Bài tập phương trình tách biếnvà phương pháp euler năm 2024

– Thông thường, ta nên tìm cách biến đổi phương trình về dạng (1) và phân tích f(x,y) ở vế phải để biết dạng. Đa số, các phương trình đều có thể đưa được về 1 trong 6 dạng sau: phân ly biến số, đẳng cấp (thuần nhất), phương trình đưa về pt đẳng cấp được, pt tuyến tính, pt Bernoulli và pt vi phân toàn phần.

– Nếu từ (1) ta không đưa pt về 1 trong 6 dạng trên được thì thử nghịch đảo phương trình (2) đưa phương trình về dạng x là hàm số theo biến y. Nghĩa là: thì sẽ tìm được cách giải.

1. Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu):

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm ptvp: thỏa mãn điều kiện đầu:

Nghĩa là: tìm đường cong y = y(x) đi qua điểm (x0;y0) và thỏa mãn pt (1)

2. Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm):

Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền mở , thì với mọi điểm , bài toán Cauchy (1), (2) có nghiệm xác định trong 1 lân cận của x0. Ngoài ra, nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D thì nghiệm đó là duy nhất.

(ta công nhận định lý này, vì việc chứng minh vượt quá những kiến thức chúng ta được trang bị)

3. Nghiệm tổng quát:

Nghiệm tổng quát của pt (1) là hàm số , phụ thuộc biến x, và hằng số C, và thỏa mãn các điều kiện:

1. Nghiệm đúng ptvp với mọi giá trị cụ thể của C.

2. Với bất kỳ điều kiện đầu ta cũng có thể tìm được sao cho hàm số thỏa mãn điều kiện đầu

– Trong quá trình tìm nghiệm: nếu ta đi đến biểu thức (*) mà không giải được đối với y thì y là hàm ẩn theo x, C xác định bởi pt (*) và (*) được gọi là tích phân tổng quát.

– Các nghiệm của phương trình không suy ra được từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.

4. Phương trình phân ly biến số (tách biến)

Là phương trình có dạng:

(hoặc )

Nghĩa là: ở vế phải ta gom được x đứng riêng và y đứng riêng (hoặc M(x) chỉ là hàm theo 1 biến số x và N(y) chỉ là hàm theo 1 biến số y)

4.1 Cách giải:

Ta biến đổi như sau:

Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta được nghiệm tổng quát:

4.2 Ví dụ:

1. Giải phương trình:

Chuyển phương trình về dạng (1) ta có:

Vậy: x tách riêng, và y tách riêng nên đây là phương trình tách biến.

Khi đó ta có:

Ở đây do 2 vế đều có chứa ln nên thay vì ta chọn hằng số C thì ta chọn hằng số là lnC để dễ dàng rút gọn

Vậy nghiệm phương trình:

Hay:

2. Giải phương trình

Ta có: (phương trình tách biến)

Do đó:

Suy ra:

Bài này, ta cần xét thêm trường hợp tgy = 0.

3. Ví dụ tự giải:

4.3 Nhận xét:

Phương trình dạng có thể đưa về phương trình tách biến bằng cách đổi qua ẩn hàm mới

Thật vậy, ta có:

Vậy vế phải là biểu thức chỉ phụ thuộc z. Nghĩa là z tách riêng và x tách riêng nên nó là phương trình tách biến.