Đề bài
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
\[\left[ \alpha \right]:Ax + By + Cz + D = 0,ABC \ne 0\]
và điểm M0[x0,y0,z0] không thuộc \[\left[ \alpha \right]\]. Các đường thẳng qua M0lần lượt song song với các trục tọa độ cắt \[\left[ \alpha \right]\] tại \[{M_1},{M_2},{M_3}.\] Tính thể tích khối tứ diện \[{M_0}{M_1}{M_2}{M_3}.\]
Lời giải chi tiết
Gọi d1là đường thẳng qua M0[x0; y0; z0] và song song với trục Ox thì d1có vectơ chỉ phương là [1 ; 0 ; 0]. Ta có phương trình của d1là
\[{d_1}:\left\{ \matrix{ x = {x_o} + t \hfill \cr y = y_o \hfill \cr z = {z_o}. \hfill \cr} \right.\]
Gọi M1là giao điểm của d1với mp[\[\alpha \]]. Toạ độ [x; y; z] của M1thoả mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ x = {x_o} + t \hfill \cr y = y_o \hfill \cr z = {z_o} \hfill \cr Ax + By + Cz + D = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow {M_1} = \left[ {{x_o} - {{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A};{y_o};{z_o}} \right] \cr & \Rightarrow {M_O}{M_1} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A}} \right|. \cr} \]
Tương tự, gọi d2là đường thẳng đi qua M0và song song với Oỵ, d2cắt [\[\alpha \]] tại M2thì
\[{M_O}{M_2} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over B}} \right|.\]
Gọi d3là đường thẳng đi qua M0và song song với Oz, d3cắt [\[\alpha \]] tại M3thì
\[{M_O}{M_3} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over C}} \right|.\]
Dễ thấy MoM1, MoM2, MoM3đôi một vuông góc, do đó
\[{V_{{M_o}{M_1}{M_2}{M_3}}} = {1 \over 6}{M_o}{M_1}.{M_o}{M_2}.{M_o}{M_3} \]
\[= {{{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}^3}} \over {6.\left| {A.B.C} \right|}}.\]