Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip [E] biết [E] có tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - 2;0} \right]\] và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \[12\sqrt 5 \] .
Viết phương trình đường tròn [C] có tâm là gốc tọa độ và [C] cắt [E] tại bốn điểm tạo thành hình vuông.
Lời giải chi tiết
Phương trình elip có dạng \[[E]:\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\]
Ta có tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - 2;0} \right]\]. Suy ra c = 2.
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ABCD là 4ab.
Suy ra \[4ab = 12\sqrt 5 \].
Ta có : \[{a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4.\]
Giải hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}ab = 3\sqrt 5 \\{a^2} = {b^2} + 4\end{array} \right.\] ta được \[\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \sqrt 5 .\end{array} \right.\]
Vậy phương trình elip là : \[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.\]
Đường tròn [C] tâm O, bán kính R cắt elip tại bốn điểm M, N, P, Q.
Ta có MNPQ là hình vuông suy ra phương trình đường thẳng OM là : \[y = x.\]
Thay \[y = x\] vào phương trình elip ta được
\[{R^2} = O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = \frac{{45}}{7}.\]
Vậy phương trình đường tròn [C] là : \[{x^2} + {y^2} = \frac{{45}}{7}\] .