Video hướng dẫn giải
- LG a.
- LG b.
LG a.
Cho biểu thức \[\dfrac{{xP}}{{x + P}} - \dfrac{{yP}}{{y - P}}\]. Thay \[P = \dfrac{{xy}}{{x - y}}\]vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.
Phương pháp giải:
Thay đa thức \[P\] vào biểu thức đã cho rồi áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức để rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Với\[P = \dfrac{{xy}}{{x - y}}\]
Ta có:
\[\dfrac{{xP}}{{x + P}} - \dfrac{{yP}}{{y - P}}\]
\[ = \dfrac{{x.\dfrac{{{x}y}}{{x - y}}}}{{x + \dfrac{{xy}}{{x - y}}}} - \dfrac{{y.\dfrac{{x{y}}}{{x - y}}}}{{y - \dfrac{{xy}}{{x - y}}}}\]
\[ = \dfrac{{\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{x\left[ {x - y} \right] + xy}}{{x - y}}}} - \dfrac{{\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{y\left[ {x - y} \right] - xy}}{{x - y}}}}\]
\[ = \dfrac{{\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{{x^2} - xy + xy}}{{x - y}}}} - \dfrac{{\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{xy - {y^2} - xy}}{{x - y}}}} \]
\[= \dfrac{{\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{{x - y}}}} - \dfrac{{\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{ - {y^2}}}{{x - y}}}}\]
\[ = \left[ {\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}:\dfrac{{x^2}}{{{x-y}}}} \right] - \left[ {\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}:\dfrac{{-y^2}}{{ x- {y}}}} \right]\]
\[ = \left[ {\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}.\dfrac{{x - y}}{{{x^2}}}} \right] - \left[ {\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}.\dfrac{{x - y}}{{ - {y^2}}}} \right]\]
\[ = \dfrac{{{x^2}y}}{{{x^2}}} - \dfrac{{x{y^2}}}{{ - {y^2}}} = y-[x]=y + x = x + y\]
LG b.
Cho biểu thức \[\dfrac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}}\]. Thay \[P = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}\]và \[Q = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\] vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.
Phương pháp giải:
Thay các đa thức \[P, \; Q\] vào biểu thức đã cho rồi áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức để rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Với\[P = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}\]và \[Q = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\]
Ta có:
\[\dfrac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}} = \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right]}^2}.{{\left[ {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right]}^2} - {{\left[ {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right]}^2}}}\]
\[ = \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{{2xy.2xy}}{{\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]}}} \right]}^2}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]}^2}}} - \dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]}^2}}}}}\]
\[ = \dfrac{{\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}{{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]}^2} - 4{x^2}{y^2}{{\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]} \right]}^2}}}}}\]
\[ = \dfrac{{\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}\left[ {{{\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]}^2} - {{\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]}^2}} \right]}}{{{{\left[ {\left[ {{x^2} - {y^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]} \right]}^2}}}}}\]
\[ = \dfrac{{\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}.[{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} - {x^4} + 2{x^2}{y^2} - {y^4}]}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}\]
\[ = \dfrac{{\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}.4{x^2}{y^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}{{\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}}}\]
\[ = \dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}:\dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}\]
\[ = \dfrac{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}.\dfrac{{{{\left[ {{x^4} - {y^4}} \right]}^2}}}{{{{\left[ {4{x^2}{y^2}} \right]}^2}}}= 1\]