Bài 37 trang 119 SGK Toán 9 tập 1
|
Vị trí tương đối của hai đường tròn(tiếp theo): Đáp án và Giải bài 35 trang 122; Bài 36, 37, 38, 39, 40 trang 123 SGK Toán 9 tập 1. 35. Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O;R) và (O’;r) có OO’=d, R>r.
Điền vào ô trống ta được các kết quả như sau:
36. Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. a) Hãy xác định vịtrí tương đối của 2 đườngtròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC=CD a) Gọi O’ là tâm của đường tròn đường kính OA thì O’A=O’O. Ta có OO’=OA-O’A hay d=R-r nên đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc trong. b) Tam giác CAO có cạnh OA là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên ΔCAO vuông tại C ⇒ OC ⊥ AD ⇒ CA = CD (đường kính vuông góc với một dây). Bài 37. Cho hai đg tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC=BD.
(*) Trường hợp điểm C nằm giữa A và B. kẻ OH ⊥ CD, ta có HA = HB và HC = HD Trừ vế theo vế, ta có: HA -HC = HB -HD Suy ra AC = BD (đpcm) (**) Trường hợp điểm D nằm giữa A và B. Kẻ OH ⊥ CD, ta có: HA = HB và HC = HD Cộng vế theo vế, ta có: HA + HC = BH + HD hay AC = BD (đpcm) Phần luyện tập trang 123 Toán 9 tập 1 – Phần hình. Bài 38 trang 123. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (…) : a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3cm) nằm trên … b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;3cm) nằm trên … Đáp án: a) 2 đg tròn tiếp xúc ngoài nên d=R+r=3+1=4 (cm). Trả lời: Đường tròn (O; 4cm). b) Hai đường-tròn tiếp xúc trong nên d=R-r=3-1=2 (cm). Trả lời: Đường tròn (O;2cm). Bài 39 Toán 9. Cho -2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B∈ (O), C ∈ (O’) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. a) Chứng minh rằng ∠BAC = 900. b) Tính số đo góc OIO’. c) Tính độ dài BC, biết OA=9cm, O’A=4cm. HD: a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA = IB = IC =1/2BC Tam giác IAB cân tại I nên ∠B = ∠A1 Tam giác IAC cân tại I nên ∠B = ∠A2 Mà ∠B + ∠C + ∠A1 + ∠A2 = 1800 ⇒∠BAC = ∠A1 + ∠A2 = 900 b) Ta có ∠I2 = ∠I1 và ∠I3 = ∠I4 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó ∠I2 + ∠I3 = ∠I1 + ∠I4 = 1800/2 = 900 Vậy ∠OIO’ = 900 c) Tam giác BAC vuông tại A, có IA ⊥ OO’ Xét tam giác OIO’ vuông tại I, ta có: nên IA2 = OA.O’A = 9.4 =36 ⇒ IA = 6(cm) Dễ thấy IB = IA = IC Tam giác BAC vuông tại A có AI là trung tuyến thuộc cạnh huyền. Nên BC = 2AI. Vậy BC = 12(cm) Bài 40 trang 123. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?  Trên các hình tròn a,b hệ thống bánh răng chuyển động được * Giải thích: Chúng ta biết rằng. Nếu 2 đường tròn tiếpxúc ngoài thì hau bánh xe quay theo chiều khác nhau ( một bánh e quay theo chiều kim đồng hồ thì bánh xe kia quay ngược chiều kim đồng hồ). Nếu hai đườngtròn tiếpxúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC=BD.. Bài 37 trang 123 sgk Toán 9 – tập 1 – Bài 7+8. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC=BD. Vẽ \(OM\perp AB\). Quảng cáoTheo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta được \(MA=MB\) và \(MC=MD.\) Từ đó suy ra \(AC=BD.\) Nhận xét. Kết luận bài toán vẫn được giữ nguyên nếu C và D đổi chỗ cho nhau.
Bài 37 trang 94 SGK Toán 9 tập 1 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó. b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nắm trên đường nào? Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có: 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25 = 7,52 = 56,25 ∆ABC có AB2 + AC2 = BC2 (=56,25) nên vuông tại A. \(\eqalign{& tgB = {{AC} \over {AB}} = {{4,5} \over 6} = 0,75 \Rightarrow \widehat B \approx {37^0} \cr & \widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {53^0} \cr} \) ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao nên: AH.BC = AB.AC \( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{4,5.6} \over {7,5}} = 3,6(cm)\) b) SMBC = SABC ⇒ M cách BC một khoảng bằng AH. Do đó M nằm trên hai đường thẳng song song cách BC một khoảng bằng 3,6 cm Bài 38 trang 95 SGK Toán 9 tập 1 Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn làm bài:
\(\widehat {IKB} = {50^0} + {15^0} = {65^0}\) ∆IBK vuông tại I nên IB = IK. tgIKB = 380 . tg65° ≈ 814,9 (cm) ∆IAK vuông tại I nên IA = IK. tgIKA = 380 . tg50° ≈ 452,9 (cm) Khoảng cách giữa hai thuyền là: AB = IB – IA ≈ 362 (m) Bài 39 trang 95 SGK Toán 9 tập 1 Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn làm bài: Khoảng cách giữa hai cọc là: \({{20} \over {\cos {{50}^0}}} - {5 \over {\sin {{50}^0}}} \approx 31,12 - 6,53 \approx 24,59(m)\) Giaibaitap.me Page 2
Bài 40 trang 95 SGK Toán 9 tập 1 Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề - xi – mét)
Hướng dẫn làm bài:
Chiều cao của cây là: 1,7 + 30tg35° ≈ 1,7 + 21 = 22,7 (cm) Bài 41 trang 96 SGK Toán 9 tập 1 Tam giác ABC vuông tại C có AC = 2cm, BC = 5cm, \(\widehat {BAC} = x,\widehat {ABC} = y$\). Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm x – y: sin 23°36’ ≈ 0,4; cos66°24’ ≈ 0,4; tg21°48’ ≈ 0,4
Hướng dẫn làm bài: \(tgy = {2 \over 5} = 0,4\) nên y ≈ 21°48’ Do đó: x = 90° - y ≈ 68°12’ Vậy: x – y ≈ 68°12’ - 21°48’ ≈ 46°24’ Bài 42 trang 96 SGK Toán 9 tập 1 Bài 42. Ở một cái thang dài \(3m\) người ta ghi: “ Để đảm bảo an toàn khi dùng thang phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^0\) đến \(70^0\)”. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn. Giải
\(AC = AB \cos C = 3\cos60^0 = 1,5 (m)\) \(A'C’ = A'B'\cos C’ = 3\cos70^0 ≈ 1,03 (m)\) Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ \(1,03m\) đến \(1,5m\) để đảm bảo an toàn. Bài 43 trang 96 SGK Toán 9 tập 1 Đố:
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ-ra—tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chi vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau: 1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (Nay gọi là Át –xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng. 2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-săng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25cm có bóng trên mặt đất dài 3,1m Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” Trái Đất. (Trên hình 5, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trung cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB) Hướng dẫn làm bài:
Bóng của tháp vuông góc với tháp: ∆ABC vuông tại A. Ta có: \(\eqalign{ & tgC = {{AB} \over {AC}} = {{3,1} \over {25}} \approx 0,124 \cr & \Rightarrow \widehat C = {7^0} \cr}\) Các tia sáng được coi là song song với nhau nên \(\widehat O = {7^0}\) Chu vi của Trái Đất là: \(800.{{360} \over 7} \approx 41143(km)\) Giaibaitap.me Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Bài 26 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết \(OB=2cm, OA=4cm\). Giải: a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên \(AB=AC\) và \(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\). Suy ra \(OA\perp BC\) (tính chất của tam giác cân). b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \(\widehat{CBD}=90^{\circ}\). Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC). c) Nối OB thì \(OB\perp AB.\) Xét tam giác AOB vuông tại B có: \(\sin \widehat {{A_1}} = {{OB} \over {OA}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}.\) Tam giác ABC cân, có một góc \(60^{\circ}\) nên là tam giác đều. Ta có \(AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\) Vậy \(AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\). Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng \(60^{\circ}\). Bài 27 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1 Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn O, nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB. Hướng dẫn giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có; \(AB=AC; \,\,DB=DM;\,\,EC=EM.\) Chu vi \(\Delta ADE=AD + DM + ME + AE\) \(= AD + DB + EC + AE\) \(= AB + AC = 2AB\) Bài 28 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1 Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào? Giải:
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\widehat {xAO} = \widehat {y{\rm{A}}O}\) Hay AO là tia phân giác của góc xAy. Vậy tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc(xAy). Bài 29 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1 Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay. Giải:
Phân tích Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nên tâm O nằm trên tia phân giác Am của góc xAy. Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B nên tâm O nằm trên đường thẳng \(d\perp Ax\) tại B. Vậy O là giao điểm của tia Am với đường thẳng d. Cách dựng - Dựng tia phân giác Am của góc xAy. - Qua B dựng đường thẳng \(d\perp Ax\), cắt tia Am tại O. - Dựng đường tròn (O;OB), đó là đường tròn phải dựng. Chứng minh Vì \(OB\perp Ax\) tại B nên đường tròn (O;OB) tiếp xúc với Ax tại B. Vì O nằm trên tia phân giác của góc xAy nên O cách đều hai cạnh của góc xAy. Do đó đường tròn (O;OB) tiếp xúc với Ay. Biện luận. Bài toán luôn có một nghiệm hình. Giaibaitap.me Page 13
Page 14
Page 15
Bài 35 trang 122 sgk Toán 9 - tập 1 Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O;R) và (O';r) có \(OO'=d,\,\, R>r\)
Giải:
Bài 38 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 38. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...) : a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3cm) nằm trên ... b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;3cm) nằm trên ... Giải: a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên \(d=R+r=3+1=4 (cm).\) Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3cm) nằm trên đường tròn (O; 4cm). b) Hai đường tròn tiếp xúc trong nên \(d=R-r=3-1=2 (cm).\) Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;3cm) nằm trên đường tròn (O;2cm). Bài 39 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 39. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\). b) Tính số đo góc OIO'. c) Tính độ dài BC, biết \(OA=9cm, O'A=4cm.\) Giải: a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(IA=IB=IC=\frac{1}{2}BC\). Do đó tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}\). b) Ta có \(\widehat{I}_{1}=\widehat{I}_{2};\widehat{I}_{3}=\widehat{I}_{4}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \(\widehat{OIO'}=90^{\circ}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù). c) Ta có \(AI\perp OO'\). Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có: \(IA^{2}=OA\cdot O'A=9\cdot 4=36\Rightarrow IA=6.\) Do đó \(BC=12cm.\) Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi. Bài 40 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 40. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được? Hướng dẫn giải: Trong hệ thống các bánh xe răng cưa thì hai bánh xe răng cưa tiếp xúc ngoài bao giờ cũng chuyển động ngược chiều nhau, hai bánh răng cưa tiếp xúc trong bao giờ cũng chuyển động cùng chiều nhau. Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình a), hình b) chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở hình c) không chuyển động được. Giaibaitap.me Page 16
Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K). b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\) d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường trong (I) và (K) e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất. Hướng dẫn làm bài:
a) \(OI = OB – IB\) nên (I) tiếp xúc trong với (O) \(OK = OC – KC\) nên (K) tiêó xúc trong với (O) \(IK = IH + KH\) nên (I) tiếp xúc ngoài với (K) b) \(\widehat {BEH} = 90°\) (E thuộc đường tròn đường kính BH) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\) Tương tự có \(\widehat {AFH} = {90^0};\widehat {BAC} = {90^0}\) Tứ giác AEHF có \(\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật. c) ∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \(AH^2 = AE. AB\) ∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \(AH^2 = AF. AC\) Do đó \(AE. AB = AF. AC\) d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \(ME = MF = MH = MA\) Xét ∆MEI và ∆MHI có: \(ME = MH, IE = IH (=R)\), MI (cạnh chung) Do đó \(∆MEI = ∆MHI\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\) mà \(\widehat {MHI} = {90^0}\) nên \(\widehat {MEI} = {90^0}\) ⇒ EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K) e) Ta có \(EF = AH\) mà \(AH ≤ AO = R\) Do đó \(EF ≤ R\), không đổi. Dấu “=” xảy ra \(⇔ H ≡ O\) Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) ME.MO = MF.MO’ c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC. d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’. Hướng dẫn làm bài:
a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt). Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\) \(∆MAB\) cân tại \(M (MA = MB)\) Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\) Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {MFA} = 90^0\) \(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\) b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\) Tương tự, ta có: \(MF. MO’ = MA^2\) Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\) c) Ta có \(MA = MB = MC\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A. Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (\(∆MOO’\) vuông tại M) Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.\) Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC. Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\) Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\) Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A). a) Chứng minh rằng AC = AD. b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB Hướng dẫn làm bài:
a) Vẽ OM ⊥ CD tại M, O’N ⊥CD tại N, ta có: \(MA = MC = {{AC} \over 2};\) \(NA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\) Mặt khác, ta có \(OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD\) \(⇒ OM // IA //O’N.\) Hình thang OMNO’ (OM //O’N) có \(IA // OM; IO = IO’\) nên \(MA = NA.\) Do vậy \(AC = AD\) b) (O) và (O’) cắt nhau tại A, B ⇒ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB \(⇒ IA = IB\) Mặt khác \(IA = IK\) ( vì K đối xứng với A qua I) Do đó: \(IA = IB = IK\) Ta có ∆KBA có BI là đường trung tuyến và \(BI = {{AK} \over 2}\) nên ∆KBA vuông tại B \(⇒ KB ⊥ AB\) Giaibaitap.me Page 17
Bài 1 trang 7 sgk toán 9 tập 2 1. Trong các cặp số \((-2; 1)\), \((0;2)\), \((-1; 0)\), \((1,5; 3)\) và \((4; -3)\), cặp số nào là nghiệm của phương trình: a) \(5x + 4y = 8\) ? b) \(3x + 5y = -3\) ? Giải: a) Thay từng cặp số đã cho vào phương trình \(5x + 4y = 8\), ta được: +) \(5(-2) + 4 . 1 = -10 + 4 = -6 ≠ 8\) nên cặp số \((-2; 1)\) không là nghiệm của phương trình. +) \(5 . 0 + 4 . 2 = 8\) nên cặp số \((0; 2)\) là nghiệm của phương trình. +) \(5 . (-1) + 4 . 0 = -5 ≠ 8\) nên \((-1; 0)\) không là nghiệm của phương trình. +) \(5 . 1,5 + 4 . 3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8\) nên \((1,5; 3)\) không là nghiệm của phương trình. +) \(5 . 4 + 4 . (-3) = 20 -12 = 8\) nên \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình. Vậy có hai cặp số \((0; 2)\) và \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình \(5x + 4y = 8\). b)Thay từng cặp số đã cho vào phương trình \(3x + 5y = -3\) ta được: +) \(3 . (-2) + 5 . 1 = -6 + 5 = -1 ≠ -3\) nên \((-2; 1)\) không là nghiệm của phương trình. +) \(3 . 0 + 5 . 2 = 10 ≠ -3\) nên \((0; 2)\) không là nghiệm của phương trình. +) \(3 . (-1) + 5 . 0 = -3\) nên (-1; 0) là nghiệm của phương trình. +) \(3 . 1,5 + 5 . 3 = 4,5 + 15 = 19,5 ≠ -3\) nên \((1,5; 3)\) không là nghiệm của phương trình. +) \(3 . 4 + 5 . (-3) = 12 - 15 = -3\) nên \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình. Vậy có hai cặp số \((-1; 0)\) và \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình \(3x + 5y = -3\). Bài 2 trang 7 sgk Toán 9 tập 2 2. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó: a) \(3x - y = 2\); b)\( x + 5y = 3\); c) \(4x - 3y = -1\); d) \(x +5y = 0\); e) \(4x + 0y = -2\); f) \(0x + 2y = 5\). Bài giải: a) Ta có phương trình \(3x - y = 2 \) (1) (1) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = 3x - 2 & & \end{matrix}\right.\) Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \((x;3x-2)\) * Vẽ đưởng thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(y = 3x - 2\) : Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 2\) ta được \(A(0; -2)\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\) ta được \(B(\frac{2}{3}; 0)\). Biểu diễn cặp số \(A(0; -2)\) và \(B(\frac{2}{3}; 0)\) trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình \(3x - y = 2\). b)Ta có phương trình \(x + 5y = 3\) (2) (2) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -5y + 3 & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\) Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là (-5y + 3; y). * Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(x=-5y+3\) : +) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {3 \over 5}\) ta được \(A\left( {0;{3 \over 5}} \right)\). +) Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 3\) ta được \(B\left( {3;0} \right)\). Biểu diễn cặp số \(A\left( {0;{3 \over 5}} \right)\), \(B\left( {3;0} \right)\) trên hệ trục toa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình. c) Ta có phương trình \(4x - 3y = -1\) (3) (3) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}& & \end{matrix}\right.\) Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \(\left( {x;{4 \over 3}x + {1 \over 3}} \right)\). * Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(4x-3y=-1\) +) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over 3}\) ta được \(A\left( {0;{1 \over 3}} \right)\) +) Cho \(y = 0 \Rightarrow x = -{{ 1} \over 4}\) ta được \(B\left( {-{1 \over 4};0} \right)\) Biểu diễn cặp số \(A (0; \frac{1}{3})\) và \(B (-\frac{1}{4}\); 0) trên hệ tọa độ và đường thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình \(4x-3y=-1\). d)Ta có phương trình \(x + 5y = 0\) (4) (4) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -5y & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\) Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \((-5y;y)\). * Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(x+5y=0\) +) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0\) ta được \(O\left( {0;0} \right)\) +) Cho \(y = 1 \Rightarrow x = -5\) ta được \(A\left( {-5;1}\right)\). Biểu diễn cặp số \(O (0; 0)\) và \(A (-5; 1)\) trên hệ tọa độ và đường thẳng OA chính là tập nghiệm của phương trình \(x+5y=0\). e) Ta có phương trình \(4x + 0y = -2\) (5) (5) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -\frac{1}{2} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\) Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: \(\left( - {1 \over 2} ;y \right)\) Tập nghiệm là đường thẳng \(x = -\frac{1}{2}\), qua \(A (-\frac{1}{2}; 0)\) và song song với trục tung. f) 0x + 2y = 5 (6) (6) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.\) Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là \(\left( {x;{5 \over 2}} \right)\) Tập nghiệm là đường thẳng \(y = {5 \over 2}\) qua \(A\left( {0;{5 \over 2}} \right)\) và song song với trục hoành. Bài 3 trang 7 sgk Toán 9 tập 2 3. Cho hai phương trình x + 2y = 4 và x - y = 1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào. Bài giải: * Vẽ đường thẳng \(x + 2y = 4\). - Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) ta được \(A(0;2)\). - Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\) ta được \(B(4;0)\). Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng đi qua A, B. * Vẽ đường thẳng \(x - y = 1\). - Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 1\) ta được C(0; -1). - Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1\) ta được D(1; 0). Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng đi qua C, D. * Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là (2; 1). Ta có (2; 1) cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho. Giaibaitap.me Page 18
Bài 4 trang 11 sgk Toán 9 tập 2 4. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\); d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \frac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -2x + 3 & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\) Ta có \(a = -2, a' = 3\) nên \(a ≠ a'\) \(\Rightarrow\) Hai đường thẳng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất). b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\) Ta có \(a = -\frac{1}{2}, a' = -\frac{1}{2}\), \(b = 3, b' = 1\) nên \(a = a', b ≠ b'\). \( \Rightarrow \) Hai đường thẳng song song. Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường khác nhau và có cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau). c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{3}{2}x & & \\ y = \frac{2}{3}x & & \end{matrix}\right.\) Ta có \(a = -\frac{3}{2}, a' = \frac{2}{3}\) nên \(a ≠ a'\) \( \Rightarrow \) Hai đường thẳng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có một nghiêm. d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \frac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ \frac{1}{3}y = x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ y = 3x - 3 & & \end{matrix}\right.\) Ta có \(a = 3, a' = 3\); \(b = -3, b' = -3\) nên \(a = a', b = b'\). \(\Rightarrow\) Hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ trùng nhau). Bài 5 trang 11 sgk Toán 9 tập 2 5. Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học: a) \( \left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right. \) b) \( \left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right. \) Bài giải: a) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right.\) Vẽ (d1): \(2x - y = 1\) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = -1\), ta được \(A(0; -1)\). Cho \(y = 1 \Rightarrow x = 1\), ta được \(B(1; 1)\). Vẽ (d2): \(x - 2y = -1\) Cho \(x = -1 \Rightarrow y = 0\), ta được \(C (-1; 0)\). Cho \(y = 2 \Rightarrow x = 3\), ta được \(D = (3; 2)\). Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ \(M( 1, 1)\). Thay \(x = 1, y = 1\) vào các phương trình của hệ ta được: \(2 . 1 - 1 = 1\) (thỏa mãn) \(1 - 2 . 1 = -1\) (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có một nghiệm \((x; y) = (1; 1)\). b) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right.\) Vẽ (d1): \(2x + y = 4\) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 4\), ta được \(A(0; 4)\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\), ta được \(B(2; 0)\). Vẽ (d2): \(-x + y = 1\) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1\), ta được \(C(0; 1)\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = -1\), ta được \(D(-1; 0)\). Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ \(N(1;2)\). Thay \(x = 1, y = 2\) vào các phương trình của hệ ta được: \(2 . 1 + 2 = 4\) và \(-1 + 2 = 1\) (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có một nghiệm \((x; y) = (1; 2)\). Bài 6 trang 11 sgk Toán 9 tập 2 6. Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau. Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị). Bài giải: Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng Φ. Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} y = x & & \\ y = x & & \end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix} y = -x & & \\ y = -x & & \end{matrix}\right.\) đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diện bởi đường thẳng y = -x. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm). Bài 7 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 7. Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\). a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên. b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng. Bài giải: a) \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}-{1 \over 2} y{\rm{ }} + {\rm{ }}2\). Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau: \(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = - 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{x = - {1 \over 2}y + 2 \hfill \cr y \in R \hfill \cr} \right.\) \(3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y = - {3 \over 2}x + {5 \over 2}\). Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau: \(\left\{ \matrix{ x \in R\hfill \cr y = - {3 \over 2}x + {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\) b) Vẽ (d1): \(2x + y = 4\) - Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 4\) được \(A(0; 4)\). - Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) được \(B(2; 0)\). Vẽ (d2): \(3x + 2y = 5\) - Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {5 \over 2}\) ,ta được \(M\left( {0;{5 \over 2}} \right)\). - Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {5 \over 3}\) ,ta được \(N \left( {{5 \over 3};0} \right)\). Hai đường thẳng cắt nhau tại \(D(3; -2)\). Thay \(x = 3, y = -2\) vào từng phương trình ta được: \(2 . 3 + (-2) = 4\) và \(3 . 3 + 2 . (-2) = 5\) (thỏa mãn) Vậy (x = 3; y = -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho. Giaibaitap.me Page 19
Bài 8 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 8. Cho các hệ phương trình sau: \(a)\left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr 2x - y = 3 \hfill \cr} \right.\) \(b)\left\{ \matrix{ x + 3y = 2 \hfill \cr 2y = 4 \hfill \cr} \right.\) Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình. Bài giải: \(a)\left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr 2x - y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 2x - 3 \hfill \cr} \right.\) Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng \(x = 2\) song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng \(y = 2x - 3\) cắt hai trục tọa độ. Vẽ (d1): \(x = 2\) Vẽ (d2 ): \(2x - y = 3\) - Cho \(x = 0 \Rightarrow y = -3\) ta được \(A(0; -3)\). - Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {3 \over 2}\) ta được \(B\left( {{3 \over 2};0} \right)\). Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại \(N(2; 1)\). Thay \(x = 2, y = 1\) vào phương trình \(2x - y = 3\) ta được \(2 . 2 - 1 = 3\) (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm \((2; 1)\). \(b)\left\{ \matrix{ x + 3y = 2 \hfill \cr 2y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = - {1 \over 3}x + {2 \over 3} \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\) Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng \(y = - {1 \over 3}x + {2 \over 3}\) cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng \(y = 2\) song song với trục hoành. Vẽ (d1): \(x + 3y = 2\) - Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {2 \over 3}\) ta được \(A\left( {0;{2 \over 3}} \right)\) . - Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) ta được \(B(2; 0)\). Vẽ (d2): \(y = 2\) Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại \(M(-4; 2)\). Thay \(x = -4, y = 2\) vào phương trình \(x + 3y = 2\) ta được \(-4 + 3 . 2 = 2\) (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm \((-4; 2)\). Bài 9 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 9. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: a) \(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -x + 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -x + 2 & & \\ y = -x + \frac{2}{3} & & \end{matrix}\right.\) Ta có: \(a = -1, a' = -1\), \(b = 2, b' = \frac{2}{3}\) nên \(a = a', b ≠ b'\) \(\Rightarrow\) Hai đường thẳng song song nhau. Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. b) \(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2y = 3x - 1 & & \\ 4y = 6x& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} & & \\ y = \frac{3}{2}x& & \end{matrix}\right.\) Ta có: \(a = \frac{3}{2}, a' = \frac{3}{2}\), \(b = -\frac{1}{2}, b' = 0\) nên \(a = a', b ≠b'\). \(\Rightarrow\) Hai đường thẳng song song với nhau. Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. Bài 10 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 10. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: a) \(\left\{\begin{matrix} 4x - 4y = 2 & & \\ -2x + 2y = -1 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3} & & \\ x -3y = 2 & & \end{matrix}\right.\). Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} 4x - 4y = 2 & & \\ -2x + 2y = -1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4y = 4x - 2 & & \\ 2y = 2x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = x - \frac{1}{2}& & \\ y = x - \frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.\) Ta có: \(a = a' = 1, b = b' = - \frac{1}{2}\). \(\Rightarrow\) Hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ là trùng nhau. b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3} & & \\ x -3y = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} & & \\ 3y = x - 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} & & \\ y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} & & \end{matrix}\right.\) Ta có \(a = a' = \frac{1}{3}\), \(b = b' = -\frac{2}{3}\) nên hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Bài 11 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 11. Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó ? Vì sao ? Bài giải: Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thể kết luận hệ phương trình có vô số nghiệm, vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau. Giaibaitap.me Page 20
Bài 12 trang 15 sgk Toán 9 tập 2 12.Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Từ phương trình \(x - y = 3 \Rightarrow x = 3 + y\). Thay \(x = 3 + y\) vào phương trình \(3x - 4y = 2\) ta được: \(3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2\) \(⇔ -y = -7 ⇔ y = 7\) Thay \(y = 7\) vào \(x = 3 + y\) ta được \(x = 3 + 7 = 10\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \((10; 7)\). b) Từ phương trình \(4x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 4x\). Thay \(y = 2 - 4x\) vào phương trình \( 7x - 3y = 5\) ta được: \(7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5\) \(⇔ 19x = 11 ⇔ x = \frac{11}{19}\) Thay \(x = \frac{11}{19}\) vào \(y = 2 - 4x\) ta được \(y = 2 - 4 . \frac{11}{19} = 2 - \frac{44}{19}= -\frac{6}{19}\) Hệ phương trình có nghiệm (\(\frac{11}{19}\); -\(\frac{6}{19}\)) c) Từ phương trình \(x + 3y = -2 \Rightarrow x = -2 - 3y\). Thay \(x=-2-3y\) vào phương trình \(5x - 4y = 11\) ta được: \(5(-2 - 3y) - 4y = 11⇔ -10 - 15y - 4y = 11\) \(⇔ -19y = 21 ⇔ y = -\frac{21}{19}\) Thay \(y=-\frac{21}{19}\) vào \(x=-2-3y\) ta được \(x = -2 -3(-\frac{21}{19}) = -2 + \frac{63}{19} = \frac{25}{19}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm (\(\frac{25}{19}\); -\(\frac{21}{19}\)). Bài 13 trang 15 sgk Toán 9 tập 2 13. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Từ phương trình thứ nhất ta có \( y = \frac{3x - 11}{2}\). Thế vào phương trình thứ hai ta được: \(4x - 5.\frac{3x - 11}{2} = 3 ⇔4x-\frac{15}{2}+\frac{55}{2}=3\) \(\Leftrightarrow -\frac{7x}{2}=-\frac{49}{2}⇔ x = 7\). Thay \(x=7\) vào \(y = \frac{3x - 11}{2}\) ta được \(y = 5\). Nghiệm của hệ phương trình đã cho là \((7; 5)\) b) Từ phương trình thứ nhất ta có: \(x = \frac{2y +6}{3}\). Thế vào phương trình thứ hai ta được: \(5 . \frac{2y +6}{3} - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = \frac{3}{2}\) Thay \(y = \frac{3}{2}\) vào \(x = \frac{2y +6}{3}\) ta được: \(x = \frac{2 . \frac{3}{2}+ 6}{3}\) = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm \((3; \frac{3}{2})\). Bài 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2 14. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế: a) \(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = -y\sqrt{5}\). Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được: \(-y\sqrt{5} . \sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}\) ⇔ \(-2y = 1 - \sqrt{5}\) ⇔ \(y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\) Thay \(y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\) vào \(x = -y\sqrt{5}\) ta được \(x =-\frac{\sqrt{5}- 1}{2} .\sqrt{5} = \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm: \((x, y)\) = \((\frac{-5+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+ \sqrt{5}}{2})\) b) Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\). Thế vào y trong phương trình thứ nhất ta được: \((2 - \sqrt{3})x - 3.(4 - 2\sqrt{3} - 4x) = 2 + 5\sqrt{3}\) ⇔ \((14 - \sqrt{3})x = 14 - \sqrt{3}\) ⇔ \(x = 1\) Thay \(x=1\) vào \(y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\) ta được \(y = 4 - 2\sqrt{3} - 4 . 1 = -2\sqrt{3}\). Vậy hệ phương trình có nghiệm: \((x; y) = (1; -2\sqrt{3})\) Bài 15 trang 15 sgk Toán 9 tập 2 15. Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(a = -1\); b) \(a = 0\); c) \(a = 1\). Bài giải: a) Khi \(a = -1\), ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\) Hệ phương trình vô nghiệm (Do hai đường thẳng song song với nhau). b) Khi \(a = 0\), ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 6y = 0 & & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = 1 - 3y\). Thế vào \(x\) trong phương trình thứ hai, ta được: \(1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -\frac{1}{3}\) Thay \(y = -\frac{1}{3}\) vào \(x = 1 - 3y\) ta được \(x = 1 - 3(-\frac{1}{3}) = 2\) Hệ phương trình có nghiệm \((x; y) = (2; -\frac{1}{3})\). c) Khi \(a = 1\), ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 1 -3y& & \\ y \in R& & \end{matrix}\right.\) Hệ phương trình có vô số nghiệm. Giaibaitap.me Page 21
Bài 16 trang 16 sgk Toán 9 tập 2 16. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế. a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (1) ⇔ \(y = 3x - 5 \) (3) Thế (3) vào phương trình (2): \(5x + 2(3x - 5) = 23\) \(⇔ 5x + 6x - 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3\) Từ đó \(y = 3 . 3 - 5 = 4\). Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (3; 4)\). b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(y = 2x + 8 \) (3) Thế (3) vào (1) ta được: \(3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1\) \(⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3\) Từ đó \(y = 2(-3) + 8 = 2\). Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (-3; 2)\). c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)
Thế (3) vào (2): \(\frac{2}{3}y + y = 10 ⇔ \frac{5}{3}y = 10\) \(⇔ y = 6\). Từ đó \(x = \frac{2}{3} . 6 = 4\). Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (4; 6)\). Bài 17 trang 16 sgk Toán 9 tập 2 17. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế. a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\) c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: Từ phương trình (2) ⇔ \(x = \sqrt{2} - y\sqrt{3}\) (3) Thế (3) vào (1): \(( \sqrt{2} - y\sqrt{3})\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1\) \(⇔\sqrt{3}y(\sqrt{2} + 1) = 1\) \(⇔ y = \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\) Từ đó \(x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}. \sqrt{3} = 1\). Vậy có nghiệm \((x; y) = (1; \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\)) b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(y = 1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}\) (3) Thế (3) vào (1): \(x - 2\sqrt{2}(1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}) = \sqrt{5}\) ⇔ \(5x = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} ⇔ x = \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\) Từ đó \(y = 1 - \sqrt{10} - (\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}). \sqrt{2} = \frac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\) Vậy hệ có nghiệm \((x; y)\) = \((\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\frac{1 - 2\sqrt{10}}{5})\); c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(x = 1 - (\sqrt{2} + 1)y\) (3) Thế (3) vào (1):\( (\sqrt{2} - 1)[1 - (\sqrt{2} + 1)y] - y = \sqrt{2} ⇔ -2y = 1\) \(⇔ y = -\frac{1}{2}\) Từ đó \(x = 1 - (\sqrt{2} + 1)(-\frac{1}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\) Vậy hệ có nghiệm \((x; y)\) = (\(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\); -\(\frac{1}{2}\)) Bài 18 trang 16 sgk Toán 9 tập 2 18. a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\) Có nghiệm là \((1; -2)\) b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2} - 1; \sqrt{2})\). Bài giải: a) Hệ phương trình có nghiệm là \((1; -2)\) khi và chỉ khi: \(\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4& & \end{matrix}\right.\) b) Hệ phương trình có nghiệm là \((√2 - 1; √2)\) khi và chỉ khi: \(\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \frac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.\) Bài 19 trang 16 sgk Toán 9 tập 2 19. Biết rằng: Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\). Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\): \(P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\) Bài giải: \(P(x)\) chia hết cho \(x + 1\) \( ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0\) \(⇔-7-n=0\) (1) \(P(x)\) chia hết cho \(x - 3\) \(⇔P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\) \( ⇔36m-13n=3\) (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n. \(\left\{\begin{matrix} -7 - n = 0& & \\ 36m - 13n = 3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = 3 + 13(-7)& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = -88& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \frac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\) Giaibaitap.me Page 22
Bài 20 trang 19 sgk Toán 9 tập 2 20. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số. a) \(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.\); d) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.\); e) \(\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 5x =10 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2x-7& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = -3& & \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 8y = 8& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =\frac{3}{2} & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.\) c) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 4x + 2y =8& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =3 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.\) d) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix} 6x - 9y = -6 & & \\ 6x - 4y = -6& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 6x - 9y = -6 & & \\ -5y = 0& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x = -1 & & \\ y = 0 & & \end{matrix}\right.\) e) \(\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 1,5x - 2y = 1,5 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 4,5y = 13,5 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x =15 -2, 5 . 3& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x =7,5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix} x =5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.\) Bài 21 trang 19 sgk Toán 9 tập 2 21. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số. a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} - 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}y& & \\ y = \frac{-1- \sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{8}& & \\ y = -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\) b) Nhân phương trình thứ nhất với \(\sqrt{2}\) rồi cộng từng vế hai phương trình ta được: \(5x\sqrt{6} + x\sqrt{6} = 6 ⇔ x = \frac{1}{\sqrt{6}}\) Từ đó hệ đã cho tương đương với \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{6}} & & \\ x\sqrt{6} - y\sqrt{2} = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{6}} & & \\ y = -\frac{1}{\sqrt{2}} & & \end{matrix}\right.\) Bài 22 trang 19 sgk Toán 9 tập 2 22. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: a) \(\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -15x + 6y = 12& & \\ 12x - 6y =-14 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -3x = -2& & \\ -15x + 6y = 12& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}& & \\ 6y = 12 + 15 . \frac{2}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}& & \\ 6y = 22& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}& & \\ y = \frac{11}{3}& & \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ -4x + 6y = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 4x - 6y = -5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 0x - 0y = 27& & \end{matrix}\right.\) Hệ phương trình vô nghiệm. c) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ 3x - 2y = 3 . \frac{10}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ 3x - 2y = 10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R& & \\ 2y = 3x - 10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R& & \\ y = \frac{3}{2}x - 5& & \end{matrix}\right.\) Hệ phương trình có vô số nghiệm. Bài 23 trang 19 sgk Toán 9 tập 2 23. Giải hệ phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2}x)+ (1 - \sqrt{2})y = 5& & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: Ta có: \(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2}x)+ (1 - \sqrt{2})y = 5& & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3& & \end{matrix}\right.\) Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) ta được: \((1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 2\) \(⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2 ⇔ -2y\sqrt{2} = 2\) \(⇔ y = \frac{-2}{2\sqrt{2}} ⇔ y = \frac{-1}{\sqrt{2}}⇔ y = \frac{-\sqrt{2}}{2}\) (3) Thay (3) vào (1) ta được: \(⇔ (1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})(\frac{-\sqrt{2}}{2}) = 5\) \(⇔ (1 + \sqrt{2})x + (\frac{-\sqrt{2}}{2}) + 1 = 5\) \(⇔ (1 + \sqrt{2})x = \frac{8 + \sqrt{2}}{2} ⇔ x = \frac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}\) \(⇔ x = \frac{(8 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}{2(1 - 2)}⇔ x = \frac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{-2}\) \(⇔ x = -\frac{6 - 7\sqrt{2}}{2} ⇔ x = \frac{-6 + 7\sqrt{2}}{2}\) Hệ có nghiệm là: \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{-6 + 7\sqrt{2}}{2} & & \\ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} & & \end{matrix}\right.\) Nghiệm gần đúng (chính xác đến ba chữ số thập phân) là: \(\left\{\begin{matrix} x \approx 1,950 & & \\ y \approx -0,707 & & \end{matrix}\right.\) Giaibaitap.me Page 23
Bài 24 trang 19 sgk toán 9 tập 2 24. Giải hệ các phương trình: a) \(\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Đặt \(x + y = u\), \(x - y = v\), ta có hệ phương trình (ẩn u, v): \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ u + 2v = 5& & \end{matrix}\right.\) nên \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ u + 2v = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ 2u + 4v = 10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ -v = -6& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u = 4- 3 . 6 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} u = -7 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\) Suy ra hệ đã cho tương đương với: \(\left\{\begin{matrix} x+ y = -7 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x = -1 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x =-\frac{1}{2} & & \\ y = -\frac{13}{2}& & \end{matrix}\right.\) b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:\(\left\{\begin{matrix} 2(x-2)+3(1+y)=-2 & & \\ 3(x - 2)- 2(1+ y) = -3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x-4+3+3y=-2 & & \\ 3x - 6- 2-2 y = -3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1 & & \\ 3x-2 y = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 6x-4 y = 10& & \end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 13y = -13& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x=-3 - 9y & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x=6 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\) Bài 25 trang 19 sgk Toán 9 tập 2 25. Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0: \(P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)\). Bài giải: Ta có \(P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)\) Nếu \(P(x) = 0 ⇔\) \(\left\{\begin{matrix} 3m - 5n +1 = 0 & & \\ 4m - n -10=0& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 20m - 5n =50& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -17m = -51 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ -n = 10 - 4.3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ n = 2& & \end{matrix}\right.\) Bài 26 trang 19 sgk Toán 9 tập 2 26. Xác định a và b để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: a) \(A(2; -2)\) và \(B(-1; 3)\); b) \(A(-4; -2)\) và \(B(2; 1)\); c) \(A(3; -1)\) và \(B(-3; 2)\); d) \(A(\sqrt{3}; 2)\) và \(B(0; 2)\). Bài giải: a) Vì \(A(2; -2)\) thuộc đồ thì nên \(2a + b = -2\). Vì \(B(-1; 3)\) thuộc đồ thì nên \(-a + b = 3\). Ta có hệ phương trình ẩn là a và b. \(\left\{\begin{matrix} 2a + b = -2 & & \\ -a + b = 3& & \end{matrix}\right.\). Từ đó \(\left\{\begin{matrix} a = -\frac{5}{3} & & \\ b = \frac{4}{3}& & \end{matrix}\right.\) b) Vì \(A(-4; -2)\) thuộc đồ thị nên \(-4a + b = -2\). Vì \(B(2; 1)\) thuộc đồ thị nên \(2a + b = 1\). Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: \(\left\{\begin{matrix} -4a + b = -2 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -6a = -3 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \frac{1}{2} & & \\ b = 0& & \end{matrix}\right.\) c) Vì \(A(3; -1)\) thuộc đồ thị nên \(3a + b = -1\) Vì \(B(-3; 2)\) thuộc đồ thị nên \(-3a + b = 2\). Ta có hệ phương trình ẩn a, b: \(\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ -3a + b = 2& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ 2b = 1& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = -\frac{1}{2} & & \\ b = \frac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\) d) Vì \(A(\sqrt{3}; 2)\) thuộc đồ thị nên \(\sqrt{3}a + b = 2\). Vì \(B(0; 2)\) thuộc đồ thị nên \(0 . a + b = 2\). Ta có hệ phương trình ẩn là a, b. \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ 0. a + b = 2& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = 0 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right.\) Bài 27 trang 20 sgk Toán 9 tập 2 27. Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải: a) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1& & \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.\). Hướng dẫn. Đặt u = \(\frac{1}{x}\), v = \(\frac{1}{y}\); b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y -1} = 2 & & \\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.\) Hướng dẫn. Đặt u = \(\frac{1}{x - 2}\), v = \(\frac{1}{y - 1}\). Bài giải: a) Điền kiện \(x ≠ 0, y ≠ 0\). Đặt \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) ta được hệ phương trình ẩn u, v: \(\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.\) (1) ⇔ \(u = 1 + v\) (3) Thế (3) vào (2): \(3(1 + v) +4v = 5\) \(⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v = \frac{2}{7}\) Từ đó \(u = 1 + v = 1 + \frac{2}{7}\) = \(\frac{9}{7}\). Suy ra hệ đã cho tương đương với: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} = \frac{9}{7}& & \\ \frac{1}{y} = \frac{2}{7}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{7}{9}& & \\ y = \frac{7}{2}& & \end{matrix}\right.\) b) Điều kiện \(x - 2 ≠ 0, y - 1 ≠ 0\) hay \( x ≠ 2, y ≠ 1\). Đặt \(u = \frac{1}{x -2}\), \(v = \frac{1}{y -1}\) ta được hệ đã cho tương đương với: \(\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.\) (1) \(⇔ v = 2 - u\) (3) Thế (3) vào (2): \(2u - 3(2 - u) = 1\) ⇔ \(2u - 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u = \frac{7}{5}\) Từ đó \(v = 2 - \frac{7}{5}\) = \(\frac{3}{5}\). Suy ra hệ đã cho tương đương với: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x -2} = \frac{7}{5}& & \\ \frac{1}{y -1} = \frac{3}{5}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x -2 = \frac{5}{7}& & \\ y - 1 = \frac{5}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{5}{7}+ 2& & \\ y = \frac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{19}{7}& & \\ y = \frac{8}{3}& & \end{matrix}\right.\) Giaibaitap.me Page 24
Bài 28 trang 22 sgk Toán 9 tập 2 28. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124. Bài giải: Gọi số lơn là \(x\), số nhỏ là \(y\). (Điều kiện: \(x,y \ne 0\) ) Theo giả thiết tổng hai số bằng 1006 nên: \(x + y = 1006\) Số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 nên ta được \(x = 2y + 124\) Điều kiện y > 124. Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x + y = 1006& & \\ x = 2y + 124& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + y = 1006& & \\ x -2y = 124& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + y = 1006& & \\ 3y = 882& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 1006 - 294& & \\ y = 294& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 712& & \\ y = 294& & \end{matrix}\right.\) Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294. Bài 29 trang 22 sgk Toán 9 tập 2 29. Giải bài toán cổ sau: Đem chia cho một trăm người cùng vui. Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng ngọt lành. Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ? Bài giải: Gọi số cam là \(x\), số quýt là \(y\). Điều kiện \(x, y\) là số nguyên dương. Quýt ,cam mười bảy quả tươi nên \(x+y=17\) Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh Trăm người , trăm miếng ngọt lành. Do đó ta có: \(10x+3y=100\) Từ đó ta có hệ: \(\left\{\begin{matrix} x + y =17& & \\ 10x + 3 y =100& & \end{matrix}\right.\) (1) ⇔\( y = 17 - x\) (3) Thế (3) vào (2): \(10x + 3(17 - x) = 100\) \(⇔ 10x + 51 - 3x = 100 ⇔ 7x = 49 ⇔ x = 7\) Từ đó \(y = 17 - 7 = 10\) Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt. Bài 30 trang 22 sgk Toán 9 tập 2 30. Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với quy định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A. Bài giải: Gọi \(x \) (km) là độ dài quãng đường AB, \(y\) (giờ) là thời gian dự định đi để đến B đúng lúc 12 giờ trưa. Điều kiện \(x > 0, y > 1\) (do ôtô đến B sớm hơn 1 giờ). Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là: \(\frac{x}{35}= y + 2\). Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là: \(\frac{x}{50} = y - 1\). Ta có hệ phương trình: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x \over {35}} = y + 2 \hfill \cr {x \over {50}} = y - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 35(y + 2) \hfill \cr x = 50(y - 1) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 35(y + 2) = 50(y - 1) \hfill \cr x = 35(y + 2) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 35y + 70 = 50y - 50 \hfill \cr x = 35(y + 2) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 15y = 120 \hfill \cr x = 35(y + 2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 8 \hfill \cr x = 35.(8 + 2) = 350 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy quãng đường AB là 350km. Thời điểm xuất phát của ô tô tại A là: 12 - 8 = 4 giờ. Giaibaitap.me Page 25
Bài 31 trang 23 sgk Toán 9 tập 2 31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2 Bài giải: Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm2 nên ta được: \(\frac{(x + 3)(y + 3)}{2}= \frac{xy}{2} + 36\) Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm2 nên ta được: \(\frac{(x - 2)(y- 4)}{2} = \frac{xy}{2} - 26\) Ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \hfill \cr xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 3y = 63 \hfill \cr 4x + 2y = 60 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 6x + 6y = 126 \hfill \cr 12x + 6y = 180 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6x = - 54 \hfill \cr 6x + 6y = 126 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 9 \hfill \cr y = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm. Bài 32 trang 23 sgk Toán 9 tập 2 32. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ? Bài giải: Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > 0)\). \(y\) (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > 0)\). Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể. Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau \(4\frac{4}{5}\) giờ = \(\frac{24}{5}\) giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\frac{5}{24}\) bể. Ta được: \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{24}\) (1) Trong 9 giờ cả vòi một chảy được \(\frac{9}{x}\) bể. Trong \(\frac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\frac{6}{5}\)( \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\)) bể. Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ thì đầy bể nên ta có: \(\frac{9}{x}+\frac{6}{5}(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y})=1\) \( \Leftrightarrow {{51} \over x} + {6 \over y} = 5\) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ {1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {24}} \hfill \cr {{51} \over x} + {6 \over y} = 5 \hfill \cr} \right.\) Giải hệ ta được: \(x=12,y=8\) Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy. Bài 33 trang 24 sgk Toán 9 tập 2 33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Bài giải: Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(x\) giờ, người thứ hai trong \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai \(\frac{1}{y}\) công việc, cả hai người cùng làm chung thì được \(\frac{1}{16}\) công việc. Ta được \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{16}\). Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \(\frac{3}{x}\) công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được \(\frac{6}{y}\) công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay \(\frac{1}{4}\) công việc. Ta được \(\frac{3}{x}\) + \(\frac{6}{y}\) = \(\frac{1}{4}\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} & & \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\). Giải ra ta được \(x = 24, y = 48\). Vậy người thứ nhất 24 giờ, người thứ hai 48 giờ. Giaibaitap.me Page 26
Bài 34 trang 24 sgk Toán 9 tập 2 34. Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng:Nếu tăng 8 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ? Bài giải: Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta được: \((x + 8)(y - 3) = xy - 54 \Leftrightarrow - 3x + 8y = - 30\) Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng 32 cây, nên ta được: \((x - 4)(y + 2) = xy + 32 \Leftrightarrow 2x-4y=40\) Ta được hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -3x+8y= -30 & & \\ 2x-4y= 40& & \end{matrix}\right.\) Giải ra ta được: \(x = 50, y = 15\) Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 . 15 = 750 (cây) Bài 35 trang 24 sgk Toán 9 tập 2 35. (Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ? Bài giải: Gọi \(x\) (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên. Gọi \(y\) (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng. Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi nên ta có: \(9x+8y=107\) Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi nên ta có: \(7x+7y=91\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 9x + 8y =107 & & \\ 7x + 7y = 91& & \end{matrix}\right.\) Giải ra ta được \(x = 3, y = 10\). Vậy, thanh yên 3 rupi/quả; táo rừng 10 rupi/quả. Bài 36 trang 24 sgk Toán 9 tập 2 36. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được (đánh dấu *):
Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó. Bài giải: Gọi số thứ nhất bị mờ là \(x\), số thứ hai bị mờ là \(y\). Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Số lần bắn là 100 nên ta có: \(25+42+x+15+y=100\) Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có: \(10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 25 + 42 + x + 15 + y = 100 & & \\ 10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69& & \end{matrix}\right.\) hay \(\left\{\begin{matrix} x + y = 18 & & \\ 8.x + 6.y = 136& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 14 & & \\ y = 4& & \end{matrix}\right.\) Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4. Giaibaitap.me |
