Hàm số đồng biến nghịch biến lớp 11

Hàm số đồng biến nghịch biến lớp 11

Trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán rất hay xuất hiện các dạng bài của hàm số lượng giác lớp 11 bài 1. Vì thế, teen 2K1 nhất định phải nắm vững các dạng bài tập này.

Bạn đang xem: Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Bài tập hàm số lượng giác lớp 11 tuy không quá khó nhưng lại khiến nhiều học sinh nhầm lẫn. Các em sẽ phải ghi nhớ công thức lượng giác phức tạp hơn. Hãy cố gắng nằm lòng hết kiến thức trọng tâm cũng như phương pháp giải nhanh bài tập hàm số lượng giác. Để khi đi thi, các em có thể dễ dàng chọn được đán án chính xác trong thời gian ngắn.

Contents

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 bài 1

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác là dạng bài tập cơ bản đầu tiên. Làm tốt được dạng bài tập này, các em mới hoàn thành các dạng bài sau chính xác hơn.

Chúng ta có 4 hàm số lượng giác cơ bản là y= sinx, y=cox, y =tanx và y = cotx. Mỗi hàm số đều có tập xác định riêng.

y = sinx , y = cosx có D = R.

y = tanx có D = R \ {π/2 +kπ, k ∈ Z}

y = cotx có tập xác định D = R\ { kπ, k ∈ Z}.

Phương pháp giải dạng bài tập này như sau:

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Muốn giải nhanh được bài tập về tính đơn điệu của hàm số lượng giác, các em cần phải nhớ một số kiến thức quan trọng sau:

– Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 + k2π; π/2 +k2π), nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 +k2π).

– Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), đồng biến trên khoảng (-π +k2π; k2π).

– Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 +kπ; π/2 +kπ).

– Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π +kπ).

Với dạng toán này, teen 2K1 có thể tận dụng chiếc máy tính cầm tay của mình để đưa ra đáp án nhanh nhất.

Ví dụ: Xét hàm số y = sinx trên đoạn < -π; 0>. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -π; -π/2) và (-π/2; 0).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( -π; -π/2), nghịch biến trên khoảng (-π/2; 0).

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -π; -π/2), đồng biến trên khoảng (-π/2; 0).

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -π; -π/2) và (-π/2; 0).

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đối với dạng bài hàm số lượng giác lớp 11 bài 1 này, teen 2K1 cần nhớ các bất đẳng thức sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin(2x-π/4).

A. max y = -2, min y = 4 B. max y = 2, min y = 4

C. max y = -2, min y = 3 D. max y = 4, min y = 2

Hướng dẫn giải:

Vì – 1 ≤ sin (2x – π/4) ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3sin(2x – π/4) ≤ 3

⇔ 1-3 ≤ 1+ 3sin(2x – π/4 ≤ 1+ 3

⇔ -2 ≤ 1+ 3sin(2x – π/4 ≤ 4.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là max y = 4, giá trị nhỏ nhất của hàm số min y = -2.

Xem thêm: # 1 Cây Xúc Xích Bao Nhiêu Calo Và Xúc Xích Ăn Liền Có Béo Không?

Đáp án đúng là đáp án A.

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hàm số lượng giác lớp 11 bài 1, học sinh cần phải biết biến đổi công thức linh hoạt để giải. Ngoài ra các em cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay như một lợi thế để rút ngắn thời gian làm bài. hàm số. Nhưng trước tiên học sinh cần: “Nhớ mặt” các hàm số lượng giác lớp 11 bài 1 quan trọng nhất .

Tính chẵn lẽ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi làm hàm số chẵn nếu:

Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f(x) = f(-x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:

Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = -f(x).

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y = -2 cosx B. y = -2sinx

C. y = 2sin(-x) D. sinx – cosx

Xét từng đáp án.

y = -2cosx. Tập xác định D = R nên ∀ x ∈ R thì -x ∈ R.

Ta có f(-x) = -2 cos (-x) = – 2 cosx = f(x). Vậy y = -2cosx là hàm số chẵn.

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Đây là dạng toán cuối cùng trong hàm số lượng giác lớp 11 bài 1 mà teen 2K1 cần ghi nhớ.

Để giải dạng toán này, các em cần làm theo những bước sau:

– Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0, sao cho ∀ x ∈ D. Khi đó x ± T∈ D và f(x+T) = f(x).

Lưu ý: Các hàm số y = sin (ax +b), y = cos (ax+b) tuần hoàn với chú kì T = 2π/|a|

Các hàm số tan (ax +b), y = cot(ax+ b) tuần hoàn với chu kì T = π/|a|.

Nếu chu kỳ của hàm số y = sin( πx/a + 2) là 8 thì a nhận giá trị nào dưới đây?

A. ± 2 B. ± 4

C. 4 D. ± 8.

Ta có chu kì của hàm số y = sin ( πx/a + 2) là T = 2π/|a| = 8 ⇔ |a| = 4

⇔ a = ± 4. Đáp án B.

Trên đây là 5 dạng câu hỏi hàm số lượng giác lớp 11 bài 1 cơ bản và quan trọng nhất. Học sinh cần phải chú ý nắm thật vững phần kiến thức này. Làm thật nhiều bài tập để hiểu sâu và nhớ lâu hơn.

Ngoài các dạng bài hàm số lượng giác mà capdoihoanhao.vn đã đề cập trong bài, teen 2K1 cũng cần phải chú ý đến: chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11, đường tròn lượng giác lớp 11…

Ôn lại kiến thức toàn bộ kiến thức Toán 11 trọng tâm nhất

Để giúp các em ôn lại những phần kiến thức Toán 11 thi THPT Quốc gia, capdoihoanhao.vn sẽ chia sẻ sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia. Sách giúp em bứt phá điểm 8 thần tốc nếu khai thác hiệu quả.

Các em sẽ được hệ thống lại toàn bộ kiến thức của 3 năm 10, 11, 12. Nội dung kiến thức trọng tâm lớp 10, 11 sẽ được cô đọng ngắn gọn dễ hiểu dễ nhớ. Học sinh dễ dàng ôn tập lại kiến thức bất cứ khi nào.

100% bài tập có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết. Các hướng dẫn giải nhanh, cách bấm máy tính cầm tay tiết kiệm thời gian làm bài.

Rất nhiều teen 2K1 đã sở hữu cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia của capdoihoanhao.vn. Còn em? Hãy comment dưới bài viết để nhận về full bản đọc thử nhé.

Tham khảo: “Mục sở thị” cách giải chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11 bằng CASIO

Phương pháp chung:

Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng:

* Đồng biến trên các khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2}+k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

* Nghịch biến trên các khoảng $\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

* Đồng biến trên các khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

* Nghịch biến trên các khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

1. Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2}+k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
2. Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $\left( k\pi ;\,\,\pi +k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.

Câu 1.

Trong khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\], hàm số \[y=\sin x-\cos x\]là hàm số:

[A]. Đồng biến.

[B]. Nghịch biến.

[C]. Không đổi.

[D]. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Đáp án A.

Cách 1 : Ta thấy trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ hàm $f(x)=\sin x$ đồng biến và hàm $g(x)=-\cos x$đồng biến , suy ra trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ hàm số $y=\sin x-\cos x$ đồng biến.

Cách 2 : Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số $y=\sin x-\cos x$tăng trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$

Câu 2.

Hàm số \[y=\sin 2x\]nghịch biến trên các khoảng nào sau đây \[\left( k\in Z \right)\]?

[A]. \[\left( k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\].

[B]. \[\left( \dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{3\pi }{4}+k\pi  \right)\].

[C]. \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\].

[D]. \[\left( -\dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k\pi  \right)\].

Đáp án C .

Ta thấy hàm số $y=\sin 2x$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right),k\in \mathbb{Z}$, suy ra hàm số $y=\sin 2x$nghịch biến khi $\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <2x<\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4}+k\pi

Vậy hàm số $y=\sin 2x$ nghịch biến trên mỗi khoảng  $\left( \dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{3\pi }{4}+k\pi  \right),k\in \mathbb{Z}$

Câu 3.

Hàm số \[y=\cos 2x\] nghịch biến trên khoảng \[\left( k\in Z \right)\]?

[A]. \[\left( k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi  \right)\].

[B]. \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\pi +k\pi  \right)\].

[C]. \[\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\].

[D]. \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\].

Đáp án A.

Hàm số  \[y=\cos 2x\]  nghịch biến khi $k2\pi <2x<\pi +k2\pi \Leftrightarrow k\pi

Câu 4.

Xét các mệnh đề sau:

(I):  \[\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y=\dfrac{1}{\sin x}\] giảm.

(II): \[\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y=\dfrac{1}{\cos x}\] giảm.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

[A]. Chỉ (I) đúng .

[B]. Chỉ (II) đúng .

[C]. Cả hai đúng.

[D]. Cả hai sai.

Đáp án B.

$\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)$ : Hàm $y=\sin x$ giảm và $\sin x<0$, suy ra $y=\dfrac{1}{\sin x}$ tăng:Câu (I) sai

$\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)$ : Hàm $y=\cos x$ tăng và $\cos x<0$, suy ra hàm$y=\dfrac{1}{\cos x}$ giảm. Câu (II) đúng.

Câu 5.

Cho hàm số \[y=4\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)-\sin 2x\]. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của   hàm số đã cho?

[A]. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\] và \[\left( \dfrac{3\pi }{4};\pi  \right)\].

[B]. Hàm số đã cho đồng biến trên \[\left( 0;\pi  \right)\].

[C]. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( 0;\dfrac{3\pi }{4} \right)\] .

[D]. Hàm số đã cho đồng biến trên  khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\] và nghịch biến trên khoảng\[\left( \dfrac{\pi }{4};\pi  \right)\].

Đáp án A.

Ta có $y=4\sin (x+\dfrac{\pi }{6})\cos (x-\dfrac{\pi }{6})-\sin 2x=2(\sin 2x+\sin \dfrac{\pi }{3})-\sin 2x=\sin 2x+\sqrt{3}$

. Xét sự biến thiên của hám số $y=\sin 2x+\sqrt{3}$ , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề .

Ta thấy với [A]. Trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$  thì giá trị của hàm số luôn tăng.

Tương tự trên $\left( \dfrac{3\pi }{4};\pi  \right)$ thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.

Câu 6.

Với \[k\in Z\], kết luận nào sau đây về hàm số \[y=\tan 2x\] là sai?

[A]. Hàm số \[y=\tan 2x\]tuần hoàn với chu kỳ \[T=\dfrac{\pi }{2}\].

[B]. Hàm số \[y=\tan 2x\]luôn dống biến trên mỗi khoảng \[\left( -\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{k\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{k\pi }{2} \right)\].

[C]. Hàm số \[y=\tan 2x\]nhận đường thẳng \[x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}\]là một đường tiệm cận.

[D]. Hàm số \[y=\tan 2x\] là hàm số lẻ.

Đáp án B.

Ta thấy hàm số $y=\tan x$ luôn đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( \dfrac{-\pi }{2}+k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi  \right)\], suy ra hàm số $y=\tan 2x$ luôn đồng biến tren mỗi khoảng \[\dfrac{-\pi }{2}+k\pi <2x<\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow \dfrac{-\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}

Câu 7.

Để hàm số \[y=\sin x+\cos x\] tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

[A]. \[\left( -\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k2\pi  \right)\] .

[B]. \[\left( -\dfrac{3\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k\pi  \right)\] .

[C]. \[\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\] .

[D]. \[\left( \pi +k2\pi ;2\pi +k2\pi  \right)\] .

Đáp án A.

Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$. Để hàm số $y=\sin x+\cos x$ tăng thì

$\dfrac{-\pi }{2}+k2\pi

Câu 8.

Xét hai mệnh đề sau:

(I):  \[\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y={{\tan }^{2}}x\] tăng.

(II): \[\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y={{\sin }^{2}}x\] tăng.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

[A]. Chỉ (I) đúng .

[B]. Chỉ (II) đúng .

[C]. Cả hai đúng.

[D]. Cả hai sai.

Đáp án C.

Bài toán có hai hàm số mà cùng  xét trên một khoảng  nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE  cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập f(x) là hàm ${{\tan }^{2}}x$  nhập g(x) là hàm ${{\sin }^{2}}x$  thì ta có kết quả .

Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng \[\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\]. Vì khi x chạy từ $\dfrac{-\pi }{2}$ đến 0 thì giá trị của hai hàm số đều giảm . Khi x chạy từ 0 đến $\dfrac{\pi }{2}$ thì giá trị của hai hàm số đều tăng , vậy cả hai mệnh đề đều sai.

Câu 9.

Hãy chọn câu sai: Trong khoảng \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi  \right),k\in Z\]thì:

[A]. Hàm số \[y=\sin x\] là hàm số nghịch biến .

[B]. Hàm số \[y=\cos x\] là hàm số nghịch biến.

[C]. Hàm số \[y=\tan x\] là hàm số đồng biến.

[D]. Hàm số \[y=\cot x\] là hàm số đồng biến .

Đáp án D.

D sai, với $\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{3\pi }{4}\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi  \right)$, ta có: $\dfrac{2\pi }{3}<\dfrac{3\pi }{4}=>\cot \dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}>-1=\cot \dfrac{3\pi }{4}$

Câu 10.

Bảng biến thiên của hàm số \[y=f(x)=\cos 2x\]trên đoạn \[\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right]\] là:

[A].

[B]. 

[C]. 

[D]. 

Đáp án A.

Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại $f(0)=\cos 0=1$ và $f(\pi )=\cos 2\pi =1$. Các bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn.

Câu 11.

Cho hàm số \[y=\cos \dfrac{x}{2}\]. Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn\[\left[ -\pi ;\pi  \right]\]là:

[A]. 

[B]. 

[C]. 

[D]. 

Đáp án C.

Tương tự như câu 10 thì ta có thể loại A và B do $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\cos \left( \dfrac{-\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đâu mút thì ta loại được D.