Đề bài
Cho hình thang \[ABCD [AB//CD]\]. Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\].
a] Chứng minh rằng \[OA.OD = OB.OC\].
b] Đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[AB\] và \[CD\] theo thứ tự tại \[H\] và \[K\].
Chứng minh rằng\[\dfrac{OH}{OK} = \dfrac{AB}{CD}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng
- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đô đồng dạng
- Tính chất hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] Xét hai tam giác \[OAB\] và \[OCD\]:
\[\widehat {AOB} = \widehat {COD}\] [hai góc đối đỉnh]
\[\widehat {ABO} = \widehat {ODC}\] [hai góc so le trong vì \[AB//CD\]].
Suy ra \[\Delta OAB \backsim \Delta OCD\] [trường hợp g.g]
Do đó \[\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\] \[ \Rightarrow OA.OD = OB.OC\] [đpcm].
b] Xét hai tam giác vuông \[OHB\] và \[OKD\]:
\[\widehat {OHB} = \widehat {OKD}\] [cùng bằng \[{90^0}\]]
\[\widehat {OBH} = \widehat {ODK}\] [hai góc so le trong].
Suy ra \[\Delta OHB \backsim \Delta OKD\]
Do đó \[\dfrac{{OH}}{{OK}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\] [1]
Theo kết quả trên: \[\dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\dfrac{{OH}}{{OK}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\] [đpcm].