Đề bài
Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
Hướng dẫn : Khi BC không phải là đường kính, gọi H là giao điểm của đường thẳng AH với đường tròn [O; R]. Chứng minh rằng H đối xứng với H qua đường thẳng BC.
Lời giải chi tiết
Trường hợp BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A nên H trùng A
Do đó H nằm trên đường tròn cố định [O ; R]
Xét trường hợp BC không là đường kính.
Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn [O ; R] tại H.
Gọi AA là đường kính của đường tròn [O ; R] thì:
AB // CH [vì cùng vuông góc với AB]
AC // BH [vì cùng vuông góc với AC]
Do đó ABHC là hình bình hành.
Vậy BC đi qua trung điểm của HA
Mặt khác BC // AH [vì cùng vuông góc với AH] nên BC cũng đi qua trung điểm của HH
[do BC đi qua trung điểm của HA' và song song A'H' nên đi qua trung điểm của HH']
Do đó H và H đối xứng với nhau qua BC.
Nếu gọi Đ là phép đối xứng có trục là đường thẳng BC thì Đ biến H thành H.
Nhưng H luôn luôn nằm trên [O ; R] nên H nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn [O ; R] qua phép đối xứng trục Đ
Cách khác: Gọi H là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh tứ giác ABHC nội tiếp, từ đó suy ra H nằm trên [O ; R].