒ b = 1 c = −2 ∨ b = −1 c = 2 =⇒ B(−1; 1) C(−1; −2) ∨ B(−1; −2) C(−1; 2) Kết luận: Với B(−1; 1) C(−1; −2) ∨ B(−1; −2) C(−1; 2) thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có A = 600.Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB.Biết P( √ 3; 1) thuộc đường thẳng DN và đường phân giác trong của góc MDN có phương trình là d : x − y √ 3 + 6 = 0.Tìm toạ độ đỉnh D của hình thoi ABCD. Lời giải: Từ giả thiết A = 600 =⇒ tam giác ABD, CBD là các tam giác đều.Theo đề bài ta có AM = BN, BM = CN. Xét hai tam giác ADM và BDN ta có: DAM = DBN = 600,AD = BD, AM = BN ⇐⇒ hai tam giác bằng nhau ⇐⇒ ADM = BDN (1). Xét hai tam giác BMD và CND ta có: DBM = DCN = 600,CD = BD,CN = BM ⇐⇒ hai tam giác bằng nhau ⇐⇒ NDC = MDB (2). Từ (1) và (2) ⇐⇒ MDN = 600. Gọi P là điểm đối xứng của P qua đường phân giác d =⇒ P thuộc đường thẳng DM =⇒ tam giác PDP là tam giác đều. =⇒ DP = PP = 2d(P/d) = 6. 4 http://megabook.vn
• 5. tọa độ D a; a + 6 √ 3 . Ta có: PD2 = (a − √ 3)2 + a + 6 − √ 3 √ 3 2 = 36 ⇐⇒ a = 3 + √ 3 ∨ a = −6 + √ 3 ⇐⇒ D(3 + √ 3; 1 + 3 √ 3) ∨ D(−6 + √ 3; 1). Kết luận: Tọa độ D(3 + √ 3; 1 + 3 √ 3) ∨ D(−6 + √ 3; 1) thỏa mãn bài toán. Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD , đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x − y + 2 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x − y − 5 = 0 .Gọi H là hình chiếu của B xuống đường chéo AC . BiếtM 9 5 ; 2 5 ; K (9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4. Lời giải: A B C D H K M Gọi B(b; 2b + 2), C(c; c − 5), (c > 4) và E là điểm đối xứng với B qua C. Suy ra E(2c − b; 2c − 2b − 12). Dễ dàng chứng minh được K là trung điểm của AE. Do đó, −−−→ HE = 2 −−→ MK = 72 5 ; 16 5 =⇒ H 2c − b − 72 5 ; 2c − 2b − 76 5 . Thiết lập tọa độ các vector −−−→ CK = (9 − c; 7 + c), −−−→ BC = (c − b; c − 2b − 7), −−−→ BH = 2c − 2b − 72 5 ; 2c − 4b − 86 5 , −−→ MC = c − 9 5 ; c − 27 5 . Với giả thiết bài toán ta có hệ phương trình −−−→ CK. −−−→ BC = 0 −−−→ BH. −−→ MC = 0 ⇐⇒ −2c2 + 3bc + 23c − 23b − 49 = 0 4c2 − 6bc + 126 5 b − 46c + 594 5 = 0 ⇐⇒ b = 1 c = 9 hoặc c = 4(loại) Từ đó ta có B(1; 4), C(9; 4) . Vì K là trung điểm của CD nên suy ra D(9; 0) . Lại có C là trung điểm của BE nên suy ra E(17; 4), và K là trung điểm của AE nên suy ra A(1; 0) . Bài toán 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x − 5 4 2 + (y − 1)2 = 2 .Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B và C thuộc đường tròn (C), các đỉnh A và D thuộc trục Ox. 5http://megabook.vn
• 6. 1.25)2 + (y − 1)2 = 2 Đường tròn (C) có tâm I 5 4 ; 1 =⇒ ABCD nhận đường thẳng x = 5 4 là một trục đối xứng. C ∈ Ox =⇒ C = (a; 0) =⇒ D = ( 5 2 − a; 0) ; AD ⊥ Ox =⇒ A = ( 5 2 − a; b) =⇒ B = (a; b) =⇒ CD = |2a − 5 2 |; AD = |b| =⇒ |2a − 5 2 | = |b| ⇐⇒ b2 = 4(a − 5 4 )2 , (1) Lại có A, B thuộc (C) =⇒ (a − 5 4 )2 + (b − 1)2 = 2 , (2) Từ (1) và (2) =⇒ 5b2 − 8b − 4 = 0 ⇐⇒ b = 2 b = − 2 5 Với b = 2 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là: 1 4 ; 2 ; 9 4 ; 2 ; 9 4 ; 0 ; 1 4 ; 0 . Với b = − 2 5 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là: 21 20 ; − 2 5 ; 29 20 ; − 2 5 ; 29 20 ; 0 ; 21 20 ; 0 . Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) : (x − 5)2 + (y − 6)2 = 32 5 . Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua các điểm M(7; 8) và N(6; 9). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. Lời giải: A B C D I M N Do là đường tròn nội tiếp hình thoi suy ra tâm trung với giao của hai đường chéo. Dễ dàng suy raAC : 1 − y + 1 = 0. Gọi phương trình AB có hệ số góc k dạng y = k(x − 6) + 9. Có d (I, AB) = |3 − k| √ k2 + 1 = 4 √ 10 5 =⇒    k = 1 3 k = − 13 9 =⇒   AB : y = x 3 + 7 AB : y = − 13x 9 + 53 9 =⇒ A (9; 10) , C(1; 2) A (2; 3) , C(8; 9) 6 Lời giải: http://megabook.vn
• 7. : x + y − 11 = 0 =⇒   B (3; 8) B − 23 2 ; 45 2 =⇒   D (7; 4) D 43 2 ; − 21 2 Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là   A (9; 10) ; B (3; 8) ; C (1; 2) ; D (7; 4) A (2; 3) ; B − 23 2 ; 45 2 ; C (8; 9) ; D 43 2 ; − 21 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4; 2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N(7; 3) cắt các đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại D và C . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối tâm O1, O2 có phương trình x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác BCD bằng 24 5 . Lời giải: Phương trình (AN) : x − 3y + 2 = 0. Có O1O2 ⊥ AB =⇒ (AB) : x+y −6 = 0 =⇒ I 9 2 ; 3 2 =⇒ B(5; 1) ( với I là giao điểm của AB va O1O2) Do 2 đường tròn bán kính bằng nhau nên BDC = BCA( cùng chắn 1 cung AB) Nên tam giác BDC cân.Kẻ BM vuông góc với DC suy ra (BM) : 3x + y − 16 = 0 hay M 23 5 ; 11 5 Gọi D(3t − 2; t) =⇒ C 56 5 − 3t; 22 5 − t Có SBCD = 1 2 .d(B; (CD)).DC suy ra t = 1 ∨ t = 17 5 Với t = 1 thì D(1; 1); C 41 5 ; 17 5 Với t = 17 5 thì C(1; 1); D 41 5 ; 17 5 Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là    B (5; 1) ; C 41 5 ; 17 5 ; D (1; 1) B (5; 1) ; C (1; 1) ; D 41 5 ; 17 5 Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip có phương trình: x2 8 + y2 4 = 1 và điểm I(1; −1). Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip tại hai điểm phân biệt A, B .Tìm tọa độ các điểm A, B sao cho độ lớn của tích IA.IB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: c I A B a b Gọi I , A , B lần lượt là hình chiếu của I, A, B xuống trục hoành, khi đó theo tính chất của hình chiếu ta suy ra IA.IB ≥ I A .I B , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với trục hoành. Tương tự hạ hình chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy ra AB song song với trục tung. Nhưng trong hai trường hợp này chỉ có một trường hợp thỏa mãn bài toán. Nhưng để ý I (1; −1) nằm trong Lời giải: 7http://megabook.vn
• 8. < 0 nên các hình chiếu trên đều nằm trong trục lớn hoặc trục bé của Elip, để ý là trục lớn có độ dài lớn hơn nên đường thẳng AB cần tìm sẽ song song với trục bé, tức song song với trục tung. Do AB song song với trục tung và qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = 1 =⇒ A 1; − 7 2 , B 1; 7 2 . Vậy hai điểm cần tìm là A 1; − 7 2 , B 1; 7 2 hoặc A 1; 7 2 , B 1; − 7 2 . Bài toán 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2), C (6; 3). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A cắt BC sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B, C đến ∆ là lớn nhất. Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm E (−1; 1) đồng thời cắt cả hai đường thẳng ∆ và d1 : x − y + 14 = 0 lần lượt tại hai điểm H, K sao cho 3HK = IH √ 10 với I là giao điểm của ∆ và d1 . Lời giải: −8. −6. −4. −2. 2. 4. 6. −2. 2. 4. 6. 8. 0 A B C E d f Delta : 5x + y = 20 H K K Hướng 1: Bằng phương pháp dựng hình cộng hưởng với việc tham số hóa đưa về giải tích. Ta có : −−−→ BA = (2; 3), −−−→ BC = (5; 1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0 Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn. Có : −→ CA = (−3; 2), −−−→ CB = (−5; −1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn. Kẻ BP⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ. Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC. Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC. Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có −→n ∆ = −−−→ BC = (5; 1). Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0. Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I thỏa : 5x + y − 20 = 0 x − y + 14 = 0 ⇐⇒ x = 1 y = 15 Vậy I(1; 15). Xét điểm M(4; 0) ∈ ∆, N(a, a + 14) ∈ d1 thỏa 3MN = IM √ 10. Ta có : −−→ MN = (4 − a, −a − 14), −−−→ IM = (−3; 15). Nên từ :3MN = IM √ 10 ⇐⇒ 9 · 234 = 10 · (4 − a)2 + (a + 14)2 ⇐⇒ 18a2 + 180a − 432 = 0 ⇐⇒ a = 2 ∨ a = −12. Mặt khác từ giả thiết ta có : 3HK = IH √ 10 nên ta có : HK IH = MN IM =⇒ HK MN. Do đó đường thẳng d cần tìm đi qua E và song song với MN. Nên : −→a d = −−→ MN = (4 − a; −a − 14). Trường hợp 1 :a = 2 =⇒ −−→ MN = (2; −16). Lúc đó phương trình d : x + 1 2 = y − 1 −16 ⇐⇒ 8x + y + 7 = 0. Trường hợp 2 :a = −12 =⇒ −−→ MN = (16; −2). Lúc đó phương trình d : x + 1 16 = y − 1 −2 ⇐⇒ x + 8y − 7 = 0. Hướng 2 : Sử dụng dựng hình và đại số hóa bài toán dưới dạng tọa độ các giao điểm. Ta có : −−−→ BA = (2; 3), −−−→ BC = (5; 1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0 Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn. Có : −→ CA = (−3; 2), −−−→ CB = (−5; −1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do 8 http://megabook.vn
• 9. C > 0 =⇒ C nhọn. Kẻ BP⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ. Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC. Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có −→n ∆ = −−−→ BC = (5; 1). Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0 Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : 5x + y − 20 = 0 x − y + 14 = 0 ⇐⇒ x = 1 y = 15 Vậy I(1; 15). Gọi d là đường thẳng đi qua E và có véc tơ pháp tuyến là −→n = (a, b). Khi đó phương trình đường thẳng :d : a(x − 1) + b(y − 15) = 0 (a2 + b2 = 0). Vì H = d ∩ ∆ nên tọa độ điểm H thỏa: a(x − 1) + b(y − 15) = 0 5x + y − 20 = 0 ⇐⇒    x = 19b + a 5b − a y = 5(5a − b) a − 5b (a = 5b). Lại có K = d∩d1 nên tọa độ điểm K thỏa : a(x − 1) + b(y − 15) = 0 x − y + 14 = 0 ⇐⇒    x = −13b − a b + a y = 13b + a) a + b (a = −b) Vậy K −13b − a b + a ; 13b + a) a + b . ;H 19b + a 5b − a ; 5(5a − b) a − 5b Từ điều kiện bài toán : 3HK = IH √ 10 ⇐⇒ 9HK2 = 10IH ⇐⇒ 1296(a + 7b)2(a2 + b2) (a − 5b)2(a + b)2 = 1040(a + 7b)2 (a − 5b)2 ⇐⇒ (a + 7b)2(8a − b)(a − 8b) = 0 ⇐⇒ a = −7b b = 8a a = 8b Trường hợp 1: a = −7b chọn a = 7, b = −1 =⇒ d : 7x − y − 8 = 0. Trường hợp này loại vì khi đó ba đường thẳng d, d1, ∆ đều đồng quy tại điểm I. Trường hợp 2 :a = 8b chọn a = 8, b = 1 =⇒ d : 8x + y + 7 = 0. Trường hợp 3 : b = 8a chọn a = 1, b = 8 =⇒ d : x + 8y − 7 = 0. Tóm lại ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8x + y + 7 = 0 ; x + 8y − 7 = 0 Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y − 6 = 0 và hai điểm B(5; 3), C(1; −1). Tìm tọa đọ đỉnh A; D của hình bình hành ABCD biết A thuộc đường tròn (C) và trực tâm H của tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + 1 = 0 và xH < 2. Lời giải: A BI C d D Đường tròn (C) có tâm I(1; 3). Nhận thấy ngay B; C đều cùng thuộc đường tròn (C). Gọi E là giao điểm của AI và (C) suy ra tứ giác BHCE là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm M(3; 1). Tham số hóa tọa độ điểm H(−1 − 2a; a) với a > −3 2 . Do M là trung điểm của HE suy ra E(7 + 2a; 2 − a). Lời giải: 9http://megabook.vn
• 10. E lại thỏa mãn (C) nên ta có: (7 + 2a)2 + (2 − a)2 − 2 (7 + 2a) − 6 (2 − a) − 6 = 0 ⇐⇒ 5a2 + 26a + 21 = 0 =⇒ a = −1 =⇒ E (5; 3) Do điểm E và A đối xứng nhau qua tâm I nên suy ra A(−3; 3). Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên −−−→ AD = −−−→ BC =⇒ D (−7; −1) Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là A(−3; 3), D(−7; −1) . Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giacs ABC vuông tại A. gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tam giác ABH ngoại tiếp đường tròn (C) : x − 16 5 2 + y − 33 5 2 = 36 25 . Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACH là I 26 5 ; 23 5 . Tìm tọa độ trọng tâm G cua tam giác ABC. Lời giải: (C) có tâm K 16 5 ; 33 5 và bán kính R = 6 5 . Trung điểm của IK là M 21 5 ; 28 5 . Gọi D và L là hình chiếu của K lên BC và AH. Do AH⊥BC nên KDHL là hình vuông. Suy ra KH = R √ 2 = 6 √ 2 5 . Từ đó suy ra H thuộc đường tròn tâm K bán kính KH có phương trình: x − 16 5 2 + y − 33 5 2 = 72 25 . Mà AHK = AHI = 45o =⇒ IHK = 90o. Nên H thuộc đường tròn tâm M bán kính KM = 21 5 − 16 5 2 + 28 5 − 33 5 2 = √ 2 có phương trình (C ) : x − 21 5 2 + y − 28 5 2 = 2 . Từ đó tìm được hai tọa độ điểm H thỏa mãn là H 74 25 ; 123 25 và H 122 25 ; 171 25 . +) Trường hợp 1: H 74 25 ; 123 25 . Phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm H là (d) : a x − 74 25 + b y − 123 25 = 0 với (a2 + b2 = 1). d (K, d) = R ⇐⇒ a 16 5 − 74 25 + b 33 5 − 123 25 = 6 5 ⇐⇒ 6a 25 + 42b 25 = 6 5 ⇐⇒ a 5 + 7b 5 = 1 ⇐⇒ a + 7b = 5 a + 7b = −5 Kết hợp a2 + b2 = 1 ta được    b = 4 5 =⇒ a = − 3 5 b = 3 5 =⇒ a = 4 5 Vậy có hai tiếp tuyến là    d1 : − 3 5 x − 74 25 + 4 5 y − 123 25 = 0 ⇐⇒ 15x − 20y + 54 = 0 d2 : 4 5 x − 74 25 + 3 5 y − 123 25 = 0 ⇐⇒ 20x + 15y + 133 = 0 Dễ thấy d1 cắt đoạn IK nên phương trình AH chính là phương trình của d1; phương trình BC là phương trình của d2. A thuộc d1 : 15x + 30 = 20y − 24 ⇐⇒ x + 2 4 = y − 6 5 3 nên A −2 + 4t; 6 5 + 3t . −−−→ AK = 16 5 + 2 − 4t; 33 5 − 6 5 − 3t = 26 5 − 4t; 27 5 − 3t , −→ AI = 26 5 + 2 − 4t; 23 5 − 6 5 − 3t = 36 5 − 4t; 17 5 − 3t . Dễ thấy IAK = 1 2 BAC = 45o nên −−−→ AK. −→ AI = −−−→ AK . −→ AI cos 45o ⇐⇒ 26 5 − 4t 36 5 − 4t + 27 5 − 3t 17 5 − 3t = 26 5 − 4t 2 + 27 5 − 3t 2 . 36 5 − 4t 2 + 17 5 − 3t 2 . √ 2 2 10 http://megabook.vn
• 11. được tọa độ A (sao cho A, H nằm khác phía so với IK) Lại có ACH đồng dạng BAH nên CH AH = d (I, d) R = . . . suy ra tìm được CH. Dùng hệ thức lượng để tính BH. Sau đó tìm các điểm B, C cuối cùng G. +) Trường hợp 2: H 122 25 ; 171 25 làm tương tự kết quả ra đẹp hơn. A(2; 3), B(2; 9), C(10; 3), G 14 3 ; 5 Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) tâm I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại B; C; D cắt nhau tại M, N. Giả sử H(1; −1) là trực tâm tam giác AMN. Tìm tọa độ các điểm A; M; N biết chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4 √ 10 và xM > 5. Lời giải: A I C H N M D B Đường tròn (C) có tâm I là giao điểm của AC và BD suy ra AC vuông góc MN suy ra H thuộc AC. Phương trình AC qua I và H là: x − 1 = 0, phương trình MN : y − c = 0. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì IN là phân giác góc DIC và IM là phân giác góc CIB. Mặt khác DIC + CIB = 180o =⇒ IN ⊥ IM. Gọi tọa độ các điểm M(m; c); N(n; c), A(1; a). Theo bài ra ta có hệ phương trình sau: −−→ AM. −−→ NH = 0 −→ IN. −−−→ IM = 0 ⇐⇒ (m − 1) (1 − n) + (c − a) (−1 − c) = 0 (m − 1) (n − 1) + (c − 2)2 = 0 =⇒ (c − 2)2 + (c − a) (−1 − c) = 0 Tham số hóa C(1; c) ∈ MN suy ra A(1; 4 − c) =⇒ a + c = 4. Từ đó suy ra: (c − 2)2 + (c − 4 + c) (−1 − c) = 0 =⇒ c = −4, a = 8 =⇒ C (1; −4) ; A (1; 8) ; M (m; −4) ; N (n; −4) Mà ta lai có chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4 √ 10 nên (m − 1) (1 − n) = 36 (m − 1)2 + 144 + [(m − 1) − (1 − n)]2 + (1 − n)2 + 144 = 28 + 4 √ 10 ⇐⇒ m − 1 = ±9; 1 − n = 4 m − 1 = 4; 1 − n = ±9 =⇒ M (10; −4) ; N (−3; −4) Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là A(1; 8); M(10; −4); N(−3; −4) . Bài toán 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 4)2 + y − 9 2 = 25 4 và hai điểm A(2; 3), B(6; 6). Gọi M; N là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn (C) sao cho các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại H, AN và BM cắt nhau tại C. Tìm tọa độ điểm C biết H 4; 5 2 . Lời giải: 11http://megabook.vn
• 12. A, B đề thuộc đường tròn (C) và AB = R = 5 2 nên AB là đường kính của đường tròn (C). Từ đó ta suy ra được AH⊥BC, BH⊥AC suy ra H la trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng AC qua A vuông góc với HB là 4x + 7y − 29 = 0. Đường thẳng BC qua A vuông góc với AH là: −4x + y + 18 = 0. Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình 4x + 7y − 29 = 0 −4x + y + 18 = 0 ⇐⇒    x = 155 32 y = 11 8 =⇒ C 155 32 ; 11 8 Kết luận: Tọa độ điểm càn tìm là C 155 32 ; 11 8 Bài toán 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M(3; 2) thuộc BD. Từ M kẻ các đường thẳng ME; MF lần lượt vuông góc với AB tại E(3; 4) và AD tại F(−1; 2).Xác định tọa độ điểm C của hình vuông. Lời giải: C F M E K A B D Gọi K = FM ∩ BC. Ta có ME = 2; MF = 4 và FME = CKM suy ra CK = FM = 4; MK = ME = 2 Gọi K (xK; yK) ; C (xC; yC). ta có −−→ MK = MK MF −−→ FM = 1 2 −−→ FM =⇒ K (5; 2) Lại có −−−→ KC = KC ME −−→ EM = 1 2 −−→ EM =⇒ C (5; −2). Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là C(5; −2) . 12 http://megabook.vn
• 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C1) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 45 tâm I. Đường tròn (C2) có tâm K(−1; −3) cắt đường tròn (C1) theo một dây cung song song với AC. Biết SAICK = 30 √ 2 và chu vi tam giác ABC là 10 √ 10. Tìm tọa độ A; B; C biết điểm B có hoành độ âm. Lời giải: A B C I K E A Đường tròn (C1) có tâm I(2; 3). Nhận thấy RC1 = IK = 3 √ 5 và K ∈ (C1). Gọi MN = (C1) ∩ (C2) suy ra MN⊥IK. Mà AC MN =⇒ AC⊥IK. Do đó ta có: SAICK = 30 √ 2 =⇒ AC = 4 √ 10. Lại có AB + BC + CA = 10 √ 10 =⇒ AC + BC = 6 √ 10. (1) Gọi AA là đường kính của (C1), E = IK ∩ AC suy ra IE = 1 2 A C = 1 2 √ AA 2 − AC2 = √ 5 Từ đó suy ra −→ IK = 3 −→ IE =⇒ E (1; 1) Phương trình AC qua E vuông góc IK là x + 2y − 3 = 0. Tọa độ A và C là giao điểm của hệ gồm AC và (C1), suy ra A 1 − 4 √ 2; 1 + 2 √ 2 ; C 1 + 4 √ 2; 1 − 2 √ 2 Tọa độ B thỏa mãn hệ gồm (1) và (C1), suy ra B 7 2 − 3 √ 3; 12 + 3 √ 3 2 Kết luận: Tọa độ các đỉnh A 1 − 4 √ 2; 1 + 2 √ 2 ; C 1 + 4 √ 2; 1 − 2 √ 2 , B 7 2 − 3 √ 3; 12 + 3 √ 3 2 . Bài toán 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh AC : x + y − 3 = 0. Trên tia đổi của CA lấy điểm E. Phân giác trong góc BAC cắt BE tại D. Đường thẳng d đi qua D song song với AB cắt BC tại F. Tìm tọa độ giao điểm M của AF và BE biết AF : 2x + y − 5 = 0 và I(−1; −3) là trung điểm của DF Lời giải: Gọi P là trung điểm của BC, thực hiện dãy suy luận, ta có: DF AB =⇒ AM MF = PB PF =⇒ AM MF = PC PF =⇒ AF MF = FC PF =⇒ PM AC =⇒ PM EC =⇒ MB = ME Kẻ đường thẳng MP ∩ AB = J, cắt (d) tại I . Ta có I F IB = I D JA =⇒ I trùng J Từ đó, ta có PM qua trung điểm I của DF và M là giao điểm của PI và AF. Kết luận: Tọa độ giao điểm cần tìm là M(9; −13). Bài toán 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(2; 3), C(2; 7). Tìm điểm A sao cho đường cao AH = 3r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 13http://megabook.vn
• 14. dài đường cao gấp ba lần bán kính đường tròn nội tiếp nên ta có: 2S a = 3 2S a + b + c =⇒ b + c = 2a Gọi tọa độ điểm A(x; y). Như vậy thì (x − 2)2 + (y − 3)2 + (x − 2)2 + (y − 7)2 = 8 ⇐⇒ 2 (x − 2)2 + (y − 3)2 . (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 − (x − 2)2 − (y − 7)2 − (x − 2)2 − (y − 3)2 ⇐⇒ 4 (x − 2)2 + (y − 3)2 . (x − 2)2 + (y − 7)2 = (x − 2)2 + y2 − 10y − 3 ⇐⇒ 12x2 + 16y2 = 192 ⇐⇒ x2 16 + y2 12 = 1 Kết luận: Vậy với mọi A ∈ (E) : x2 16 + y2 12 = 1 thì thỏa mãn yêu cầu Bài toán 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 5), B(3; 0); C(2; 2). Gọi H; I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trung trực của AH cắt AB; AC tại M; N. Phân giác trong góc IMN cắt AC tại P. Tính diện tích tam giác MNP biết yB > 0. Lời giải: A B C H N M I F E Viết phương trình đường cao kẻ từ 2 đỉnh bất kì và lấy giao, ta tìm được tọa độ trực tâm là H − 6 7 ; 18 7 Phương trình trung trực của AH là 2x + y − 97 14 = 0 Viết phương trình AB, AC ta tìm được tọa độ M 307 98 ; 65 98 , N 111 49 ; 235 98 14 http://megabook.vn
• 15. trung điểm của BC là F 5 2 ; 1 . Theo −−−→ AH = 2 −−−→ IM =⇒ I 69 14 ; 31 14 Nhận thấy phương trình phân giác góc IMN trùng với AB nên ta sẽ đi tính diện tích tam giác AMN. Ta có: SAMN = 1 2 MN.d (A, MN) = 1 2 111 49 − 307 98 2 + 235 98 − 65 98 2 . 2.4 + 5 − 97 14 √ 22 + 1 = 7225 2744 (đơn vị dt) Kết luận: Diện tích tam giác MNP là SMNP = 7225 2744 Bài toán 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH : 3x+2y −1 = 0, phân giác trong CK : 2x−y +5 = 0 và trung điểm M(2; −1) của cạnh AC. Gọi CABC, SABC lần lượt là chu vi và diện tích tam giác ABC. Tính giá trị của 30CABC + 2013 3 √ SABC Lời giải: Diện tích của ABC = 101.43 A C B 22.68 18.03 11.37 Đặt C(c; 2c + 5); A a; 1 − 3a 2 . Ta có M(2; -1) là trung điểm của AC. Dễ dàng tìm được a = 31 7 ; c = − 3 7 =⇒ A 31 7 ; − 43 7 ; C −3 7 ; 29 7 . Phương trình BC qua C và vuông góc với AH là 12x − 21y + 93 = 0. Gọi B b; 2 3 b + 93 21 . Theo bài ta có dB;(CK) = dA;(CK) và A, B khác phía so với (CK). Ta tìm ra B 102 7 ; 99 7 Bây giờ thì khá ổn rồi, bữa ăn cũng sắp xong rồi, có điều "món gà" "dai quá". BC = 5 √ 13; AB = √ 25205 3 ; AC = 2 √ 1585 3 ; SABC = 710 7 . Từ đó ta có biểu thức cần tính có giá trị là 476410 7 + 710 √ 5 + 150 √ 13 + 20 √ 1585 Bài toán 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 +y2 +4y +6y −3 = 0 và điểm M(2; 1). Gọi A; B lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Tìm trực tâm H của tam giác MAB. Lời giải: Gọi I là tâm của đường tròn (C). Từ đó ta có I(−2; −3), R = 4. Ta có MI = 4 √ 2. Từ đó suy ra MA = MB = 4 suy ra IAMB là hình vuông. Khi đó ta có trực tâm H trùng với điểm M. 15http://megabook.vn
• 16. tâm tam giác ABC là H(2; 1). Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 2 = 0 và hai đường tròn có phương trình lần lượt là (C1) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1; (C2) : (x + 3)2 + (y − 4)2 = 4. Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến MA; MB (với A; B là tiếp điểm) đến đường tròn (C1)và đường tròn (C2) đồng thời đường thẳng d là phân giác trong góc AMB. Lời giải: d M I1 I2 B A B A Tâm các đường tròn lần lượt là I1(1; 1), I2(−3; 4). Lấy đối xứng của đường thẳng MA qua OI1 thì dễ thấy nó tiếp xúc với (C1) tại C. Do tính chất đối xứng thì CM, d = BM, d , do đó MB tiếp xúc với (C1) tại C và (C2) tại B. Chứng minh tương tự với MA, ta suy ra được M là tâm phép vị tự biến (C1) thành (C2) suy ra M ∈ I1I2. Phương trình I1I2 là :3x + 4y − 7 = 0. Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình 3x + 4y − 7 = 0 x − y + 2 = 0 ⇐⇒    x = − 1 7 y = 13 7 =⇒ M − 1 7 ; 13 7 Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M − 1 7 ; 13 7 . Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(1; 7), B(6; 2), C(2; −4), D(1; 1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua C và chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Lời giải: SAHCD = 14 SHBC = 14 A B C D H 16 http://megabook.vn
• 17. bài toán ta tính được SABCD = 28; SACD = 3; BC = 2 √ 13 và phương trình AB : x + y − 8 = 0, phương trình BC : 3x − 2y − 14 = 0. *Trường hợp 1: Đường thẳng qua C cắt AD tại K suy ra SDCK ≤ SADC = 3 < 14 = SABCD 2 Do đó trường hợp này không thỏa mãn. *Trường hợp 2: Đường thẳng qua C cắt AB tại H, ta có SBCH = 1 2 BC.d (H; BC) = 14 =⇒ d (H; BC) = 14 √ 13 Tham số hóa H(t; 8 − t), suy ra |5t − 30| √ 13 = 14 √ 13 =⇒    t = 44 5 t = 16 5 =⇒ t = 16 5 =⇒ H 16 5 ; 24 5 (Do H thuộc đoạn AB) Kết luận: Phương trình cần tìm đi qua C và H là 22x − 3y − 56 = 0. Bài toán 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9; (C2) : (x + 1)2 + (y − 5)2 = 4 tiếp xúc ngoài tại A. Tìm điểm B ∈ (C1) và C ∈ (C2) sao cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích lớn nhất. Lời giải: SACB = 6 SAB C = 6 A B C B C D E 45o 45o Gọi D, E lần lượt là tâm của (C1), (C2). Khi đó R1 = 3; R2 = 2. Có SABC = 1 2 AB.AC. Xét AB = 2AD cos BAD = 2AD cos α AC = 2AE cos EAC = 2AE cos π 2 − α = 2AE sin α =⇒ SABC = 6 sin 2α ≤ 6 =⇒ SABCMax = 6 ⇐⇒ α = π 4 Phương trình AD : 4x + 3y − 11 = 0 suy ra AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra B − 2 5 ; − 4 5 ∨ B 22 5 ; 14 5 Với B − 2 5 ; − 4 5 ta được AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra AC : x + 7y − 24 = 0 suy ra C −13 5 ; 19 5 Với B 22 5 ; 14 5 ta được AB : x + 7y − 24 = 0 suy ra AD : 7x − y + 2 = 0 suy ra C 3 5 ; 31 5 . Kết luận Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là B − 2 5 ; − 4 5 , C − 13 5 ; 19 5 ∨ B 22 5 ; 14 5 , C 3 5 ; 31 5 . Bài toán 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 25 và B − 5 2 ; 5 √ 3 2 . Điểm C có hoành độ dương thuộc (C) sao cho BOC = 120o. Tìm M thuộc cung nhỏ BC sao cho 1 MB + 1 MC đạt giá trị nhỏ nhất (M = B, C). 17http://megabook.vn
• 18. bài ta có ngay C(5; 0) và B ∈ (C). gọi A đối xứng với B qua trục Ox thì A − 5 2 ; − −5 √ 3 2 . Không khó để ta nhận thấy tam giác ABC đều. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có: 1 MB + 1 MC ≥ 4 MB + MC Mà theo định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp, ta được: MA.BC = MB.CA + AB + MC Vì AB = BC = CA và M thuộc cung nhỏ BC nên: MB + MC = MA. Do đó biểu thức đã cho nhỏ nhất khi MA lớn nhất, khi đó thì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC thỏa mãn MB = MC. Từ đó suy ra M đối xứng với A qua O nên suy ra M 5 2 ; 5 √ 3 2 Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M 5 2 ; 5 √ 3 2 Bài toán 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I 3 2 ; 1 16 và E(1; 0) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (T) tiếp xúc với BC và các cạnh AB; AC kéo sài có tâm là F(2; −8). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết yA < 0. Lời giải: A B C IE F J 18 http://megabook.vn
• 19. giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi đó có BJ=EJ và ∆BEF vuông tại B suy ra J là trung điểm EF. Pt đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là      (I) : x − 3 2 2 + y − 1 16 2 = 652 162 (J) : x − 3 2 2 + (y + 4)2 = 65 4 Suy ra phương trình BC : y = −2 do đó B (5, −2) , C (−2, −2) và ngược lại. Phương trình EF : 8x + y − 8 = 0 suy ra A 1 2 , 4 Kết luận: Tọa độ các đỉnh của tam giác là A 1 2 , 4 ; B (5, −2) , C (−2, −2) hoặc A 1 2 , 4 ; C (5, −2) , B (−2, −2) Bài toán 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường chuẩn của (E) bằng 8 √ 3 3 , điểm M có tọa độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn hai bán kính qua tiêu là 5 2 VÀ 3 2 . Tìm điểm N ∈ (E) sao cho MN = √ 37 6 và xN > 0. Lời giải: Giả sử (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1, a > b > 0. Khoảng cách hai đường chuẩn là : 2a2 c = 8 √ 3 3 =⇒ a2 c = 4 √ 3 3 . mathbf Ta có. MF1 = a + c a xM > a − c a xM = MF2 (xM > 0) Suy ra    a + c a xM = 5 2 a − c a xM = 3 2 =⇒ a = 2 =⇒ c = √ 3, b = 1. Phương trình (E) : x2 + 4y2 = 4, M( 1 √ 3 ; 11 12 ) Gọi N(a; b) ∈ E. Khi đó ta có :    a2 + 4b2 = 4 a − 1 √ 3 2 + b + 11 12 2 = 37 36 =⇒    a = 8 3 √ 3 b = − √ 33 9 =⇒ N 8 3 √ 3 ; − √ 33 9 Kết luận: Vậy tọa độ điểm cần tìm là N 8 3 √ 3 ; − √ 33 9 Bài toán 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆1 : x − y + 2 = 0; ∆2 : 2x − y − 2 = 0; ∆3 : 2x + y − 2 = 0 và điểm E(4; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc ∆1, cắt ∆2 tại A; B và ∆3 tại C; D sao cho AB + CD = 16 √ 5 và tâm I thỏa mãn IO = 2IE, xI ∈ Z. Lời giải: Delta1 Delta2 Delta3 I E O A B C D 19http://megabook.vn
• 20. I(a; a + 2) ∈ ∆1. Ta có: IO = 2IE =⇒ a2 +(a + 2)2 = 4 (a − 4)2 + (a − 1)2 ⇐⇒ 6a2 −44a+54 = 0 ⇐⇒ a = 2 a = 16 3 =⇒ I (2; 4) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB; CD suy ra IH = d (I; ∆2) = 2 √ 5 ; IK = (I; ∆3) = 6 √ 5 Ta có: AB + CD = 16 √ 5 ⇐⇒ BH + CK = 8 √ 5 ⇐⇒ R2 − 36 5 + R2 − 4 6 = 8 √ 5 ⇐⇒ R2 = 8 Kết luận: Phương trình đường tròn cần lập là (x − 2)2 + (y − 4)2 = 8. Bài toán 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy AB. Biết hai đỉnh B(3; 3), C(5; −3). Giao điểm I của hai đường chéo thuộc 2x + y − 3 = 0. Gọi K là trung điểm của CD. Tìm tọa độ các đỉnh A, D biết rằng IC = 2BI, tam giác IDK có diện tích rằng 8 5 và các điểm I, A có hoành độ dương. Lời giải: SIKD = 1.6 B C D I A K 2x + y = 3 Gọi I (a; 3 − 2a) ∈ ∆. Theo bài ra ta có: IC = 2IB ⇐ (a − 5)2 +(6 − 2a)2 = 4(a − 3)2 +16a2 ⇐⇒ 15a2 +10a−25 = 0 ⇐⇒ a = 1 a = − 5 3 =⇒ I (1; 1) Phương trình đường thẳng BI : x − y = 0 và CI x + y − 2 = 0, IC = 4 √ 2. K là trung điểm của CD suy ra SICD = 2SIDK = 16 5 = 1 2 IC.d (D; IC) =⇒ d (D; IC) = 8 5 √ 2 Tham số hóa D(d; d) ∈ BI. Suy ra |2d − 2| √ 2 = 8 5 √ 2 =⇒    d = 9 5 d = 1 5 =⇒    D 9 5 ; 9 5 D 1 5 ; 1 5 Với D 1 5 ; 1 5 , phương trình AB : 16x + 24y − 120 = 0. Tọa độ A là giao của CI và AB suy ra A(−9, 11) Với trường hợp còn lại, tương tự ta thấy không thỏa mãn. Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là D 9 5 ; 9 5 ; A(−9, 11) Trong quá trình tổng hợp, chắc hẳn không tránh được sai xót, mong nhận được sự phản biện và góp ý thêm của bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn tài liệu này. 20 Nguyễn Đình Huynh http://megabook.vn