Cho z1 z2 là 2 nghiệm phức của phương trình 6-3i+iz

Câu hỏi: Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left| {6 – 3i + iz} \right| = \left| {2z – 6 – 9i} \right|\), thoả mãn điều kiện \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \frac{8}{5}\). Tìm GTLN của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\). A. \({P_{\max }} = \frac{{31}}{5}\).  B. \({P_{\max }} = \frac{{56}}{5}\).  C. \({P_{\max }} = 4\sqrt 2 \).  D. \({P_{\max }} = 5\). LỜI GIẢI CHI TIẾT. Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\). \(\left| {6 – 3i + iz} \right| = \left| {2z – 6 – 9i} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {6 – y} \right) + \left( {x – 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {2x – 6} \right) + \left( {2y – 9} \right)i} \right|\)\( \Leftrightarrow {\left( {6 – y} \right)^2} + {\left( {x – 3} \right)^2} = {\left( {2x – 6} \right)^2} + {\left( {2y – 9} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 6x – 8y + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {z – 3 – 4i} \right| = 1\). Đặt \({\rm{w}} = {z_1} + {z_2}\) có điểm biểu diễn là \(M\). Gọi \({{\rm{w}}_1} = {z_1} – 3 – 4i;\,{{\rm{w}}_2} = {z_2} – 3 – 4i\)\( \Rightarrow \left| {{{\rm{w}}_1}} \right| = \left| {{{\rm{w}}_1}} \right| = 1\) và \(\left| {{{\rm{w}}_1} – {{\rm{w}}_2}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \frac{8}{5}\) mà \({\left| {{{\rm{w}}_1} + {{\rm{w}}_2}} \right|^2} + {\left| {{{\rm{w}}_1} – {{\rm{w}}_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{{\rm{w}}_1}} \right|}^2} + {{\left| {{w_2}} \right|}^2}} \right)\)\( \Rightarrow {\left| {{{\rm{w}}_1} + {{\rm{w}}_2}} \right|^2} = \frac{{36}}{{25}} \Rightarrow \left| {{{\rm{w}}_1} + {{\rm{w}}_2}} \right| = \frac{6}{5}\). Ta có : \({{\rm{w}}_1} + {{\rm{w}}_2} = {z_1} + {z_2} – 6 – 8i = {\rm{w}} – 6 – 8i\)\( \Rightarrow \left| {{\rm{w}} – 6 – 8i} \right| = \left| {{{\rm{w}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{w}}_2}} \right| = \frac{6}{5}\)\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {6;8} \right)\), bán kính \(R = \frac{6}{5}\). \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\rm{w}} \right| = OM\). Do đó \({P_{\max }} = OI + R = 10 + \frac{6}{5} = \frac{{56}}{5}\).