Đề bài
Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho
MN = ME.
a] Chứng minh DE = FN và tam giác DFN cân.
b] Trên tia đối của FD, lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.
c] Chứng minh tam giác DNA vuông
d] Kẻ đường cao EB của tam giác AEN. Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Xét DEM và FNM
Ta có: DM = MF [M là trung điểm của DF]
\[\widehat {DME} = \widehat {NMF}\] [đối đỉnh]
EM = MN [gt]
Do đó: DEM = FNM [c.g.c] => DE = FN
Mà DE = DF [DEF cân tại D]. Nên FN=DF
Do đó DNF cân tại F.
b] Ta có \[MF = {1 \over 2}FD\] [M là trung điểm của DF] và FD = FA [gt]
\[ \Rightarrow MF = {1 \over 2}FA \Rightarrow {{MF} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM - FA} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} - 1 = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} = {3 \over 2} \Rightarrow AF = {2 \over 3}AM\]
EAN có AM là đường trung tuyến [EM = MN, \[M \in EN\]]
F thuộc đoạn thẳng AM và \[AF = {2 \over 3}AM\]
Do đó F là trọng tâm của tam giác NEA.
c] Ta có FN = FA [= DF] => FAN cân tại F \[ \Rightarrow \widehat {FNA} = \widehat {FAN}\]
Mà \[\widehat {FND} = \widehat {FDN}\] [DNF cân tại F]. Do đó \[\widehat {DNA} = \widehat {FND} + \widehat {FNA} = \widehat {FAN} + \widehat {FDN}\]
DNA có \[\widehat {DNA} + \widehat {FAN} + \widehat {FDN} = 180^\circ\]
Do đó \[\widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ \Rightarrow 2\widehat {DNA} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {DNA} = 90^\circ\]
Vậy tam giác DNA vuông tại N.
d] Xét DMN và EMF ta có: DM = MF
\[\widehat {NMD} = \widehat {EMF}\] [đối đỉnh]
MN = EM [gt]
Do đó: DMN = FME [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {MEF}\]
Mà \[\widehat {DNM}\] và \[\widehat {MEF}\] ở vị trí so le trong. Nên DN // EF
Mặt khác \[DN \bot NA\] [DNA vuông tại N]. Do đó \[EF \bot NA\]
Ta có: \[EF \bot NA\] và \[EB \bot NA\] [EB là đường cao của AEN]
Do đó EF trùng với EB. Vậy E, F, B thẳng hàng.