Hay nhất
Mặt cầu [S] có tâm O[0 ; 0 ; 0] và bán kính R=1.
Giả sử phương trình mặt phẳng\[[Q]:Ax+By+Cz+D=0, [A^{2} +B^{2} +C^{2} \ne 0].\]
\[M\in [Q]\Leftrightarrow A+\frac{1}{2} B+D=0 \Leftrightarrow D=-A-\frac{1}{2} B \][1]
\[[Q]\bot [P]\Leftrightarrow 3B-2C=0 \Leftrightarrow C=\frac{3}{2} B [2]\]
[Q] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\Leftrightarrow d[O,[Q]]=1\Leftrightarrow D^{2} =A^{2} +B^{2} +C^{2}[3]\]
Thay [1] và [2] vào [3], ta có: \[3B^{2} -AB=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {B=0} \\ {A=3B} \end{array}\right.\]
Với \[B=0\Rightarrow C=0.\] Chọn \[A=1\Rightarrow D=-1.\] Ta có phương trình mặt phẳng [Q]:x-1=0
Với A=3B. Chọn \[B=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=6 } \\ {C=3 } \\ {D=-7} \end{array}\right. \]. Ta có phương trình mặt phẳng [Q]:6x+2y+3z-7=0
Vậy [Q]:x-1=0 ; [Q]:6x+2y+3z-7=0 .
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 4 = 0 và mặt phẳng [P]: x + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua điểm M[3;1;-1] vuông góc với mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt cầu [S]. A.\[[Q]:2x + y - 2z - 9 = 0\] hoặc \[[Q]:4x - 7y - 4z - 9 = 0.\] . B.\[[Q]:2x - 4y + 2z = 0\] hoặc \[[Q]:x + y - 4z - 8 = 0.\] . C.\[[Q]:2x - y - 2z - 9 = 0\] hoặc \[[Q]:4x - 7y + 4z - 9 = 0.\] D.\[[Q]:2x + y + 2z - 5 = 0\] hoặc \[[Q]:4x + 7y - 4z - 23 = 0.\]
[S] có tâm I[–1; 2; 0] và bán kính R = 3; [P] có VTPT \[{\vec n_P} = [1;0;1]\] .
PT [Q] đi qua M có dạng: \[A[x - 3] + B[y - 1] + C[z + 1] = 0,\,\,{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\] [Q] tiếp xúc với [S] \[\Rightarrow d[I,[Q]] = R \Leftrightarrow \left| { - 4A + B + C} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}\] [*].
\[[Q] \bot [P] \Rightarrow {\vec n_Q}.{\vec n_P} = 0 \Leftrightarrow A + C = 0 \Leftrightarrow C = - A\] [**]
Từ [*], [**] \[\Rightarrow \left| {B - 5A} \right| = 3\sqrt {2{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow 8{B^2} - 7{A^2} + 10AB = 0\]
\[\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 2B\\ {\mkern 1mu} 7{\rm{A}} = - 4B{\mkern 1mu} \end{array} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}\]
Với A=2B. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 suy ra PT [Q]: \[2x + y - 2z - 9 = 0\]
Với 7A=-4B. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 suy ra PT [Q]: \[4x - 7y - 4z - 9 = 0\]
Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
· Điều kiện tiếp xúc $d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R$.
· Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left[ P \right]$.
Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Lập phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ tiếp xúc $\left[ P \right]:3x+y+z-4=0$ tại điểm $M\left[ 1;-2;3 \right]$ và đi qua $A\left[ -1;0;1 \right]$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với $\left[ P \right]$ tại $M\left[ 1;-2;3 \right]$ nên $IM\bot \left[ P \right]\Rightarrow IM$ qua $M\left[ 1;-2;3 \right]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 3;1;1 \right]$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$
Gọi $I\left[ 1+3t;-2+t;3+t \right]$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left[ 3t+2 \right]}^{2}}+{{\left[ t-2 \right]}^{2}}+{{\left[ t+2 \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $I\left[ -2;-3;2 \right];R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left[ S \right]:{{\left[ x+2 \right]}^{2}}+{{\left[ y+3 \right]}^{2}}+{{\left[ z-2 \right]}^{2}}=11$.
| Bài tập 2: Lập phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ tiếp xúc $\left[ P \right]:x+2y+3z+10=0$ tại điểm $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ và đi qua $A\left[ 0;1;2 \right]$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với $\left[ P \right]$ tại $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ nên $IM\bot \left[ P \right]\Rightarrow IM$ qua $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 1;2;3 \right]$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=-3+2t \\ {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$
Gọi $I\left[ 2+t;-3+2t;-2+3t \right]$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left[ t+2 \right]}^{2}}+{{\left[ 2t-4 \right]}^{2}}+{{\left[ 3t-4 \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left[ 3;-1;1 \right];R=IA=\sqrt{14}$.
Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]:{{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=14$.
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left[ -1;2;-1 \right]$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left[ P \right]:2x-y+2z-3=0$? A. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=3$. B. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=9$. C. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=3$. D. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=9$. |
Lời giải chi tiết
Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left[ I;\left[ P \right] \right]=\frac{\left| 2.\left[ -1 \right]-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$.
Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=9$. Chọn D.
| Bài tập 4: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]:x+y+z=0$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $\left[ S \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z=0$? A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Mặt cầu có tâm $I\left[ 1;1;1 \right];\text{ }R=\sqrt{3}$.
Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left[ P \right]:x+y+z+m=0\text{ }\left[ \text{Do }\left[ P \right]//\left[ \alpha \right]\Rightarrow m\ne 0 \right]$.
Điều kiện tiếp xúc: $d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0\text{ }\left[ loai \right] \\ {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ và hai mặt phẳng $\left[ P \right]:x+2y+2z+3=0$ và $\left[ Q \right]:x+2y+2z+7=0$. Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ có $I\in d$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left[ P \right]$ và $\left[ Q \right]$ có phương trình là: A. ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{9}{4}$. B. ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. C. ${{\left[ x+3 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-3 \right]}^{2}}=\frac{9}{4}$. D. ${{\left[ x+3 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left[ t;-1;-t \right]\in d$, do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left[ P \right]$ và $\left[ Q \right]$ nên:
$d\left[ I;\left[ P \right] \right]=d\left[ I;\left[ Q \right] \right]=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left[ P \right]:2x+y-2z+2=0$. Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left[ P \right]$ và đi qua điểm $A\left[ 1;-1;1 \right]$ là: A. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. B. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=4$. C. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. D. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=4$. |
Lời giải chi tiết
Do $I\in d$ ta gọi $I\left[ 1+3t;-1+t;t \right]$ khi đó $IA=d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R$
$\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left[ 11{{t}^{2}}-2t+t \right]={{\left[ 5t+3 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0\Rightarrow R=1 \\ {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$
Do $\left[ S \right]$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left[ 1;-1;1 \right]\Rightarrow \left[ S \right]:{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$.
Chọn A.
| Bài tập 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left[ S \right]$ đi qua điểm $A\left[ 2;-2;5 \right]$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $\left[ \alpha \right]:x=1;\text{ }\left[ \beta \right]:y=-1;\text{ }\left[ \gamma \right]:z=1$. Bán kính của mặt cầu $\left[ S \right]$ bằng: A. $\sqrt{33}$. B. 1. C. $3\sqrt{2}$. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left[ a;b;c \right]$ ta có: $d\left[ I;\left[ \alpha \right] \right]=d\left[ I;\left[ \beta \right] \right]=d\left[ I;\left[ \gamma \right] \right]$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$.
Do điểm $A\left[ 2;-2;5 \right]$ thuộc miền $x>1;\text{ }y1$ nên $I\left[ a;b;c \right]$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y1$.
Khi đó $I\left[ R+1;-1-R;R+1 \right]$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left[ {{R}^{2}}-1 \right]+{{\left[ R-1 \right]}^{2}}+{{\left[ R-4 \right]}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D.