- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm cực trị của các hàm số sau:
LG a
\[y = x\sqrt {4 - {x^2}} \]
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D = \left[ { - 2;2} \right]\]
\[y' = \sqrt {4 - {x^2}} + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} \] \[= {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \]
\[y\left[ { - \sqrt 2 } \right] = - 2;y\left[ {\sqrt 2 } \right] = 2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x = - \sqrt 2 \]; giá trị cực tiểu \[y\left[ { - \sqrt 2 } \right] = - 2\]
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = \sqrt 2 \]; giá trị cực đại \[y\left[ {\sqrt 2 } \right] = 2\]
LG b
\[y = \sqrt {8 - {x^2}} \]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\]
\[y' = \frac{{\left[ {8 - {x^2}} \right]'}}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }}= {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }}\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\]
\[y\left[ 0 \right] = 2\sqrt 2 \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x=0\], giá trị cực đại \[y\left[ 0 \right] = 2\sqrt 2 \]
LG c
\[y = x - \sin 2x + 2\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng quy tắc 2.
TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[\,y' = 1 - 2\cos 2x\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3}\]
\[\Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\]
\[y'' = 4\sin 2x\]
* Ta có: \[y''\left[ {-{\pi \over 6} + k\pi } \right] = 4\sin \left[ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right]\] \[= 4\sin \left[ { - {\pi \over 3}} \right] = - 2\sqrt 3 < 0\]
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \[x = - {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\]
Giá trị cực đại
\[y\left[ { - {\pi \over 6} + k\pi } \right] = - {\pi \over 6} + k\pi + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\]
\[y''\left[ {{\pi \over 6} + k\pi } \right] = 4\sin \left[ { \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right]\] \[= 4\sin \left[ {{\pi \over 3}} \right] = 2\sqrt 3 > 0\].
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \[x = {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\]
Giá trị cực tiểu:
\[y\left[ {{\pi \over 6} + k\pi } \right] = {\pi \over 6} + k\pi - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\]
LG d
\[y = 3 - 2\cos x - \cos 2x\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng quy tắc 2.
\[y' = 2\sin x + 2\sin 2x \] \[= 2\sin x + 2.2\sin x\cos x\] \[= 2\sin x\left[ {1 + 2\cos x} \right];\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.\]
\[y'' = \left[ {2\sin x + 2\sin 2x} \right]'\] \[= 2\cos x + 4\cos 2x.\]
\[y''\left[ {k\pi } \right] = 2\cos k\pi + 4\cos 2k\pi \] \[= 2\cos k\pi + 4 > 0\] với mọi \[k \in {\mathbb{Z}}\]
Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \[x = k\pi \], giá trị cực tiểu:
\[y\left[ {k\pi } \right] = 3 - 2\cos k\pi - \cos 2k\pi \] \[= 2 - 2\cos k\pi \]
\[y''\left[ { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right] \] \[= 2\cos \left[ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right] \] \[+ 4\cos \left[ { \pm \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi } \right] \] \[= 2.\left[ { - \frac{1}{2}} \right] + 4.\left[ { - \frac{1}{2}} \right] = - 3< 0.\]
Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \[x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\]; giá trị cực đại:
\[y\left[ { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right] \] \[= 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\].