- LG a
- LG b
Cho hai đường tròn \[\left[ {{C_1}} \right]\]: \[{x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\] và \[\left[ {{C_2}} \right]\]: \[{x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\].
LG a
Tìm tâm và bán kính của \[\left[ {{C_1}} \right]\] và \[\left[ {{C_2}} \right]\].
Phương pháp giải:
Đường tròn \[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \].
Giải chi tiết:
\[\left[ {{C_1}} \right]\] có tâm \[{I_1}\left[ {3;0} \right]\] và bán kính \[{R_1} = 2\];
\[\left[ {{C_2}} \right]\] có tâm \[{I_2}\left[ {6;3} \right]\] và bán kính \[{R_2} = 1\].
LG b
Lập phương trình tiếp tuyến chung của \[\left[ {{C_1}} \right]\] và \[\left[ {{C_2}} \right]\].
Phương pháp giải:
Xét hai trường hợp tiếp tuyến \[\Delta \] có hệ số góc \[k\] và không có hệ số góc.
Chú ý: Đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left[ C \right]\] nếu \[d\left[ {I,\Delta } \right] = R\].
Giải chi tiết:
Xét đường thẳng \[\Delta \] có phương trình: \[y = kx + m\] hay \[kx - y + m = 0\].
Ta có: \[\Delta \] tiếp xúc với \[\left[ {{C_1}} \right]\] và \[\left[ {{C_2}} \right]\] khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}d[{I_1},\Delta ] = {R_1}\\d[{I_2},\Delta ] = {R_2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {3k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2\,\,[1]\\\dfrac{{\left| {6k - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\,\,[2]\end{array} \right.\]
Từ [1] và [2] suy ra \[\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|\].
Trường hợp 1: \[3k + m = 2[6k - 3 + m]\]\[ \Leftrightarrow m = 6 - 9k\] [3]
Thay vào [2] ta được \[\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \]\[ \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \]
\[ \Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\]\[ \Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_1} = \dfrac{{9 + \sqrt {17} }}{8}\\{k_2} = \dfrac{{9 - \sqrt {17} }}{8}\end{array} \right.\]
Thay giá trị của k vào [3] ta tính được \[\left[ \begin{array}{l}{k_1} = 6 - 9{k_1}\\{k_2} = 6 - 9{k_2}\end{array} \right.\]
Vậy ta được hai tiếp tuyến \[{\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};\]\[{\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.\]
Trường hợp 2: \[3k + m = - 2[6k - 3 + m]\]\[ \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k\]\[ \Leftrightarrow m = 2 - 5k\] [4]
Thay vào [2] ta được \[\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \]\[ \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \]
\[ \Leftrightarrow {[k - 1]^2} = {k^2} + 1\]\[ \Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1\]\[ \Leftrightarrow k = 0.\]
Thay giá trị của \[k\] vào [4] ta được \[m = 2\].
Vậy ta được tiếp tuyến \[{\Delta _3}:y = 2.\]
Xét đường thẳng \[{\Delta _4}\] vuông góc với \[Ox\] tại \[{x_0}\]:\[{\Delta _4}:x - {x_0} = 0.\]
\[{\Delta _4}\] tiếp xúc với \[\left[ {{C_1}} \right]\] và \[\left[ {{C_2}} \right]\] khi và chỉ khi
\[\left\{ \begin{array}{l}d[{I_1},{\Delta _4}] = {R_1}\\d[{I_2},{\Delta _4}] = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3 - {x_0}} \right| = 2\\\left| {6 - {x_0}} \right| = 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 5\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{x_0} = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5\]
Vậy ta được tiếp tuyến \[{\Delta _4}:x - 5 = 0\].
Vậy hai đường tròn \[\left[ {{C_1}} \right]\] và \[\left[ {{C_2}} \right]\] có bốn tiếp tuyến chung \[{\Delta _1}\], \[{\Delta _2}\], \[{\Delta _3}\]và \[{\Delta _4}\].