Bài tập chi tiết về thể tích và khoang cách năm 2024

Thể tích khối đa diện là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Thể tích khối đa diện. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

9. NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.

1. Hình lăng trụ đứng

• Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.
• 1. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỰC HAY) I. Ý tưởng: Ta có một hình chóp S.ABC việc tính thể tích của khối chóp này được thực hiện rất dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABC)), ta cần tính khoảng cách từ C đến (SAB) tức tìm chiều cao CE. Vì thể của hình chóp là không thay đổi dù ta có xem điểm nào đó (S, A, B, C) là đỉnh vì vậy nếu ta biết diện tích tam giác SAB thì khoảng cách cần tìm đó CE = . Có thể gọi là dùng thể tích 2 lần. * Chú ý: Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ công thức tính diện tích của tam giác SABC = √ ( )( )( ) với p là nửa chu vi và a, b, c là kích thước của 3 cạnh. II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ̂ = 300 ; SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến (SAB). Giải Gọi E là trung điểm của BC khi đó SE (ABC) và SE = √
• 2. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 Ta có BC = a AB = √ ; AC = vì vậy thể tích của khối chóp là VSABC = . √ . . √ = Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích SAB Ta có AB = √ SB = a; SA = √ = √( √ ) ( ) = a Áp dụng công thức Heron ta được SSAB = √ ( )( )( ) ; (p = √ )= √ a2 Vậy d(C;(SAB) = = √ Nhận xét: Với cách tính trên khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đều ra đẹp. So với cách tính bằng tọa độ hóa thì cách tính này đơn giản hơn rất nhiều về tính toán và trình bày chỉ khó ở khâu tính diện tích (nhưng máy tính đã đảm nhận), so với cách lùi về E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ) với học sinh trung bình yếu có thể nói đây là lựa chọn tốt nhất.
• 3. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SCD). Giải Gọi E là trung điểm của AB khi đó SE (ABC) và SE = √ Vì vậy thể tích khối chóp cần tính là VSABCD = . √ . a2 = √ Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SCD), ta quan sát khối chóp S.ACD có thể tích là VSACD = . √ . a2 . = √ . Vì vậy để tính được khoảng cách ta cần có diện tích của tam giác SCD. Ta có CD = a; SD = SC = √ √ = a√ Áp dụng công thức Heron ta được SSCD = √ ( )( )( ) ; (p = √ √ )= √ a2 Vì vậy d(A, SCD) = = √ a
• 4. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SD = ; hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD). Giải Gọi E là trung điểm của AB khi đó SE (ABC), dùng định lý Pitago ta tính được SB = a Từ đó VSABCD = a3 Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SBD) ta quan sát hình chóp S.ADB có thể tích là . .a3 . a = a3 vậy nên nếu ta tìm được diện tích tam giác SBD bài toán sẽ được giải quyết. Ta có BD = a√ ; SD = ; SB = √ a. Áp dụng công thức Heron ta được: SSBD = √ ( )( )( ) ; (p = √ √ )= a2
• 5. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 Vậy d(A,(SBD) = = ⁄ ⁄ = Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến (ACC’A’) Giải Gọi E là trung điểm AB khi đó A’E (ABC), 600 = (A’C,(ABC)) = ̂ Ta có CE = √ ( đường cao trong tam giác đều) Vì vậy A’E = tan600 CE = suy ra VABC.A’B’C’ = . √ = √ Ta cần tính khoảng cách từ B đến (ACC’A) tức từ B đến (AA’C), ta quan sát khối chóp A’ABC có thể tích là VA’.ABC = √ = √ vì vậy ta cần tìm diện tích A’AC (để dùng thể tích 2 lần) Ta có AC = a; AA’ = √( ) ( ) = √ A’C = = a√ . Áp dụng công thức heron ta được:
• 6. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 SA’AC = √( )( )( ) ; (p = √ √ ) = √ a2 Vậy d(B, ACC’A’) = d(B,(A’AC) = = √ a Qua bốn ví dụ ta thấy được việc áp dụng cách tích thể tích 2 lần tỏ ra rất hiệu quả vì nó không cần suy nghĩ quá nhiều (vì vậy người viết không khuyến khích các bạn khá giỏi làm theo cách này trừ khi bí). Trước khi ta xét mức độ áp dụng của phương pháp với các đề thi thử năm nay (2015) cũng như các đề thi cũ, ta sẽ mở rộng cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau khi mà đoạn vuông góc chung rất khó tìm. Các ví dụ khi áp dụng cách tính thể tích 2 lần: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2 HB. Góc giữa đường SC và (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Giải
• 7. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 Ta có 600 = ( )̂ = ̂ mà CH = √( ) ( √ ) = √ Nên ta được SH = tan 600 . CH = √ Do đó thể tích khối chóp là VS.ABC = . √ . √ = √ Dựng hình bình hành ABCD (điều này cũng rất tự nhiên vì đây là cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau), khi đó d(SA, BC) = d(B; (SAD)). Ta quan sát khối chóp S.ABD khối chóp này có thể tích bằng với thể tích của khối chóp S.ABC tức VS.ABD = √ vì vậy để tính d(B;(SAD)) ta cần tính diện tích SAD Ta có AD = a; SA = √ = ; DH2 = AD2 + AH2 = 2AD.AH.cos1200 = do đó SD = √ Áp dụng công thức Heron ta được SSAD = √ ( )( )( ) ;( p = √ )= √ a2 Vậy d(B;(SAD)) = = √
• 8. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = BC =a. Cạnh bên AA’ = a√ . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa AM và B’C Giải Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân tại B. vì vậy thể tích khối lăng trụ là VABC.A’B’C’ = a√ . . a2 = √ a3 Gọi D là trung điểm BB’ khi đó d(AM; B’C) = d(C;(ADM)) = d (C;(ADM)) = d(B;(ADM)) Ta quan sát khối chóp D.ABM khối chóp này có thể tích là VD.ABM = . √ . a . = √ vậy nên để tính khoảng cách từ B đến (ADM) ta chỉ cần tính diện tích ADM Ta có AD = √( √ ) = √ ; DM = √( √ ) ( ) = √ AM = √ ( ) = √ Do đó diện tích SAMD = √ ( )( )( ) ; (p = √ √ √ )= √ a2
• 9. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9 Vậy d(AM;B’C) = d(B;(ADM)) = = √ Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt ở các phương pháp thì bài toán khoảng cách này trở nên khá dễ và có thể có nhiều lời giải hay. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho BI = 2AI. Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AD và SC. Giải Gọi E CD; CE = 2ED dễ dàng chứng minh được 600 = (( ) ( ))̂ = ̂ từ đó ta tính được SI = tan 600 .EI = a√ Vì vậy thể tích VS.ABCD = . a√ . a2 = √ Ta thấy AD// BC vì vậy d(AD; SC) = d(AD;(SBC))= d(D;(SBC)) Ta quan sát khối chop S.BCD có thể tích là VS.BCD = . a√ . = √ Vì vậy để tìm khoảng cách d(D;(SBC)) ta cần tìm diện tích tam giác SBC Ta có BC = a; SB = √( ) ( √ ) = √ SC = √ = √ Do đó SSBC = √ ( )( )( ) ; (p = √ √ ) √ a2 Vậy d(AD;SC) = d(D;(SBC)) = √ a IV. Vận dụng phương pháp vào các đề thi thử 2015 Bài tập 1: (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu – Đồng Tháp) Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; AB = 3a; BC = 5a; mặt phẳng (SAC) vuông góc
• 10. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 với mặt phẳng (ABC). Biết SA = 2√ a và ̂ = 300 . Tính theo a thể tích của khối chop S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). Giải Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ S xuống BC dễ hấy SE (ABC). Do đó SE = SA.sin300 = a√ hơn nữa AC = √ = 4a Vậy thể tích VSABC = a√ . 3a.4a = 2√ a3 Để tính khoảng cách từ A đến (SBC) ta cần tính diện tích SBC Ta có BC = 5a; SB = √ = √ = √ a SC = √ = 2a, do đó diện tích SBC là SSBC = √ ( )( )( ) ;(p= √ ) = √ a2 Vậy d(A;(SBC)) = √ a Bài tập 2 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AC = a√ . BC = 3a; ̂ = 300 . Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Mặt phẳng (A’BC) (ABC). Điểm H thuộc BC, BC = 3 BH và mặt
• 11. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 phẳng (A’AH) (ABC). Tính theo a thể tích khối lăng truh ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến (A’AC). Giải Ta có { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) A’H ( ) khi đó góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy (ABC) là ̂ tức ̂ = 600 . Ta lại có AH = √ = a Do đó A’H = AH tan 600 = a√ Thể tích khối lăng trụ là VABC.A’B’C’ = a√ ( 3a√ a.sin300 ) = Ta quan sát khối chop A’ABC khối chop này có thể tích là VA’ABC = VABC.A’B’C’ = Vậy nên để tính khoảng cách từ B đến (A’AC) ta cần tìm diện tích của A’AC Ta có AC = a√ ; A’A = = 2a; A’C = √( ) ( √ ) = a√ Diện tích A’AC là
• 12. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 SA’AC = √ ( )( )( ) ; (p= √ √ )= a3 √ Vậy d (B;(A’AC)) = = √ a Ví dụ 3 (Chuyên ĐH Vinh lần 3) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ̂ = 1200 ; A’A = . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng (ABB’A’). Giải Gọi E = AC BD, ta có A’E (ABCD) và A’E = √ = 2√ a Do đó thể tích của khối hộp là V = A’E. . AC.BD = 2√ a. . a. √ a = 3a3 Ta có d(D’;(ABB’A’)) = d(C;(ABB’A’) ta quan sát khối chóp A’ABC, khối chóp này có thể tích là VA’ABC = VABCD.A’B’C’D’ = ta cần tính diện tích tam giác A’AB Ta có AB = a; A’A = ; A’B = √ = √ ; Diện tích tam giác A’AB là SA’AB = √ ( )( )( ) ; (p = √ ) = √
• 13. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 Vậy d(D’;(ABB’A’)) = d(C;(ABB’A’)) = √ Bài tập 4: (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I có AB = a; BC = a√ . Gọi H là trung điểm của AI. Biết SH (ABCD), tam giác SAC vuông tại S. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD). Giải Ta có SE = AC = a vì vậy SH = √ ( ) √ Thể tích VSABCD = . √ . a. √ = Ta quan sát khối chóp S.BCD có thể tích là VS.BCD = VS.ABCD = nên ta chỉ cần tính diện tích tam giác SBD Ta có BD =2a; SB = √ √( √ ) ( √ ) √ SD = √ √( √ ) ( √ ) √ Do đó diện tích tam giác SBD là
• 14. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 SSBD = √ ( )( )( ) ; (p= √ √ ) = √ Vậy d(C;(SBD)) = √ Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt đáy (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC; góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC’. Giải Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB; BC Dễ thấy 600 = (( ) ( )̂ = ̂ do đó A’O = tan600 . DO = Vậy VABC.A’B’C’ = . √ √ Ta có d(AB;CC’) = d(CC’;(A’AB)) = d(C;(A’AB)) Ta quan sát khối chóp A’ABC khối chóp này có thể tích là VA’ABC = VABC.A’B’C’ = √ vậy nên nhiệm vụ cuối cùng của ta là tính được diện tích tam giác A”AB Ta có AB = a; A’A = A’B = √ √ nên diện tích A’AB là
• 15. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 SA’AB = √ ( )( )( ) ; (p= √ √ ) = √ Vậy d(AB;CC’) = d(C;(A’AB) = = Bài toán 6 (Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC //AD) Biết đường cao SH = a với H là trung điểm AD; AB = BC = CD = a; AD = 2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD Giải Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SH.SABCD = . a. √ a2 = √ a3 Ta có d(SB;AD) = d(AD;(SBC)) = d(A;(SBC)) Ta quan sát khối chóp S.ABC khối chóp này có thể tích là VS.ABC = SH.SABC = . a. √ a = √ (đường cao hạ từ A xuống BC là √ ) vậy nên ta chỉ cần tính diện tích của tam giác SBC Ta có BC = a; SC = SB = √ = a√ do đó diện tích tam giác SBC là SSBC = √ ( )( )( ) ; (p= √ √ ) = √ Vậy d(SB;AD) = d(A;(SBC)) = = √
• 16. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 V. Bài tập đề nghị: 1,( Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC; BC = a√ ; ̂ = 1200 . Gọi I là trung điểm cạnh AB, hình chiếu của S lên mặt đáy là trung điểm H của CI. Góc giữa SA và mặt phẳng đáy là 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến (SBC) Đáp số: VS.ABC = √ ; d = √ 2, (Đề minh họa của BGD-ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AC = 2a; ̂ = 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt (ABC) trùng với trung điểm của AC; SH = a√ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến (SAB) Đáp số: VS.ABC = √ ; d = √ 3. (Chuyên Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; SC = a√ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến (SAD). Đáp số: VS.ABC = √ ; d = √ 4. (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu – Đồng Tháp lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a√ ; ̂ = 1200 và cạnh bên SA (ABCD). Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 600 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa BD và SC Đáp số: VS.ABCD = √ a3 ; d = √ 5, (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC =a; ̂ = 1200 . Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc 600 . Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (AB’C) Đáp số: VABC.A’B’C’ = a3 ; d = √
• 17. trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 6. (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh AB = 6a và góc ̂ = 300 . Góc giữa mặt phẳng (C’AB) và mặt đáy là 600 . Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AB Đáp số: VABC.A’B’C’ = √ a3 ; d = 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; A’C = a√ ; AC = 2a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là tâm của mặt bên ABB’A’. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng IM và A’C 8. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật; BA = a; AD = a√ . Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) Đáp số: VABC.A’B’C’ = ; d = √ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân; AB = BC = 2a. hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông với mặt đáy (ABC). M là trung điểm của AB , mặt phẳng đi qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Góc giữa (SBC) và (ABC) là 600 . Tính theo a thể tịch của S. BCNM và khoảng cách giữa AB và SN Đáp số: VS.ABC = √ a3 ; d = √ a 10. (Chuyện KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a; ̂ = 450 . AA’ = √ √ ; O; O’ lần lượt là tâm của ABCD và A’B’C’D’. Tính theo a a. Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ b. Khoảng cách từ C đến (A’BD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO’ và B’O Đáp số: VABCD.A’B’C’D’ = √ √ ; d(C;(A’BD)) = √ ; d(AO;BO) = √ √ √