Đề bài
Cấp số cộng \[[{u_n}]\] có \[{u_{17}} - {u_{20}} = 9\] và \[u_{17}^2 + u_{20}^2 = 153\]. Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng đã cho. Ta có
\[\eqalign{
& 9 = {u_{17}} - {u_{20}} = \left[ {{u_1} + 16d} \right] - \left[ {{u_1} + 19d} \right] = - 3d \cr&\Rightarrow d = - 3 \cr
& 153 = {\left[ {{u_{17}}} \right]^2} + {\left[ {{u_{20}}} \right]^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left[ {{{\left[ {{u_{17}} - {u_{20}}} \right]}^2} + {{\left[ {{u_{17}} + {u_{20}}} \right]}^2}} \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left[ {{9^2} + {{\left[ {{u_{17}} + {u_{20}}} \right]}^2}} \right] \cr} \]
\[ \Rightarrow {\left[ {{u_{17}} + {u_{20}}} \right]^2} = 2 \times 153 - 81 = 225 = {15^2}\]. Xảy ra các trường hợp :
\[ - \] Trường hợp 1: \[{u_{17}} + {u_{20}} = 15\]. Khi đó
\[15 = \left[ {{u_1} + 16d} \right] + \left[ {{u_1} + 19d} \right] \]
\[= 2{u_1} + 35d = 2{u_1} + 35.[ - 3] = 2{u_1} - 105 \]
\[\Rightarrow {u_1} = 60.\]
\[ - \] Trường hợp 2: \[{u_{17}} + {u_{20}} = - 15\]. Khi đó
\[ - 15 = \left[ {{u_1} + 16d} \right] + \left[ {{u_1} + 19d} \right] = 2{u_1} + 35d \]
\[= 2{u_1} + 35.[ - 3]= 2{u_1} - 105 \]
\[\Rightarrow {u_1} = 45.\]
Vậy, cấp số cộng đã cho có \[{u_1} = 60\] và \[d = - 3\] , hoặc \[{u_1} = 45\] và \[d = - 3\].