Gọi x y là nghiệm nguyên của phương trình 2x y 3
|
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHẦN IGIỚI THIỆUKhông giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nhiệm. Vì vậy với phương trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên [từ đơn giản đến phức tạp]:1. Xét số dư của từng vế2. Đưa về dạng tổng3. Dùng bất đẳng thức 4. Dùng tính chia hết, tính đồng dư 5. Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn6. Xét chữ số tận cùng7. Dùng tính chất của số chính phương8. Tìm nghiệm riêng9. Hạ bậcPHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾVí dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:a] x2−y2=1998b] x2+y2=1999Giải:a] Dễ chứng minh x2,y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x2−y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.b] x2,y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x2+y2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình9x+2=y2+yGiải:Biến đổi phương trình: 9x+2=y[y+1]Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y[y+1] chia cho 3 dư 2.Chỉ có thể: y=3k+1, y+1=3k+2 với k nguyênKhi đó: 9x+2=[3k+1][3k+2] ⇔9x=9k[k+1] ⇔x=k[k+1]Thử lại, x=k[k +1], y=3k+1 thỏa mãn phương trình đã cho.Đáp số {x=k[k+1] y=3k+1 với k là số nguyên tùy ýPHƯƠNG PHÁP 2. ĐƯA VỀ DẠNG TỔNGPhương pháp: Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2+y2−x−y=8 [1]Giải: [1]⇔4x2+4y2−4x−4y=32 ⇔[4x2+4x+1]+[4y2−4y+1]=34 ⇔|2x−1|2+|2y−1|2=32+52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32,52. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: {|2x−1|=3 |2y−1|=5 hoặc {|2x−1|=5 |2y −1|=3 Giải các hệ trên ⇒phương trình [1] có bốn nghiệm nguyên là: [2 ; 3], [3 ; 2], [−1 ; −2], [−2 ; −1]PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨCPhương pháp:Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩnVí dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúngGiải:Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z. Ta có: x+y+z=x.y.z [1]Chú ý rằng các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1⩽x⩽y⩽zDo đó: xyz=x+y+z⩽3zChia hai vế của bất đảng thức xyz⩽3z cho số dương z ta được: xy⩽3Do đó xy∈{1;2;3}Với xy=1, ta có x=1,y=1. Thay vào [1] được 2+z=z [loại]Với xy=2, ta có x=1,y=2. Thay vào [1] được z=3Với xy=3, ta có x=1,y=3. Thay vào [1] được z=2 loại vì y⩽zVậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.Cách 2: Chia hai vế của [1] cho xyz≠0 được: 1yz+1xz+1xy=1Giả sử x⩾y⩾z ⩾1 ta có1=1yz+1xz+1xy⩽1z2+1z2+1z2=3z2Suy ra 1⩽3z2 do đó z2⩽3 nên z = 1. Thay z = 1 vào [1]: x+y+1=xy ⇔xy−x−y=1 ⇔x[y−1]−[y−1]=2 ⇔[x−1][y−1]=2Ta có x−1⩾y−1⩾0 nên [x−1,y−1]=[2,1]Suy ra [x,y]=[3,2]Ba số phải tìm là 1; 2; 3Ví dụ 5:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5[x+y+z+t]+10=2xyzt.Giải:Vì vai trò của x,y,z,t như nhau nên có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t.Khi đó : 2xyzt = 5[x + y + z + t] +10 ≤ 20x + 10 ⇒yzt⩽15⇒t3⩽15⇒t⩽2Với t = 1 ta có : 2xyz = 5[x + y + z] +15 ≤ 15x + 15 ⇒2yz⩽30⇒2z2⩽30⇒z⩽3Nếu z = 1 thì 2xy = 5[x + y] + 20 hay 4xy = 10[x + y] + 40 hay [2x – 5][2y – 5] = 65 .Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là [x = 35; y = 3] và [x = 9; y = 5].Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t=2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là [x;y;z;t]=[35;3;1;1];[9;5;1;1] và các hoán vị của các bộ số này.2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩnVí dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1x+1y=13Giải:Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x⩾y. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn [là y].Hiển nhiên ta có 1y<13 nên y>3 [1]Mặt khác do x⩾y⩾1 nên 1x⩽1y. Do đó:13=1x+1y⩽1y+1y=2y nên y⩽6 [2]Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4⩽y⩽6Với y=4 ta được: 1x=13−14=112 nên x=12Với y=5 ta được: 1x=13−15=215 loại vì x không là số nguyênVới y=6 ta được: 1x=13−16=16 nên x=6Các nghiệm của phương trình là: [4 ; 12], [12 ; 4], [6 ; 6]3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyênVí dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2x+3x=5xGiải:Viết phương trình dưới dạng:[25]x+[35]x=1 [1]Với x=0 thì vế trái của [1] bằng 2, loại.Vớix=1 thì vế trái của [1] bằng 1, đúngVới x⩾2 thì [25]x<25,[35]x<35 nên: [25]x+[35]x<25+35=1 loạiNghiệm duy nhất của phương trình là x = 14. Sử dụng diều kiện Δ⩾0 để phương trình bậc hai có nghiệmVí dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x+y+xy=x2+y2 [1]Giải:Viết [1] thành phương trình bậc hai đối với x: x2−[y+1]x+[y2−y]=0 [2]Điều kiện cần để [2] có nghiệm là Δ⩾0△ =[y+1]2−4[y2−y]= −3y2+6y+1⩾0 ⇔3y2−6y−1⩽0 ⇔3[y−1]2⩽4Do đó ⇔[y−1]2⩽1 suy ra: y∈{0,1,2} Với y=0 thay vào [2] được x2−x=0⇔x1=0;x2=1Với y=1 thay vào [2] được x2−2x=0⇔x3=0;x4=2Với y=2 thay vào [2] được x2−3x+2=0⇔x5=1;x6=2Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình [1]Đáp số: [0 ; 0], [1 ; 0], [0 ; 1], [2 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 2]Bài tập rèn luyện:Bài 1: Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên [x,y] thỏa mãn : y[x–1]=x2+2.Hướng dẫn:Ta có y[x–1]=x2+2⇒y=x2+2x−1=x+1+3x−1Vì x,y nguyên nên x–1 là ước của 3Vậy[x,y]=[4,6];[2,6];[−2,−2];[0,−2]Bài 2: Tìm x,y ∈Z thỏa mãn : 2x2–2xy=5x–y–19 .Hướng dẫn:[x,y]=[0,−19];[1,16];[9,8]và[−8,−11]Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2+2xy–243y+x=0Hướng dẫn:Ta có xy2+2xy–243y+x=0⇔ x[y+1]2=243y [1]Từ [1] với chú ý rằng [y+1;y]=1 ta suy ra [y+1]2 là ước của 243.Vậy [x,y]=[54,2];[24,8]Bài 4: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : x PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨCĐưa vào sổ tay
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn 2. Phương trình bậc 2 hai ẩn 3. Phương trình bậc cao hai ẩn 4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $11x + 18y = 120$Giải: Ta thấy $11x \vdots 6$ nên $x \vdots 6$. Đặt $x = 6k$ [$k$ nguyên]. Thay vào [1] và rút gọn ta được: $11k + 3y = 20$ Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [là $y$] theo $k$ ta được: $y = \frac{{20 - 11k}}{3}$ Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: $y = 7 - 4k + \frac{{k - 1}}{3}$ Lại đặt $\frac{{k - 1}}{3}$ $= t$ với $t$ nguyên suy ra $k = 3t + 1$. Do đó: $\begin{array} y = 7 - 4[3t + 1] + t = 3 - 11t \\ x = 6k = 6[3t + 1] = 18t + 6 \\ \end{array} $ Thay các biểu thức của $x$ và $y$ vào [1], phương trình được nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của [1] được biểu thị bởi công thức: $\left\{ \begin{array} x = 18t + 6 \\ y = 3 - 11t \\ \end{array} \right.$ với $t$ là số nguyên tùy ý
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn Giải: Biểu thị $y$ theo $x$: $[2x + 3]y = 5x + 11$ Dễ thấy $2x + 3 \ne 0$ [vì $x$ nguyên ] do đó: $y = \frac{{5x + 11}}{{2x + 3}} = 2 + \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$ Để $y \in \mathbb{Z}$phải có $x + 5 \vdots 2x + 3$ $ \Rightarrow 2[x + 5] \vdots 2x + 3$ $ \Rightarrow 2x + 3 + 7 \vdots 2x + 3$ $ \Rightarrow 7 \vdots 2x + 3$ Nên $[x,y]=[-1,6],[-2,-1],[2,3],[-5,2]$ Thử lại các cặp giá trị trên của $[x , y]$ đều thỏa mãn phương trình đã cho. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} - 2x - 11 = {y^2}$Giải: Cách 1: Đưa về phương trình ước số: ${x^2} - 2x + 1 - 12 = {y^2}$ $ \Leftrightarrow {[x - 1]^2} - {y^2} = 12$ $ \Leftrightarrow [x - 1 + y][x - 1 - y] = 12$ Ta có các nhận xét: Vì [1] chứa $y$ có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng $y \geqslant 0$. Thế thì $x - 1 + y \geqslant x - 1 - y$ $[x - 1 + y] - [x - 1 - y] = 2y$ nên $x - 1 + y$và $x - 1 - y$ cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn. Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp: $[x-1+y,x-1-y]=[6,2],[-2,6]$ Do đó: $[x,y]=[5,2],[-3,2]$ Đáp số: $[5 ; 2], [5 ; -2], [-3 ; 2], [-3 ; -2]$ Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với $x$: Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y + 3 = 0$ [1]Giải: Viết thành phương trình bậc hai đối với x: ${x^2} + [3y - 1]x + [2{y^2} - y + 3] = 0$ [2] $\Delta = {[3y - 1]^2} - 4[2{y^2} - y + 3] = {y^2} - 2y - 11$ Điều kiện cần và đủ để [2] có nghiệm nguyên là $\Delta $ là số chính phương $ \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 11 = {k^2}[k \in \mathbb{N}]$ [3] Giải [3] với nghiệm nguyên ta được ${y_1} = 5,{y_2} = - 3$ Với $y = 5$ thay vào [2] được ${x^2} + 14x + 48 = 0$. Ta có: ${x_1} = - 8,{x_2} = - 6$ Với $y = -3$ thay vào [2] được ${x^2} - 10x + 24 = 0$. Ta có ${x_3} = 6,{x_4} = 4$ Đáp số: $[-8 ; 5], [-6 ; 5], [6 ; -3], [4 ; -3]$
3. Phương trình bậc cao hai ẩn Giải: Nếu $y$ thỏa mãn phương trình thì $ – y$ cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử $y \geqslant 0$ [1] $ \Leftrightarrow [{x^2} + 3x][{x^2} + 3x + 2] = {y^2}$ Đặt ${x^2} + 3x + 2 + 1 = a$, ta được: $[a - 1][a + 1] = {y^2} \Leftrightarrow {a^2} - 1 = {y^2}$ $ \Leftrightarrow [a + y][a - y] = 1$ Suy ra $a + y = a – y$, do đó $y = 0$ Thay vào [1] được: ${x_1} = 0;{x_2} = - 1;{x_3} = - 2;{x_4} = - 3$ Đáp số: $[0 ; 0], [-1 ; 0], [-2 ; 0], [-3 ; 0]$Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^3} - {y^3} = xy + 8$ [1]Giải: Cách 1: $|x - y|.|{x^2} + xy + {y^2}| = |xy + 8|$ Dễ thấy $x \ne y$, vì nếu $x = y$ thì [1] trở thành $0 = {x^2} + 8$, loại. Do $x, y$ nguyên nên $|x - y| \geqslant 1$ Suy ra: $|{x^2} + xy + {y^2}| \leqslant |xy + 8|$ Do đó: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant |xy + 8|$ [2] Xét hai trường hợp: $xy + 8 < 0$. Khi đó [2] trở thành: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant - xy - 8 \Leftrightarrow {[x + y]^2} \leqslant - 8$, loại $xy + 8 \geqslant 0$. Khi đó [2] trở thành: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant xy + 8 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \leqslant 8$ [3] Do đó: ${x^2},{y^2} \in \{ 0;1;4\} $ Nếu $x = 0$ thì từ [1] có ${y^3} = - 8$ nên $y =$ $ - $2 Nếu $y = 0$ thì từ [1] có ${x^3} = - 8$ nên $x = 2$ Nếu $x, y$ khác 0 thì ${x^2},{y^2} \in \{ 1;4\} $. Do $x \ne y$ nên chỉ có: $\left\{ \begin{array} {x^2} = 1 \\ {y^2} = 4 \\ \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array} {x^2} = 4 \\ {y^2} = 1 \\ \end{array} \right.$ Như vậy trong hai số $x$ và $y$ có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của [1] lẻ còn vế phải của [1] chẵn, không xảy ra. Đáp số: $[0 ; -2], [2 ; 0]$Cách 2: ${x^3} - {y^3} - xy = 8$ [1] $ \Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 27xy = 216$ $ \Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 1 - 27xy = 215$ [2] Ta thấy $27{x^3}$, $ - 27{y^3}$, $ - 1$ là lập phương của $3x, $ - $3y, $$ - 1$còn $27xy$ là ba lần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức: ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = [a + b + c].\frac{{{{[a - b]}^2} + {{[b - c]}^2} + {{[c - a]}^2}}}{2}$ Với $a = 3x, b = -3y, c = - 1$, ta biến đổi [2] thành: $[3x - 3y - 1].\left[ {\frac{{{{[3x + 3y]}^2} + {{[1 - 3y]}^2} + {{[3x + 1]}^2}}}{2}} \right] = 215$ [3] Đặt biểu thức trong dấu móc của [3] là $A$. Ta thấy $A > 0$ nên $A$ và $3x - 3y - 1$ là ước tự nhiên của 215. Phân tích ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215. Do $3x - 3y - 1$ chi cho 3 dư 2 nên $3x - 3y - 1 \in \{ 5;215\} $ Xét hai trường hợp: $\left\{ \begin{array} 3x - 3y - 1 = 5[4] \\ A = 43[5] \\ \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array} 3x - 3y - 1 = 215 \\ A = 1 \\ \end{array} \right.$Trường hợp 1: từ [4] suy ra $x – y = 2$. Thay $y = x – 2$ vào [5] được: ${[3x + 3[x - 2]]^2} + {[1 - 3[x - 2]]^2} + {[3x + 1]^2} = 86$ Rút gọn được: $x[x – 2] = 0$ $ \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = 2$ Với $x = 0$ thì $y = 2$. Với $x =2$ thì $y =0$Trường hợp 2: Từ $A = 1$ suy ra: ${[3x + 3y]^2} + {[1 - 3y]^2} + {[3x + 1]^2} = 2$ Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1. Số bằng 0 không thề là $1 – 3y$ hoặc $3x + 1$, do đó $3x + 3y = 0$. Nghiệm nguyên của hệ: $\left\{ \begin{array} 3x + 3y = 0 \\ {[1 - 3y]^2} = 1 \\ {[3x + 1]^2} = 1 \\ \end{array} \right.$ là $x = y = 0$, không thỏa mãn $3x – 3y – 1 = 215$. Đáp số: $[0 ; -0], [2 ; 0]$Cách 3: ${x^3} - {y^3} = xy + 8$ $ \Leftrightarrow {[x - y]^3} + 3xy[x - y] = xy + 8$ Đặt $x – y = a, xy = b$ ta có: ${a^3} + 3ab = b + 8$ $ \Leftrightarrow {a^3} - 8 = - b[3a - 1]$ Suy ra: ${a^3} - 8 \vdots 3a - 1$ $ \Rightarrow 27[{a^3} - 8] \vdots 3a - 1$ $ \Rightarrow 27{a^3} - 1 - 215 \vdots 3a - 1$ Do $27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1$ nên $215 \vdots 3a - 1$ Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43 Do đó $3a - 1 \in \{ \pm 1; \pm 5; \pm 43; \pm 215\} $ Do $3a – 1$ chia cho 3 dư 2 nên $3a - 1 \in \{ - 1;5; - 43;215\} $ Ta có: Do $b = \frac{{{a^3} - 8}}{{1 - 3a}}$ nên: $[a,b]=[0,-8],[2,0],[-14,-64],[72,-1736]$ Chú ý rằng ${[x - y]^2} + 4xy \geqslant 0$ nên ${a^2} + 4b \geqslant 0$, do đó trong bốn trường hợp trên chỉ có $a = 2;b = 0$. Ta được: $x – y = 2; xy = 0$ Đáp số: $[0 ; -2]$ và $[2 ; 0]$
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn Giải: Ta thấy$10z \vdots 3$ nên $z \vdots 3$. Đặt $z = 3k$ ta được: $6x + 15y + 10.3k = 3$ $ \Leftrightarrow 2x + 5y + 10k = 1$ Đưa về phương trình hai ẩn $x, y$ với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau. $2x + 5y = 1 - 10k$ $x = \frac{{1 - 10k - 5y}}{2} = - 5k - 2y + \frac{{1 - y}}{2}$ Đặt $\frac{{1 - y}}{2}$ $= t$ với $t$ nguyên. Ta có: $\begin{array} y = 1 - 2t \\ x = - 5k - 2[1 - 2t] + t = 5t - 5k - 2 \\ z = 3k \\ \end{array} $ Nghiệm của phương trình: $[5t - 5k - 2;1 - 2t;3k]$ với $t, k$ là các số nguyên tùy ý.Ví dụ 8: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1999$ [1]Giải: Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1. Tổng ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ là số lẻ nên trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$phải có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ. Trường hợp trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$ có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của [1] chia cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999 chia cho 4 dư 3, loại. Trong trường hợp ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$đều lẻ thì vế trái của [1] chia cho 8 dư 3, còn vế phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại. Vậy phương trình [1] không có nghiệm nguyên.
Bài tập rèn luyện: Hướng dẫn: Đáp số : $[x, y] = [4, 5]$ hoặc $[5,4]$Cách 1: Đổi biến $u = x + y, v = x – y$ ta đưa về phương trình: $28u = 3[u^2 + 3v^2]. [*]$ Từ [*] chứng minh được $u$ chia hết cho 9 và $0 \le u \le 9$ suy ra $u = 0$ hoặc $u = 9$Cách 2: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x. $3x^2 – [3y + 7]x + 3y^2 – 7y = 0$ [1] Để [1] có nghiệm thì biệt thức $\Delta $ phải là số chính phương Từ đó tìm được yBài 2: Tìm $x, y$ $ \in {\mathbb{Z}^ + }$ thỏa mãn : $x^{2000} + y^{2000} = 2003^{2000} $ [1]Hướng dẫn: Đáp số: phương trình vô nghiệm Giả sử $x \ge y$. Từ [1] suy ra $x < 2003$ và $x + 1 < 2003$ Ta có $2003^{2000} ≥ [x + 1]^{2000} > x^{2000} + 2000.x{1999}$ $ \Rightarrow $$y^{2000} > 2000.x^{1999} ≥ 2000.y^{1999}$ $ \Rightarrow $ $2003 > x ≥ y > 2000$ Vậy $x = 2002, y = 2001$ Thử lại không thỏa mãn [1]Bài 3: Chứng minh $\forall n \in {\mathbb{N}^*},$ phương trình ${x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = {x_1}.{x_2}...{x_n}$ luôn có nghiệm trong ${\mathbb{N}^*}$. Hướng dẫn: Cho ${x_1} = {x_2} = ... = {x_{n - 2}} = 1$ ta đi đến phương trình $[{x_{n - 1}} - 1][{x_n} - 1] = n - 1.$ [1] Dễ thấy ${x_n} = n$và${x_{n - 1}} = 2$ thỏa mãn [1] Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm nguyên dương là $[{x_1};{x_2};...;{x_{_n}}] = [1;1;...;2;n]$Bài4: Chứng minh rằng phương trình $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = 2001^n$ luôn có nghiệm nguyên với mọi $n ≥ 2$Hướng dẫn: Đặt ${2001^n} = 9m$. Bộ ba số $[m; m – 1; m + 1]$ là một nghiệm của phương trình đã cho Phương trình nghiệm nguyên Đa thức
Thẻ
Bài 108097 Bài 107236 Bài 107210 Bài 107207 Bài 106408 Video liên quan |
