Bài tập toán 10 nâng cao trang 109 năm 2024
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Show
Hướng dẫn giải:Các mệnh đề đúng là: a); b); d). Mệnh đề sai là: c). Bài 37 trang 109 SGK Hình học 10 nâng caoTìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau:
Hướng dẫn giải:Câu a:Ta có: \(a = 3;b = 2;c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {13} \) Tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\) Các đỉnh A1(−3;0), A2(3;0) Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 4 Phương trình tiệm cận của hypebol: \(y = \pm \frac{2}{3}x\) Câu b:Ta có: \(a = 3;b = 4;c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\) Tiêu điểm F1(−5;0), F2(5;0) Các đỉnh A1(−3;0), A2(3;0) Độ dài trục thực: 2a = 6, độ dài trục ảo: 2b = 8 Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \(y = \pm \frac{4}{3}x\) Câu c:Ta có: \({x^2} - 9{y^2} = 9 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - {y^2} = 1\) \(a = 3;b = 1;c = \sqrt {10} \) Tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {10} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {10} ;0} \right)\) Các đỉnh: A1(−3;0), A2(3;0) Độ dài trục thực: 2a = 6, độ dài trục ảo 2b = 2 Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \(y = \pm \frac{1}{3}x\) Bài 38 trang 109 SGK Hình học 10 nâng caoCho đường tròn (C) tâm F1, bán kính R và một điểm F2 ở ngoài (C). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua F2, tiếp xúc với (C) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó. Hướng dẫn giải:Gọi M là tâm đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) Ta có: |MF1−MF2| = R = 2a Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có \(a = \frac{R}{2},c = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2}\) \( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = \frac{{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}}}{4}\) Phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} }}{2}} \right)}^2}}} = 1\). Bài 39 trang 109 SGK Hình học 10 nâng caoViết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau
Hướng dẫn giải:Câu a:Ta có: \(c = 5,a = 4 \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 9\) Vậy (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Câu b:Ta có: \(c = \sqrt 3 ;\frac{b}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow b = \frac{{2a}}{3}\) \(\begin{array}{l} {c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + \frac{{4{a^2}}}{9} = 3\\ \Rightarrow {a^2} = \frac{{27}}{{13}},{b^2} = 3 - \frac{{27}}{{13}} = \frac{{12}}{{13}} \end{array}\) Vậy (H): \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{{27}}{{13}}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{12}}{{13}}}} = 1\) Câu c:Ta có: \(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow {c^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\,\,\left( 1 \right)\) Giả sử: \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) Vì \(M\left( {\sqrt {10} ;6} \right) \in \left( H \right)\) nên \(\frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 10{b^2} - 36{a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,\left( 2 \right)\) Thay (1) vào (2) ta được: \(40{a^2} - 36{a^2} = {a^2}.4{a^2} \Rightarrow {a^2} = 1,{b^2} = 4\) Vậy (H): \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 nâng caoChứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi. Hướng dẫn giải:Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) Phương trình tiệm cận của (H) là \({d_1}:y = \frac{b}{a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\) \({d_2}:y = - \frac{b}{a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\) Gọi M(x0;y0) ∈ (H) ta có \(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} - \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\) Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = \frac{{\left| {b{x_0} - a{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\frac{{\left| {b{x_0} + a{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) \( = \frac{{\left| {{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2} \right|}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) không đổi Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 nâng caoTrong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right),{F_2}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\). Chứng minh rằng với mỗi điểm M(x, y) nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\), ta đều có \(M{F_1}^2 = {\left( {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)^2};M{F_2}^2 = {\left( {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)^2}\) |