Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (a+b)^n
Cùng tìm hiểu có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (a+b)^n và một số ví dụ thông qua bài viết sau đây. Show
Trong khai triển nhị thức (a+b)^n, số hạng là số từ trong công thức mà chúng tạo nên kết quả cuối cùng. Trong trường hợp của khai triển nhị thức (a+b)^n, số hạng có thể được tính bằng công thức binôm: Số hạng = (n!)/(k!(n-k)!) Trong đó:
Ví dụ, trong khai triển nhị thức (a+b)^3, có tổng cộng 8 số hạng: 3 số hạng của từ a và 5 số hạng của từ b. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 Để tính số hạng của từng từ, ta sử dụng công thức binôm: Số hạng của a = (3!)/(3!0!) = 1 Số hạng của b = (3!)/(2!1!) = 3 Do đó, trong khai triển nhị thức (a+b)^3, có tổng cộng 8 số hạng. Nhị thức Newton Khai triển ( a + b)n được cho bởi công thức sau: Với a, b là các số thức và n là số nguyên dương, ta có: Quy ước a0 = b0 = 1 Hệ quả: Tính chất của công thức nhị thức NewtonTính chất của công thức nhị thức Newton
( n – k) + k = n
Tk+1 = Cnk an-k bk ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)n )
Một số kiến thức liên quanCông thức khai triển nhị thức newton: Công thức số tổ hợp Tính chất lũy thừa BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTONBước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát: Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m Từ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q) Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trên Nếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0 Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển P(x) = ( a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n Ta làm như sau:
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton Ta làm như sau:
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển ( 2 – 3x)25 Giải Số hạng thứ 21 trong khai triển là: C2025. 25 ( -3x)20 = 25. 320. C2025. X20 Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển (3x2 –y)10 Giải: Trong khai triển (3x2 –y)10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -35 .C510 Ví dụ 3: Tìm hệ số của x3 , (x >0) trong khai triển sau: Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: Tk + 1 = Ck6 .x6-k. 2k. x(-k/2) Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – ( k /2) = 3 => k = 3 Khi đó hệ số của x3 là: C36.23 = 160 Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.Tìm hệ số xk trong khai triển nhị thức newton Phương pháp chung:
Ví dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( 2 + x)5 Giải: Ta có Cho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35. 25-3 = 40 Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thứcPhương pháp giải (a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn Suy ra điều phải chứng minh
Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp Phương pháp giải các bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợpVí dụ: Giải bất phương trình sau: ( A22x – A2x < = ( 6/ x). C3x + 10 Giải: Điều kiện: x phải là một số nguyên dương và x > = 3 Ta có bất phương trình đã cho tương đương với: Vì x là nghiệm nguyên dương và x > = 3 nên x thuộc {3 ; 4} BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài tập 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau: Giải: Công thức khai triển của biểu thức là: Để số hạng chứa x5 vậy k = 2 và n = 3 Vậy hệ số của x5 là C211 + C37 = 90 Bài tập 2: Tính B = 2n C0n – 2n-1 C1n + 2n-2 C2n + … + (-1)k 2n-k Ckn + … + (-1)2 Cnn Giải: Bài tập 3: Tính C = C610 + C710 + C810 + C910 + C1010 Giải: Bài tập 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức: x( 1- 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 Bài tập 5: Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của ( x2 + 1)n ( x + 2)n. Tìm n để a3n – 3 = 26n Bài tập 6: Tính tổng S = C02013 + 3 C12013 + 32 C22013 + … + 32013 C20132013 Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu thức: Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển ( 1 + 2x)10 Bài tập 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P (x) = ( x+1)6 + ( x+1)7 + … + ( x+1)12 Bài tập 10: Tìm hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển ( 2a – b)5 1,169 Chọn B Vậy khai triển trên có 2019 số hạng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Số vectơ khác 0⇀, có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho là Xem đáp án 6,194
Từ các chữ số thuộc tập X = {0;1;2;3;4;5;6;7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó đều chia hết cho 18. Xem đáp án 3,116
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ, đồng thời ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ đứng xen kẽ? Xem đáp án 3,072
Cho k, n (k < n) là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? Xem đáp án 1 2,371
Số cách chọn ra 3 học sinh trong số 10 học sinh không tính thứ tự là Xem đáp án 2,357
Sắp xếp 20 người vào 2 bàn tròn A, B phân biệt, mỗi bàn gồm 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp là Xem đáp án 1,814
Cho khai triển (1+2x)2019 = a0 + a1x + a2x2 + ..... +anxn. Tính tổng các hệ số trong khai triển? Xem đáp án 1,521
Trong khai triển (1+x)n biết tổng các hệ số Cn1 + Cn2 + Cn3 + .... + Cnn-1 = 126. Hệ số của x3 bằng Xem đáp án 1,464
Tìm tất cả các giá trị của n thỏa mãn Pn.An2 + 72 = 6.(An2 + 2Pn). Xem đáp án 1,448
Cuối năm học trường Chuyên Sư phạm tổ chức 3 tiết mục văn nghệ chia tay khối 12 ra trường. Tất cả các học sinh lớp 12A đều tham gia nhưng mỗi người chỉ được đăng kí không quá 2 tiết mục. Biết lớp 12A có 44 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách để lớp lựa chọn? Xem đáp án 1,377
Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3? Xem đáp án 1,370
Cho tập hợp S có 12 phần tử. Hỏi có bao nhiêu cách chia tập hợp S thành hai tập con (không kể thứ tự) mà hợp của chúng bằng S ? Xem đáp án 1,143
Một lớp có 33 học sinh, cần chọn ra 6 học sinh để trực trường vào buổi chiều. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Xem đáp án 1,061
Trong mặt phẳng cho 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có các đỉnh thuộc 18 điểm đã cho là Xem đáp án 1,045
Tổng S = C20190 + C20193 + C20196 + .....+ C20192019 bằng Xem đáp án 834
|