Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là một điểm trên cạnh SD sao cho SM 1 3sd

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M là điểm thuộc cạnh SD thỏa mãn SM=13SD">𝑆𝑀=13𝑆𝐷SM=13SD.

 a) Tìm giao điểm của BM với mặt phẳng (SAC).">(𝑆𝐴𝐶).(SAC).

 b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Xác định giao tuyến của (AMN)">(𝐴𝑀𝑁)(AMN) và (SBC)">(𝑆𝐵𝐶)(SBC). Chứng minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.

 c) G là trọng tâm tam giác SAB. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNG).">(𝑀𝑁𝐺).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cho điểm M thay đổi trên cạnh SD

Câu hỏi

Câu 1. ( 3 điểm)

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Câu 2. ( 3 điểm)

Xác định giao điểm N của SC và mặt phẳng (ABM). Tứ giác ABNM là hình gì? Có thể là hình bình hành không?

Câu 3. ( 4 điểm)

Gọi I, J lần lượt là giao điểm của AN với BM và AM với BN. Chứng minh rằng khi M chạy trên cạnh SD thì I, J lần lượt chạy trên các đường thẳng cố định.

Câu 1.

Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song ADvà BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC.

Câu 2. 

Hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua M và song song vớiAB và CD. Vậy qua M ta vẽ đường thẳng d’, đường thẳng này cắt SC tại N. Đây là điểm cần tìm. Ta thấy ngay ABNM  là hình thang. Để ABNM  là hình bình hành ta phải có thêm AM song song với BN. Khi đó AM và BN phải song song với d. Điều này không thể xảy ra khi M  thuộc đoạn SD và không trùng với hai đầu mút S và D.

Câu 3.

\(I = AN \cap BM\) nên I lần lượt thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).Như vậy I phải thuộc giao tuyến SO của hai mặt phẳng này, ở đây \(O = AC \cap B{\rm{D}}\). Tương tự , ta có J thuộc d (h.2.81).

Câu hỏi:

 Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy hai điểm \(M\) và \(N\) trên hai cạnh \(SB,\ SD\) sao cho \(SM=2MB,\ \ SN=2ND,\) đường thẳng \(SC\) cắt mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) tại \(C'\)  Tính tỉ số \(k=\frac{SC'}{SC}?\)

• A \(k=\frac{3}{4}\)                               
• B  \(k=\frac{2}{3}\)                               
• C  \(k=\frac{1}{3}\)                    
• D \(k=\frac{1}{2}\)

Phương pháp giải:

Xác định điểm \(C'\)  

Sử dụng định lý Ta-let và tính chất trọng tâm tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN//DB\ \ \left( Ta-let \right)\)  

Gọi \(O=AC\cap BD\)  

Gọi \(I=SO\cap MN\)  

Kéo dài \(AI\) cắt \(SC\) tại \(C'\)  

Khi đó \(C'=\left( AMN \right)\cap SC\)  

Xét \(\Delta SBD\) ta có: \(\frac{SI}{SO}=\frac{SM}{SB}=\frac{2}{3}\ \ \left( Ta-let \right)\)

Lại có: \(O\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow I\) là trọng tâm tam giác \(SAC.\)

\(\Rightarrow AC'\)  là một đường trung tuyến của tam giác \(SAC.\)

\(\Rightarrow C'\) là trung điểm của \(SC\Rightarrow \frac{SC'}{SC}=\frac{1}{2}\)  

Chọn D.