Viết phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

Thành lập hệ phương trình trạngthái từ phương trình vi phân Thành lập hệ phương trình trạngthái từ phương trình vi phân Thành lập hệ phương trình trạngthái từ phương trình vi phân Thành lập hệ phương trình trạngthái từ phương trình vi phân Thành lập hệ phương trình trạngthái từ hàm truyền và sơ đồ khối Biến đổi hàm truyền thành phương trình viphân (Lấy laplace ngược). Dùng phương pháp toạ độ pha. Đặt trực tiếp từ sơ đồ khối với số biến trạngthái đúng bằng số cực hàm truyền. Thành lập hệ phương trình trạngthái từ hàm truyền và sơ đồ khối Phương pháp toạ độ pha.

Chương 1. Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động7 trong đó:Y p là tín hiệu ra của hệ thống U p là tín hiệu vào của hệ thốngW p là hàm truyền đạt của hệ thống Định nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệthống đó biểu diễn theo biến đổi Laplace với điều kiện đầu triệt tiêu.{ } { }L y t W pL u t =1.2 vớiLlà biến đổi Laplace. Một hệ thống điều khiển tự động thường được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phânPTVP dạng tổng quát:1 11 11 11 1...n nm mn nm mn nn nd y d ydy d ud ydu aa aa y b bb b udt dtdt dtdt dt− −− −− −+ + ++ =+ + ++ …1.3 trong đó,n ma a bb ÷÷là các hệ số vàn m ≥Với điều kiện đầu triệt tiêu:1 1... ...n ny yy uu u⎧ == = =⎪ ⎨⎪ == = =⎩ 1.4Biến đổi Laplace của 1.3 ta có hàm truyền đạt của HTĐKTĐ là:1 11 11 1... ...m mm mn nn nY p b pb p bp b W pU p a pa p ap a− −− −+ + ++ == ++ + +1.51 11...n nn na p a pa p a− −+ + ++ =1.6 1.6 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng PTĐT của hệ thốngĐKTĐ. Trong biểu thức 1.5, các nghiệm của đa thức tử số được gọi là các điểm khơng zero, còncác nghiệm của đa thức mẫu số được gọi là các điểm cực pole.

1.2.1.2 Phương trình trạng thái mơ tả hệ thống

Để hiểu rõ về cách xây dựng phương trình trạng thái, ta hãy xét một mạch lọc tương tự RLC như sau:U1R LC U2iChương 1. Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động8 Từ sơ đồ này ta có các phương tr ình mô tả vào ra hệ thống như sau1 2di 1U iR Lidt 1dt C1 Uidt 2C ⎧= ++ ⎪⎪⎨ ⎪= ⎪⎩∫ ∫Ta thấy rằng các trạng thái của mạch sẽ phụ thuộc i và U2. Để xây dựng mô hình tốn ta đặt:U2= x1i = x2x1, x2được gọi là biến trạng thái, tạo ra một không gian trạng thái mô tả các trạng thái của mạch điện trên. Trong bài toán điều khiển tự động người ta quan tâm đến tốc độ biến thiên củatrạng thái:2 1, x xđạo hàm hay vi phân bậc 1 của x1, x2.1 21 12 12 12 12 12 11 12 0.. 0.1 11 11 ⎫⎧ → == ++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔⎬ ⎨− −⎪ ⎪→ = −+ =− +⎪ ⎪⎭ ⎩x xx xx UC CR Rx xx Ux xx UL LL LL LBiểu diễn dưới dạng ma trận, ta có:1 11 22 B.UX XA1 xx CU 11 Rx xL LL X AX BU⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ ⇔ =+: gọi là phương trình trạng thái mơ tả hoạt động của mạch RLC trên. Như vậy thay vì ta phải nghiên cứu từ mạch điện cụ thể, từ phương trình trạng thái, dướigóc độ tốn học ta hồn tồn có thể thể hiện tồn bộ các hoạt động của mạch điện với các kết quả tương tự như khi nghiên cứu trên mạch cụ thể.Với A, B là các ma trận trạng thái quyết định việc thay đổi các trạng thái của hệ. Ma trân A được gọi là ma trận chuyển trạng thái.Đối với các hệ thống phức tạp, ta có dạng tổng qt của phương trình trạng thái và phương trình ra là:, , , ,x f x u ty g x u t =⎧⎪ ⎨= ⎪⎩1.7 trong đó:, , x x f: là các vector n chiềuu : là các vectorrchiềuChương 1. Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động9, y g: là các vector m chiềuNếu hệ tuyến tính thì 1.7 được viết dưới dạng phương trình trạng thái dạng tổng quátmô tả một hệ thống ĐKTĐ bất kỳ như sau:x A t x B t u y C t x D t u= +⎧⎪ ⎨= +⎪⎩1.8 các hệ số của ma trận là hàm thay đổi theo thời gianNếu hệ thống tuyến tính là dừng, tức, , , A B C Dlà ma trận hằng số không đổi theo thời gian thì ta có hệ phương trình trạng thái:x Ax Bu y Cx Du= +⎧ ⎨ = +⎩1.9 trong đó:11 121 1112 121 222 2122 21 21 2... ...... ..., ...... ...... ...... ...... ......n rn rn nnn nn nra aa bb ba aa bb bA Ba aa bb b⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦11 121 1112 121 222 2122 21 21 2... ...... ..., ...... ...... ...... ...... ......n rn rm mmn mm mrc cc dd dc cc dd dC Dc cc dd d⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦Sau khi được biểu diễn bởi phương trình trạng thái như 1.8, 1.9 ta sẽ có sơ đồ cấu trúc dạng tổng quát biểu diễn như hình vẽ1.2.1.3 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt cho trước.Nếu đặc tính động học của hệ thống được mơ tả bằng PTVP dạng:Btd τ∫CA D+ ++ y tu t x tx tHình 1.2 Sơ đồ cấu trúc tổng quát theo phương trình trạng thái của hệ liên tụcChương 1. Mơ tả toán học hệ thống điều khiển tự động101 11 1...n nn nn nd y d ydy aa aa y ku dtdt dt− −−+ + ++ =1.10 vớiu là tác động đầu vào của hệ thống. Hàm truyền đạt của hệ có dạng:1 11...n nn nk W pa p a pa p a− −= ++ + +1.11 Giải phương trình 1.10, ta tìm được hàmy t , nghĩa là biết được sự thay đổi của tín hiệu ra theo thời gian khi có tác động đầu vào. Có thể chuyển 1.10 thànhn PTVP bậc nhất bằng cách thay đổi biến số:Đặt:1 12 1 12 32 11 1 11...n nn nny ydy yA y dtdy yA y dtdy yA ydt dyku A y dt− −= ⎧⎪ ⎪= −⎪ ⎪= −⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ =− ⎪⎪ ⎪= −⎪⎩Vậy ta có phương trình trạng thái mô tả hệ thống:x Ax Bu y Cx= +⎧ ⎨ =⎩với[ ]1 21 ... 0 0 ... 0, ,1 0 ... 0 ...... ... ... ...0 ... 0nA AA BC Ak −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥− ⎢⎥ ⎢ ⎥= == ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎦Hình 1.3 Sơ đồ cấu trúc hệ thốngk 1p1 nA− 1A2AnA 1p 1p 1pu1y y=2y2y1ynyny1 ny−Chương 1. Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động11 Nếu đặc tính động học của hệ thống được mơ tả bằng PTVP dạng:1 11 11 11 1...n nm mn nm mn nn nd y d ydy d ud ydu aa aa y b bb b udt dtdt dtdt dt− −− −− −+ + ++ =+ + ++ …1.12 thì hàm truyền đạt của hệ thống có dạng:1 11 11 1... ...m mm mn nn nB p B pB p BW p pA p Ap A− −− −+ + ++ =+ + ++1.13 với,i ii iB b aA a a= =.Đặt:1 12 1 12 32 1 11 1 11 1...n nn mn mny ydy yA y B udt dyy A yB u dtdy yA yB udt dyB u A y dt− −−= ⎧⎪ ⎪= −+ ⎪⎪ =− +⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ =− +⎪ ⎪⎪ =− ⎪⎩Vậy ta có phương trình trạng thái mơ tả hệ thống:x Ax Bu y Cx= +⎧ ⎨ =⎩với[ ]1 211 ... 0 0 ... 0, ,1 0 ... 0 ...... ... ... ...0 ... 0n mA BA BA BC AB −⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢⎥ ⎢⎥ == =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦Btd τ∫CA+ ++ y tu ty yHình 1.4 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệChương 1. Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động12