Sơ đồ tư duy Phương pháp tọa độ trong không gian

“Bản đồ tư duy Hình học giải tích” một công cụ hỗ trợ việc ra đề toán có đáp số ĐẸP. Tác giả HUỲNH VĂN MINH - Điện thoại: 0915714180 Giáo viên trường PTTH-DTNT Huyện Sa Thầy – Tỉnh Kon Tum I. MỞ ĐẦU. Bản đồ tư duy còn gọi là sơ đồ tư duy, lược đồ tư duy, … là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức,… bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực. Bản đồ tư duy có thể vận dụng để hỗ trợ dạy học kiến thức mới, củng cố kiến thức sau mỗi tiết dạy, ôn tập hệ thống hóa kiến thức sau mỗi chương, mỗi học kỳ, phát triển một ý tưởng, một bài toán, … Với góc nhìn của người giáo viên, bản đồ tư duy là một công cụ hỗ trợ rất hiệu quả trong việc xây dựng nội dung các bài toán. Bản đồ tư duy trong hình học giải tích phục vụ ra đề có đáp số ĐẸP đòi hỏi giáo viên phải tính toán chính sát các kết quả về tọa độ (điểm, vecto,…); phương trình của đường thẳng; phương trình của mặt phẳng; …; quan hệ giữa các đối tượng trên (quan hệ thuộc – điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, đường thẳng nằm trong mặt phẳng,…; quan hệ đối xứng – điểm đối xứng qua đường thẳng, điểm đối xứng qua mặt phẳng, đường thẳng đối xứng qua đường thẳng, đường thẳng đối xứng qua mặt phẳng, …; quan hệ song song – hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song với nhau; quan hệ vuông góc – hai đường thẳng vuông góc với nhau, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc với nhau), thao tác xây dựng các quan hệ này trên thông số về tọa độ trong không gian Oxyz gặp không ít khó khăn. Với tinh thần cùng chia sẽ, cùng hợp tác, việc xây dựng các Bản đồ tư duy trong hình học giải tích (không gian) đã được nghiên cứu, hiện nay đã có kết quả rất khả quan (mỗi bản đồ tư duy sau đây TÔI chỉ thiết kế không quá 1 phút – bằng phần mềm do tác giả thiết kế) mong muốn được chia sẽ với các đồng nghiệp. Chúng ta chỉ còn thao tác tạo ra các bài toán với đáp số có trước (theo bản đồ tư duy). II. NỘI DUNG. Một số bài toán theo các mức độ nhận thức (nhận biết – thông hiểu – vận dụng thấp – vận dụng cao) đã có đáp số ĐẸP tạo ra bằng bản đồ tư duy, giáo viên có thể lựa chọn và sáng tạo ra những bài toán khác phù hợp với năng lực học sinh của mình. Bài toán số 01. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(4;4;1), M’(0;-2;5) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y-2z-1=0. a. Viết phương trình đường thẳng a chứa điểm M và có vecto  chỉ phương u  (1;5;0) . b. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. c. Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua M có vecto chỉ phương  u  (1;5;0) và đường thẳng d’ đi qua M’ có vecto chỉ phương  u'  (3;1;4) cắt nhau tại điểm A thuộc mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm A. x=4+t  y=4+5t , A(3;-1;1) Đs:  z=1 1 Bài toán số 02. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(4;4;1), M’(0;-2;5) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y-2z-1=0. a. Chứng minh rằng M và M’ đối xứng với nhau qua mặt phẳng (P). b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M và song song mặt phẳng (P). Đs: 2x+3y-2z-18=0. Bài toán số 03. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y2z-1=0 a. Viết phương trình mặt cầu tâm M, tiếp xúc mặt phẳng (P). b. Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P). Đs: (x-4)2+(y-4)2+(z-1)2=17. M’(0;-2;5). Bài toán số 04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y2z-1=0 a. Viết phương trình mặt cầu tâm M, cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C) có bán kính r=3. Tìm tọa độ tâm đường tròn (C). b. Tìm tọa độ điểm H thuộc (P) sao cho đoạn MH có độ dài ngắn nhất. Đs: (x-4)2+(y-4)2+(z-1)2=26. H(2; 1; 3). Bài toán số 05. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 -8x-8y-2z+7=0 và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y-2z-1=0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm H và độ dài bán kính r của đường tròn (C). d(I,P)  17  26 , H(2;1;3), r=3. Đs: Bài toán số 06. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;4;1), điểm A(3;-1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y-2z-1=0. Trong tất cả các đường thẳng quan M, song song với (P), viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d là ngắn nhất. x-4 y-4 z-1 Đs: . = = 1 2 -2 Bài toán số 07. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2-8x-8y-2z+16=0 và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y-2z+16=0. Tìm trên mặt cầu (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất, điểm N sao cho khoảng cách từ N đến (P) là nhỏ nhất. Đs: M(6; 7; -1), N(2; 1; 3). Bài toán số 08. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;-2; 5) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y2z-1=0. Tìm trên mặt phẳng (P) điểm I sao cho phương trình mặt cầu tâm I đi qua M có diện tích bé nhất. Đs: I(2; 1; 3). Bài toán số 09. x=3+t  x-1 y-3 z-5 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (a): , (b):  y=-1+5t .  1 -2 -2 z=1 a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng (a) và (b). b. Cho điểm M(4;4;1). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng (a) sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất. Đs: (P): 10x-2y+7z-39=0, H(2;1;3). Bài toán số 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;4;1), đường thẳng d có phương trình x-1 y-3 z-5 . Viết phương trình đường thẳng () đi qua M, cắt và vuông góc với d. = = 1 -2 -2 x-4 y-4 z-1 = = Đs: 2 3 -2 2 Bài toán số 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;4;1), đường thẳng d có phương trình x-1 y-3 z-5 . = = 1 -2 -2 a. Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với đường thẳng d. b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d. Đs (x-4)2+(y-4)2+(z-1)2=17. M’(0;-2;5). Bài toán số 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0; -2; 5), đường thẳng d có phương trình x-1 y-3 z-5 . = = 1 -2 -2 Tìm trên đường thẳng d điểm I sao cho mặt cầu tâm I đi qua M có diện tích bé nhất. Đs: I(2; 1; 3). Bài toán số 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;4;1), đường thẳng d có phương trình x-1 y-3 z-5 . = = 1 -2 -2 Trong tất cả các mặt phẳng chứa d, tìm phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.. Đs: 2x+3y-2z-1=0 Bài toán số 14. x-1 y-3 z-5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P) có = = 1 -2 -2 phương trình 2x+3y-2z-1=0. a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2 17 . b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng () đi qua A và vuông góc với d. x-3 y+1 z-1 = = Đs: I1(5; 9; 1), I2(1;-11;1), A(3;-1;1), (): . 10 -2 7 Bài toán số 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2+4y-10z+12=0 và x-3 y-6 z-3 = = đường thẳng (d) phương trình . 1 -2 -2 Tìm trên mặt cầu (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến d là lớn nhất, điểm N sao cho khoảng cách từ N đến d là nhỏ nhất. Đs: M(-2; -5; 7), N(2; 1; 3). Bài toán số 16 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(4; 4; 1) và đường thẳng d có phương trình x-1 y-3 z-5 . Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. = = 1 -2 -2 Đs: H(2; 1; 3). Bài toán số 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; -1; 1), N(1; 3; 5) và đường thẳng  có x-12 y+1 z-10 = = phương trình . Tìm trên đường thẳng  điểm I sao cho IM2+IN2 có giá trị nhỏ nhất. 8 -5 9 Đs: I(4; 4; 1). Bài toán số 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2; 0; -6) và đường thẳng d có phương trình x y-1 z = = . 1 1 -1 a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điếm A trên đường thẳng d. b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Đs: H(1; 2; -1), 3x+2y+5z-2=0 3 Bài toán số 19. x y+2 z-5 và mặt = = 3 1 -4 phẳng (P) có phương trình 2x+3y-2z-1=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với . x-2 y-3 z+2 Đs: . = = 10 -2 7 Bài toán số 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(4; 4; 1) và đường thẳng  có phương trình x-1 y-3 z-5 . Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng . Viết phương trình mặt cầu tâm M, cắt  tại hai = = 1 -2 -2 điểm A và B sao cho AB=6. Tìm tọa độ hai điểm A, B. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình Đs: d ( M ,  )  17 , x-4 + y-4 + z-1 =26 , A(3; -1; 1), B(1; 3; 5). 2 2 2 Bài toán số 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; -1; 1), B(1; 3; 5) và mặt phẳng (P) có phương trình 5x-y-5z-11=0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA=MB= 26 . Đs: M(4; 4; 1). Bài toán số 22. x y+2 z-5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d = và mặt phẳng (P): = 3 1 -4 2x+3y-2z-1=0. Gọi I là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho IM vuông góc với d và IM= 101 . Đs: M1(-3; 7; 1), M2(9: -9; 1) Bài toán số 23. x-12 y+1 z-10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và hai điểm A(3; -1; = = 8 -5 9 1), B(1; 3; 5). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác AMB có diện tích bằng 3 17 . Đs: M(4; 4; 1). Bài toán số 24. x-3 y+1 z-1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P): = = 3 1 -4 3x+2y+5z-2=0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 17 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Đs: x2+(y+2)2+(z-5)2=17 và (x-6)2+y2+(z+3)2=17 Bài toán số 25. x-3 y+1 z-1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và điểm I(2; 1; 3). = = 3 1 -4 Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. 153 Đs: (x-2)2+(y-1)2+(z-3)2= . 13 Bài toán số 26. x  12 y  1 z  10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường d: và hai điểm A(3;   8 5 9 1;1), B(1; 3; 5). Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A,B và có tâm thuộc đường thẳng d. Đs: (x-4)2+(y-4)2+(z-1)2=26 Bài toán số 27. x-4 y-4 z-1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A(3;-1; 1), = = 2 3 -2 B(0; -2; 5). Xác định điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB là tam giác vuông tại M. Đs: M(2; 1; 3) 4 Bài toán số 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối nón (N) có tọa độ đỉnh I(4;4;1), tọa độ tâm đường x=3+t  tròn đáy H(2;1;3) và một đường sinh l có phương trình  y=-1+5t . Tính thể tích nón (N).  z=1 1 Đs: V= πR 2 .h=3.π. 17 . 3 Bài toán số 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối nón cụt (NC) có tọa độ hai tâm đường tròn hai đáy x=3+t  là đỉnh I(2; 1; 3) và J(0; -2; 5) và một đường sinh l có phương trình  y=-1+5t . Tính thể tích nón cụt (NC).  z=1 Đs: VNC  21π 17 . Bài toán số 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối chóp S.ABCD với S(4;4;10, A(3;-1;1), B(12;-1;10), C(1;3;5), D(-8;3;-4). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 1 Đs: V= B.h=6 289. 3 5