Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho đường thẳng \[Δ: x y + 2=0\] và hai điểm \[O[0; 0]; \, A[2; 0].\]
LG a
Tìm điểm đối xứng của \[O\] qua \[Δ\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[H[x;y]\] là hình chiếu của \[O\] trên \[Δ\], \[\overrightarrow {OH} = [x;y]\]
\[ Δ: x y + 2 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u [1;1]\]
\[\overrightarrow {OH} \bot \Delta \] \[\Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\]
Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[ - 1;1]\]
Gọi \[O\] là đỉnh đối xứng của \[O\] qua \[Δ\] thì \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OO\]
\[\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \cr&\Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2}\Leftrightarrow- 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2}\cr& \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \]
Vậy \[O[-2;2]\].
Cách khác:
Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua \[O\] và vuông góc \[\Delta \].
\[\Delta \] nhận \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 1} \right]\] làm VTPT nên nhận \[\overrightarrow u = \left[ {1;1} \right]\] làm VTCP.
\[d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow u = \left[ {1;1} \right]\] là VTPT của \[d\].
Mà \[d\] đi qua \[O\left[ {0;0} \right]\] nên \[1\left[ {x - 0} \right] + 1\left[ {y - 0} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + y = 0\]
Gọi \[H = d \cap \Delta \] thì tọa độ điểm \[H\] thỏa mãn:
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow H\left[ { - 1;1} \right]\]
\[O'\] đối xứng \[O\] qua \[\Delta \] hay \[H\] là trung điểm \[OO'\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = 2.\left[ { - 1} \right] - 0 = - 2\\{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2.1 - 0 = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow O'\left[ { - 2;2} \right]\].
LG b
Tìm điểm \[M\] trên \[Δ\] sao cho độ dài đường gấp khúc \[OMA\] ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình vẽ ta thấy,
\[A\] và \[O\] nằm cùng phía so với \[\Delta \] hay \[A,O'\] nằm khác phía so với \[\Delta \].
Gọi \[M' = AO' \cap \Delta \] thì \[OM' = O'M'\] do \[\Delta \] là đường trung trực của \[OO'\].
Với điểm \[M\] bất kì thuộc \[\Delta \] thì \[OM + AM = O'M + AM \ge O'A\]
\[ \Rightarrow {\left[ {OM + MA} \right]_{\min }} = AO'\] khi \[M \equiv M'\] là giao điểm của \[AO'\] với \[\Delta \].
\[A[2; 0]; O'[-2; 2]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {AO'} = \left[ { - 4;2} \right]\] là VTCP của \[AO'\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AO'}}} = \left[ {2;4} \right]\] là VTPT của \[AO'\]
Mà \[AO'\] đi qua \[A\left[ {2;0} \right]\] nên \[2\left[ {x - 2} \right] + 4\left[ {y - 0} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 2x + 4y - 4 = 0\] \[ \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\]
\[M = AO' \cap \Delta \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\]
Vậy \[M\left[ { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right]\]