Tứ giác nào sau đây có giao điểm của hai đường chéo cách đều các định
Dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang được VnDoc sưu tầm, tổng hợp các dấu hiệu nhận biết các hình cho các em học sinh tham khảo, củng cố kiến thức Toán học. Các kiến thức nhận biết hình học giúp cho việc chứng minh dễ dàng. Show
Dấu hiệu nhận biết các hình
Dấu hiệu nhận biết các hình là một dạng Toán thường gặp. Với các dấu hiệu và tính chất sau đây giúp các bạn dễ dàng chứng mình đó là hình gì. Dưới đây là chi tiết cho các em cùng tham khảo. 1. Dấu hiệu nhận biết hình thoi?Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Là hình bình hành đặc biệt với hai cạnh kề bằng và hai đường chéo vuông góc với nhau. Hình thoi có 4 dấu hiệu nhận biết, như sau:
Tính chất của hình thoi Trong hình thoi:
2. Dấu hiệu để nhận biết hình vuông?Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác đều có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau Hình vuông có 5 dấu hiệu nhận biết, như sau:
Tính chất của hình vuông
3. Dấu hiệu để nhận biết hình chữ nhật?Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông Hình chữ nhật có 4 dấu hiệu nhận biết, như sau:
Tính chất của hình chữ nhật Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân
Định lí: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 4. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành?Định nghĩa: Hình bình hành là một hình tứ giác được tạo thành khi hai cặp đường thẳng song song cắt nhau. Hình bình hành có 5 dấu hiệu nhận biết, như sau:
Hình bình hành là hình thang
Tính chất của hình bình hành Trong hình bình hành thì có:
5. Dấu hiệu nhận biết hình thang?Định nghĩa: Hình thang là tứ giác lồi có 4 cạnh. Trong đó có hai cạnh song song với nhau được gọi là hai cạnh đáy, hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên. Hình thang có 5 dấu hiệu nhận biết, như sau:
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
6. Bài tập về hình họcHình vuông
Hình chữ nhật
Hình thang
7. Công thức, cách tính diện tích chu vi các hình
Trên đây là các dấu hiệu nhận biết các dạng hình học cơ bản cho các em học sinh tham khảo. Thông qua đó đối với các dạng bài chứng mình giúp các em học sinh nắm vững được kiến thức hình học. Ngoài ra các em học sinh tham khảo các dạng Toán lớp 4, Toán lớp 5 củng cố các kiến thức Toán học chuẩn bị cho các bài thi, bài kiểm tra trong năm học. Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 4, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 4 sau: Tài liệu học tập lớp 4. Và để chuẩn bị cho chương trình học lớp 5, các thầy cô và các em tham khảo: Tài liệu học tập lớp 5 . Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn. Trong Hình học phẳng, một tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm và bán kính đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Thông thường tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cũng tồn tại các tứ giác nội tiếp lõm. Các công thức trong bài viết sẽ chỉ áp dụng cho tứ giác lồi.
Một tam giác bất kì luôn có một đường tròn ngoại tiếp, nhưng không phải tứ giác nào cũng là tứ giác nội tiếp. Một ví dụ cho một tứ giác không nội tiếp là một hình bình hành không là hình chữ nhật. Mọi hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân đều nội tiếp. Một tứ giác lưỡng tâm là một tứ giác nội tiếp mà cũng ngoại tiếp một đường tròn. Hình 2: Tứ giác nội tiếp ABCD Một tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi bốn đường trung trực của bốn cạnh đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.[1] Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi hai góc đối bù nhau, tức là[1] α + γ = β + δ = 180 ∘ . {\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }.} Ở đây α = ∠ D A B , β = ∠ A B C , γ = ∠ B C D , δ = ∠ C D A {\displaystyle \alpha =\angle DAB,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle BCD,\delta =\angle CDA}Định lý trên được nêu trong bộ Cơ bản của Euclid.[2] Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc ngoài đối diện góc đó. Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó[3] Ví dụ như: ∠ A C B = ∠ A D B . {\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.} Định lý Ptoleme cũng chỉ ra rằng một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tích hai đường chéo bằng tổng của tích hai cặp cạnh đối, tức là:[4]:p.25 Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa hai đoạn thẳng AC và BD, cắt nhau tại P, thì A, B, C, D cùng thuộc đường tròn khi và chỉ khi:[5] A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . {\displaystyle \displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn. Trong trường hợp nằm trong, tứ giác lồi nội tiếp là ABCD, còn trong trường hợp còn lại, tứ giác nội tiếp là ABDC. Một dấu hiệu nhận biết khác là tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi:[6] tan α 2 tan γ 2 = tan β 2 tan δ 2 = 1. {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1.}Đặc điểm, tính chấtTâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh. Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia. Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn. Diện tích S của tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d được cho bởi công thức Brahmagupta:[4]:p.24 S = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\,}trong đó p là nửa chu vi tứ giác hay p = 1/2(a + b + c + d). Đây là hệ quả của công thức Brahmagupta cho một tứ giác bất kỳ. Nếu d = 0, tứ giác sẽ trở thành một tam giác và công thức trên được rút gọn về công thức Heron. Tứ giác nội tiếp có diện tích lớn nhất trong các tứ giác có các cạnh tương ứng bằng nhau. Đây cũng là một hệ quả được rút ra từ công thức Brahmagupta.[7] Với bốn số đo cạnh khác nhau, mỗi số nhỏ hơn tổng ba số còn lại, là độ dài các cạnh của ba tứ giác nội tiếp khác nhau,[8] mà theo công thức Brahmagupta , tất cả đều có cùng diện tích. Trong đó, với bốn cạnh a, b, c, d, cạnh a có thể là cạnh đối của một trong ba cạnh còn lại b, c, d. Diện tích của tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d, cạnh a đối cạnh c, cạnh b đối cạnh d và góc trong B tạo bởi hai cạnh a và b; cũng có thể biểu diễn dưới dạng:[4]:p.25 S = 1 2 ( a b + c d ) sin B {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}hay[4]:p.26 S = 1 2 ( a c + b d ) sin θ {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}với θ là góc tạo bởi hai đường chéo của tứ giác. Nếu góc trong A bất kỳ không là góc vuông, diện tích của tứ giác là:[4]:p.26 K = 1 4 ( a 2 − b 2 − c 2 + d 2 ) tan A . {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}trong đó a và d là hai cạnh kề góc A. Một công thức khác đó là[9]:p.83 S = 2 R 2 sin A sin B sin θ {\displaystyle \displaystyle S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}trong đó R là bán kính đường tròn nội tiếp. Từ đó có kết quả:[10] S ≤ 2 R 2 {\displaystyle S\leq 2R^{2}}tại đó dấu bằng xảy ra khi tứ giác là hình vuông. Trong một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh A, B, C, D và cạnh a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, độ dài đường chéo p = AC và q = BD có thể được cho bởi công thức[4]:p.25,[11][12]:p. 84 p = ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b + c d {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} and q = ( a c + b d ) ( a b + c d ) a d + b c {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}Tích hai đường chéo được xác định bởi định lý Ptolemy: p q = a c + b d . {\displaystyle pq=ac+bd.}Cũng theo định lý Ptolemy thứ hai thì[4]:p.25,[11] p q = a d + b c a b + c d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}Với tổng hai đường chéo ta có bất đẳng thức[13] p + q ≥ 2 a c + b d . {\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 đường chéo có độ dài bằng nhau, bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng bất đẳng thức AM-GM. Từ bất đẳng thức trên ta có kết quả:[14]:p.64,#1639 ( p + q ) 2 ≤ ( a + c ) 2 + ( b + d ) 2 . {\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}Với mọi tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau chia tứ giác thành bốn tam giác. Trong tứ giác nội tiếp, cặp hai tam giác đối nhau qua giao hai đường chéo đồng dạng với nhau. Nếu M và N lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC và BD thì[15] M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | {\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}trong đó E và F lần lượt là giao điểm hai cặp cạnh đối của tứ giác. Nếu tứ giác ABCD nội tiếp có AC cắt BD tại E, thì[16] Với một bộ bốn cạnh là bốn cạnh một tứ giác nội tiếp, có thể thay đổi thứ tự các cạnh theo một trật tự bất kỳ. Khi đó có thể tạo ra một trong hai tứ giác nội tiếp khác nhau và khác tứ giác ban đầu. Cả ba tứ giác đều có diện tích bằng nhau do tính chất công thức Brahmagupta, đều nội tiếp cùng một đường tròn, và bất cứ hai trong ba tứ giác đều có một cặp hai đường chéo bằng nhau.[12]:p. 84 Với một tứ giác nội tiếp có bốn cạnh a, b, c, d, nửa chu vi s, và góc A nằm giũa hai cạnh a và d, ta có các công thức lượng giác sau đây:[17] cos A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 ( a d + b c ) , {\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},} sin A = 2 ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) ( a d + b c ) , {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},} tan A 2 = ( s − a ) ( s − d ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}Góc θ tạo bởi hai đường chéo được xác định bởi:[4]:p.26 tan θ 2 = ( s − b ) ( s − d ) ( s − a ) ( s − c ) . {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}Nếu đường thẳng chứa 2 cạnh a và c cắt nhau tao thành góc φ, thì:[4]:p.31 cos φ 2 = ( s − b ) ( s − d ) ( b + d ) 2 ( a b + c d ) ( a d + b c ) {\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}Một tứ giác nội tiếp có các cạnh a, b, c, d và nửa chu vi s; có độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp xác định bởi:[11][18] R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) . {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}Công thức được tìm ra vào thế kỷ XV bởi nhà toán học Ấn Độ Vatasseri Parameshvara. Sử dụng công thức Brahmagupta, công thức Parameshvara có thể được phát biểu lại là: 4 K R = ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) {\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}trong đó K là diện tích tứ giác nội tiếp. Hình 3: ĐỊnh lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp
Một tứ giác Brahmagupta là một tứ giác nội tiếp với các cạnh, các đường chéo và diện tích là số nguyên. Tất cả các tứ giác Brahmagupta với các cạnh a, b, c, d, đường chéo e, f, diện tích K, và bán kính đường tròn ngoại tiếp R có thể được thu được bằng cách quy đồng các mẫu số từ các biểu thức sau liên quan đến các số hữu tỉ t, u, v: a = [ t ( u + v ) + ( 1 − u v ) ] [ u + v − t ( 1 − u v ) ] {\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]} b = ( 1 + u 2 ) ( v − t ) ( 1 + t v ) {\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)} c = t ( 1 + u 2 ) ( 1 + v 2 ) {\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})} d = ( 1 + v 2 ) ( u − t ) ( 1 + t u ) {\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)} e = u ( 1 + t 2 ) ( 1 + v 2 ) {\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})} f = v ( 1 + t 2 ) ( 1 + u 2 ) {\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})} K = u v [ 2 t ( 1 − u v ) − ( u + v ) ( 1 − t 2 ) ] [ 2 ( u + v ) t + ( 1 − u v ) ( 1 − t 2 ) ] {\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]} 4 R = ( 1 + u 2 ) ( 1 + v 2 ) ( 1 + t 2 ) . {\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}Chu vi và diện tích Đối với một tứ giác nội tiếp có 2 đường chéo vuông góc, giả sử giao điểm của đường chéo chia một đường chéo thành các đoạn có độ dài p1 và p2 và chia đường chéo khác thành các đoạn có độ dài q1 và q2 thì: (đẳng thức đầu tiên là Mệnh đề thứ 11 trong cuốn "Book of Lemmas" (tạm dịch: Cuốn sách về bổ đề) của Archimedes) D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 {\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}trong đó D là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Điều này đúng bởi vì đường chéo là các dây vuông góc của một vòng tròn. Các phương trình này thể hiện rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp R có thể được biểu diễn bằng R = 1 2 p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}hoặc, ở dạng của các cạnh của tứ giác, như R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2 . {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}Tương đương: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}Do đó, theo định lý tứ giác của Euler, bán kính đường tròng ngoại tiếp có thể được biểu diễn theo các đường chéo p và q, và khoảng cách x giữa trung điểm các đường chéo: R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . {\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}Một công thức cho diện tích K của một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc ở dạng độ dài 4 cạnh thu được trực tiếp khi kết hợp định lý Ptoleme và công thức tính diện tích của một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc. Kết quả là K = 1 2 ( a c + b d ) . {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}Tính chất khácTrong một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc, tâm đường tròn nội tiếp trùng với điểm mà các đường chéo giao nhau. [21]
Ngược lại: Nếu tứ giác nội tiếp có tổng bình phương hai cạnh đối này bằng tổng bình phương hai cạnh đối kia tam giác đó thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.(chứng minh: định lí 4 điểm) Một tứ giác nằm trên hình cầu được tạo bởi các giao điểm của các đường tròn lớn hơn là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tổng của các góc đối diện bằng nhau, tức là α + γ = β + δ cho các góc liên tiếp α, β, γ, δ của tứ giác. Một hướng của định lý này đã được chứng minh bởi I.A.Lexell năm 1786. Lexell cho thấy rằng trong một hình tứ giác nằm trên hình cầu nội tiếp một đường tròn nhỏ của một khối cầu, tổng các góc đối nhau đều bằng nhau, và trong tứ giác ngoại tiếp, tổng các cạnh đối diện nhau đều bằng nhau. Định lý đầu tiên của các định lý này là sự tương đồng hình cầu của một định lý phẳng và định lý thứ hai là kết hợp của nó, nghĩa là kết quả của việc trao đổi các vòng tròn lớn và cực của chúng. Kiper và cộng sự đã chứng minh được định lí đảo: Nếu tổng của các cạnh đối diện bằng nhau trong một tứ giác nằm trên hình cầu, thì tồn tại một đường tròn nội tiếp của tứ giác này.
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tứ_giác_nội_tiếp&oldid=68446869” |