Bài toán về các đường trong tam giác như: đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực… là những bài toán rất cơ bản trong tọa độ mặt phẳng Oxy. Trước thầy cũng có 1 số bài viết về các đường rồi, các em có thể xem trong link thầy đặt ngay dưới đây. Bài giảng hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn cách viết phương trình đường trung tuyến.
Xem thêm bài giảng:
Đường trung tuyến trong tam giác là gì?
Đường trung tuyến trong tam giác: là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.
Giả sử cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC thì AM gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến này cắt nhau tại 1 điểm G. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC. Khoảng cách từ điểm G tới mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Tức là $AG=\frac{2}{3}AM$
Chú ý:
Rất nhiều bạn tới tận cấp 3 rồi vẫn nhầm lẫn trung điểm của đoạn thẳng và điểm nằm giữa của đoạn thẳng. Các bạn ấy nghĩ rằng điểm nằm giữa của đoạn thẳng chính là trung điểm của đoạn thẳng đó. Không phải như vậy đâu các bạn: Điểm nằm chính giữa của đoạn thẳng mới gọi là trung điểm của đoạn thẳng. Còn điểm nằm giữa đoạn thẳng thì nhiều lắm.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Khi nói tới đường trung tuyến chúng ta phải nghĩ tới trung điểm của đoạn thẳng. Do vậy khi viết phương trình đường trung tuyến ắt hẳn sẽ sử dụng tới tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Do vậy thầy sẽ viết ra cả ở đây, dù nó không khó.
Cho 3 điểm $A[x_A;y_A]$, $B[x_B;y_B]$, $M[x_M;y_M]$ với M là trung điểm của đoạn AB. Khi đó tọa độ của M được xác định như sau:
$\left\{\begin{array}{ll}x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right.$
Tọa độ trọng tâm của tam giác
Khi nói tới đường trung tuyến chúng ta cũng không thể không nhắc tới trọng tâm của tam giác. Tức là chúng ta sẽ cần sử dụng tới tọa độ của trọng tâm trong một số bài toán.
Cho tam giác ABC với G là trọng tâm tam giác. Trong đó $A[x_A;y_A], B[x_B;y_B], C[x_C;y_C];, G[x_G;y_G]$. Ta có:
$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$
Cách viết phương trình đường trung tuyến
Đường trung tuyến cũng là một đường thẳng như bao đường khác nên để viết phương trình đường trung tuyến chúng ta sẽ đi viết phương trình đường thẳng. Để viết phương trình đường thẳng các bạn cần tìm 1 vecto chỉ phương hay 1 vecto pháp tuyến và 1 điểm mà đường thẳng đó đi qua.
Nếu bạn nào chưa rõ cách viết một phương trình đường thẳng thì có thể xem bài giảng này nhé: Cách viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
Theo đúng nghĩa của bài viết này thì chúng ta cần xác định tọa độ của 1 đỉnh và tọa độ trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó. Vẫn xét với tam giác ABC ở trên thì để viết phương trình đường trung tuyến AM ta cần xác định tọa độ của điểm A và M.
Bài tập viết phương trình đường trung tuyến
Bài tập 1: Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC biết tọa độ của các điểm là: $A[1;2], B[3;0], C[-1;2]$.
Hướng dẫn:
Đây là bài toán khá cơ bản, để làm được bài này thì trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ của 3 trung điểm của 3 cạnh tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của 3 cạnh BC, AC và AB.
Tọa độ trung điểm M là: $\left\{\begin{array}{ll}x_M=\frac{3-1}{2}\\y_M=\frac{0+2}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_M=1\\y_M=1\end{array}\right. \Rightarrow M[1;1]$
Tọa độ trung điểm N là: $\left\{\begin{array}{ll}x_N=\frac{1-1}{2}\\y_N=\frac{2+2}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_N=0\\y_N=2\end{array}\right. \Rightarrow N[0;2]$
Tọa độ trung điểm P là: $\left\{\begin{array}{ll}x_P=\frac{1+3}{2}\\y_P=\frac{0+2}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_P=2\\y_P=1\end{array}\right.\Rightarrow P[2;1]$
Đường trung tuyến AM:
Đi qua M nhận $\vec{AM}[0;-1]$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1-t\end{array}\right.$
Đường trung tuyến BN:
Đi qua N nhận $\vec{BN}[-3;2]$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=-3t\\y=2+2t\end{array}\right.$
Đường trung tuyến CP:
Đi qua P nhận $\vec{CP}[3;-1]$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=2+3t\\y=1-t\end{array}\right.$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết tọa độ của điểm $B[3;0]$ và phương trình đường cao AH, phương trình đường trung tuyến AM lần lượt có phương trình là: $2x-y=0$ và $x-1=0$. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C của tam giác ABC.
Phân tích
Với bài toán này chúng ta sẽ đi tìm tọa độ của điểm N và điểm C với N là trung điểm của AB.
Để tìm được tọa độ của N cần biết tọa độ của điểm A.
Để tìm tọa độ của C ta cần tìm tọa độ của M hoặc tìm giao của 2 đường đi qua C.
Hướng dẫn
Tọa độ điểm A:
A là giao điểm của AH và Am nên tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ tạo bởi phương trình x-1=0 và 2x-y=0. => $A[1;2]$
Tọa độ điểm N:
Gọi N là trung điểm của AB nên ta có tọa độ của N là: $N[2;1]$
Phương trình đường thẳng BC:
Vì $BC\bot AH$ nên phương trình đường thẳng BC có dạng: $x+2y+c=0$
Mà B[3;0] thuộc BC nên ta có: $3+2.0+c=0$ => $c=-3$.
Vậy phương trình đường thẳng BC là: $x+2y-3=0$
Tọa độ của điểm M:
M là giao điểm của đường thẳng AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{ll}x=1\\x+2y-3=0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1\end{array}\right.$ => M[1;1]
Tọa độ của điểm C:
Vì M là trung điểm của BC nên tọa độ của điểm C là: $C[-1;2]$
Phương trình đường trung tuyến CN:
Ta có: $\vec{CN}[-3;1]$
Đường thẳng CN đi qua C[-1;2] và nhận $\vec{n}=[1;3]$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
$1[x+1]+3[y-2]=0\Leftrightarrow x+3y-5=0$
Lời kết
Với bài toán viết phương trình đường trung tuyến của tam giác thì các bạn thấy nó cũng giống như những dạng đường thẳng khác. Các bạn đều phải tìm những yếu tố liên quan tới đường thẳng đó một cách hợp lý, tùy thuộc vào từng bài toán. Vận dụng toàn bộ những kiến thức nắm được về các đường, các yếu tốt trong tam giác để làm. Nếu có bài toán nào cần sự trợ giúp của thầy và các bạn, hãy mạnh dạn comment trong khung bình luận phía dưới nhé.
Nếu bạn thích bài giảng này, hãy subscribe blog của thầy để thường xuyên cập nhật những bài giảng và đề thi hay nhất, mới nhất qua email nhé. Cảm ơn rất nhiều. 🙂
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng ?
Cho hình bình hành ABCD. M là điểm bất kì, khi đó:
Cho tam giác ABC biết $A\left[ { - 1;\,\,2} \right],\,\,B\left[ {2;\,\,0} \right],\,\,C\left[ { - 3;\,\,1} \right]$. Tìm tọa độ điểm M thuộc BC sao cho ${S_{ABM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}$.
Cho ba vector $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = a,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = b,\,\,\left| {\overrightarrow c } \right| = c$ và $\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 $. Tính $A = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c + \overrightarrow c .\overrightarrow a $
Cho tam giác $ABC$ với tọa độ các đỉnh $A\left[ {1;\,\, - 3} \right],\,\,B\left[ {3;\,\, - 5} \right],\,\,C\left[ {2;\,\, - 2} \right]$. Tìm tọa độ giao điểm $E$ của BC với phân giác trong của góc A.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính cos góc giữa hai trung tuyến BE,CF.
Như các em đã được biết đường trung tuyến là 1 mảng kiến thức vô cùng quan trọng đối với môn Toán. Vậy đường trung tuyến gồm có những kiến thức gì? Và được áp dụng như thế nào trong bài tập?
Vậy thì ngay sau đây chúng ta hãy cùng ôn tập lại kiến thức về đường trung tuyến qua bài viết này nhé.
Định nghĩa về đường trung tuyến
Dưới đây là định nghĩa về đường trung tuyến bao gồm đoạn thẳng và đường trung tuyến của tam giác:
- Định nghĩa đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
- Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
Ví dụ: Tam giác ABC có I là trung điểm của cạnh BC thì AI là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, nếu I,M,N lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC,AC,AB. Thì AI,CN,BM là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất về đường trung tuyến
Đường trung tuyến của một tam giác gồm có 3 tính chất đó là:
- Tính chất 1: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
- Tính chất 2: Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
- Tính chất 3: Vị trí trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Chú ý: Không chỉ ở tam giác thường mà ở tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng đều có tính chất của đường trung tuyến.
Đối với tam giác vuông đường trung tuyến của tam giác bao gồm 3 tính chất đó là:
- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
- Tam giác ΔABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng BC. Ngược lại nếu AM = BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông ở A.
Còn ở tam giác cân,tam giác đều đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy. Và chia tam giác các thành hai tam giác bằng nhau.
Đây những tính chất vô cùng quan trọng để các em có thể áp dụng vào bài tập.
Định lí của đường trung tuyến trong tam giác
Nếu đường trung tuyến trong tam giác có 3 tính chất thì định lí của đường trung tuyến cũng có 3 định lí đó là:
- Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. gọi là trọng tâm của tam giác đó.
- Định lí 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
- Định lí 3: Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.
Công thức độ dài của đường trung tuyến
Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:
Trong đó:
- a, b, c: là các cạnh của tam giác.
- ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.
Bài tập vận dụng về đường trung tuyến
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC. Hãy chứng minh tam giác ABC cân tại A.
Lời giải:
Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC mà BM giao CN tại G, nên ta có:
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét ΔBNG và ΔCGM ta có :
˄BGN = ˄CGM [2 góc đối đỉnh]
- → ΔBNG đồng dạng với ΔCMG
- → BN = CM [1]
Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC [2]
Từ [1] và [2] ta có: AB = AC => Tam giác ABC cân tại A[ đpcm].
Bài tập 2: Đẳng thức nào sau đây là đúng:
Lời giải:
Đáp án đúng là đáp án: 4
Vì theo tính chất 3 của đường trung tuyến trong tam giác.
Tổng kết
Như vậy qua bài viết hôm nay chúng ta đã có thể nhớ lại và ôn tập lại lí thuyết về đường trung tuyến. Hi vọng với những kiến thức bổ ích này sẽ giúp các em có thể ôn tập và rèn luyện lại kiến thức cho mình một cách tốt nhất và hiệu quả nhất.