Nếu ước chung lớn nhất của $a$ và $n$ thì $a^{\phi{n}} \equiv 1 \mod n$ trong đó $\phi[n]$ là số các số nguyên tố cùng nhau với $n$
Vì $1,3,7$ và $9$ nguyên tố cùng nhau đối với $10$ và $\gcd[3,10] = 1$ nên chúng ta biết $\phi[10] = 4$ và $3^4 \equiv 1 \mod 10
Vì $33 = 3*10 + 3$ $33^n = [30 + 3]^n = 10*something + 3^n$ sẽ có cùng chữ số cuối cùng. Nhưng $\gcd[33,10] = 1$ nên $3^4 \equiv 1 \mod 10$. Và mọi thứ đều giống nhau
Điều khó hơn là hai chữ số cuối cùng của $33^{1006}$. $\gcd[33,100] =1$ nên $33^{\phi[100]} \equiv 1 \mod 100$. Nhưng $\phi[100]$ là gì?
Có một định lý rằng $\phi[p] = p-1$ và $\phi[p^k] = p^{k-1}[p-1]$ và sau đó $\phi[mn] = \ . Vì vậy, có các số $40$ nhỏ hơn $100$ nguyên tố cùng nhau đến $100$
và $33^{40} \equiv 1 \mod 100$ nên $33^{1006 = 40*25 +6} \equiv 33^6 \mod 100 \equiv 30^2 + 2*3*30 + 3^2 \equiv . Hai chữ số cuối cùng là $89$
$$b \pmod{25} =$$ $$[2023 \pmod{25}]^{2024\pmod{20}} \pmod{25}$$ $$=[-2]^4 \pmod{25 . $$
GỢI Ý 2. $a \pmod 8 = 0$. Thật vậy, nếu bạn lấy một số chẵn [chẳng hạn như $2022$] và nâng nó lên lũy thừa thứ $k$, thì số đó là bội số của $2^k$, và do đó là bội số của $2^j$ cho mỗi số nguyên $ . Tôi nghĩ rằng $k=2023^{2024}$ ít nhất là $3$ và do đó $2022^k$ là bội số của $8$
Nếu có những số tận cùng bằng 0 và có lũy thừa rất lớn thì chữ số tận cùng của lũy thừa đó sẽ luôn là 0
Ví dụ
[m0]x= 0, trong đó m là một số có chữ số bất kỳ và x là lũy thừa của một chữ số bất kỳ
[120] 123=> chữ số cuối cùng = 0
[100230]345 => chữ số cuối = 0
Tương tự, [8904550]2356=> chữ số cuối cùng= 0
Bởi vì bất kỳ lũy thừa nào của số không luôn làm cho nó bằng không
Do đó, chu kỳ của số không là một
Chu kỳ của 1
Chúng tôi biết rằng, nếu chúng tôi lấy bất kỳ lũy thừa nào của 1 thì câu trả lời sẽ luôn là một
Do đó, chu kỳ của 1 cũng là một
Và bất kỳ số có chữ số nào kết thúc bằng một với bất kỳ lũy thừa chữ số nào thì chữ số cuối cùng của lũy thừa luôn là một
Ví dụ
[m1]x=> chữ số cuối cùng = 1
Trong đó, m là một số có chữ số bất kỳ và x là lũy thừa của một chữ số bất kỳ
[12341]123=> chữ số cuối = 1
[8902341]3=> chữ số cuối cùng= 1
[89991]234=> chữ số cuối cùng= 1
Do đó, bất kỳ số nào có chữ số kết thúc bằng 1 và có bất kỳ lũy thừa nào thì chữ số cuối cùng của câu trả lời của nó sẽ luôn là 1
Chu kỳ của 5
Biết rằng nếu ta nhân 5 với 5 nhiều lần thì ta có chữ số tận cùng luôn là 5
Do đó, chu kỳ của 5 cũng là một
Số có chữ số bất kỳ kết thúc bằng 5 và có lũy thừa chữ số bất kỳ thì chữ số cuối cùng của đáp án luôn là 5
Ví dụ
[m5]x => chữ số cuối cùng=5
Trong đó, m là số có chữ số bất kỳ và x là lũy thừa của chữ số bất kỳ
[25]23=> chữ số cuối cùng= 5
[12345]234 => chữ số cuối cùng = 5
[789045]3254=> chữ số cuối cùng= 5
Như vậy, bất kỳ số nào có chữ số tận cùng là 5 và có lũy thừa một chữ số bất kỳ thì chữ số tận cùng của nó luôn là 5
Chu kỳ của 6
Ta biết rằng, nếu nhân 6 với 6 nhiều lần thì ta luôn được kết quả là 6
Do đó, chu kỳ của 6 cũng là một
Như vậy, bất kỳ số nào có chữ số tận cùng là 6 và có lũy thừa một chữ số bất kỳ thì chữ số tận cùng của nó luôn là 6
Ví dụ
[m6]x => chữ số cuối cùng = 6
Trong đó m là số có chữ số bất kỳ và x là lũy thừa chữ số bất kỳ
[6]2=> chữ số cuối cùng=6
[36]23 => chữ số cuối cùng = 6
[890123456]789 => chữ số cuối cùng = 6
Như vậy, bất kỳ số nào có chữ số tận cùng là 6 và có lũy thừa một chữ số bất kỳ thì chữ số tận cùng của nó luôn là 6
Ghi chú
Như nếu ta lấy bất kỳ lũy thừa nào của 0, 1, 5, 6 thì chữ số tận cùng của đáp án luôn chỉ là con số đó
Giống như [0]23 => chữ số cuối cùng = 0
[1]89 => chữ số cuối cùng = 1
[5]2 => chữ số cuối cùng = 5
[6]2 => chữ số cuối cùng = 6
Do đó, chúng ta có thể nói rằng chu kỳ của 0,1,5 và 6 luôn luôn là một
Chu kỳ của 4
Chúng ta biết rằng,
4*4= 42= 16 => chữ số cuối cùng=6
4*4*4= 43 =64 => chữ số cuối cùng=4
4*4*4*4= 44= 256 => chữ số cuối cùng= 6
Tương tự, [14]2 =196 => chữ số cuối cùng = 6
[14]3= 2744 => chữ số cuối cùng=4
Vậy lũy thừa của số tận cùng là 4 là số chẵn thì chữ số tận cùng của nó là 6
Khi lũy thừa của số kết thúc bằng 4 là số lẻ thì chữ số tận cùng của nó là 4
Điều đó có nghĩa là, [m4]lẻ=> chữ số cuối cùng= 4
[m4]công suất chẵn=> chữ số cuối cùng=6
Do đó, chu kỳ của 4 là hai
Và chu kỳ năng lượng trở thành {4,6}
Chu kỳ của 9
Chúng ta biết rằng,
9*9=92=81 => chữ số cuối cùng=1
9*9*9= 93=729 => chữ số cuối cùng= 9
9*9*9*9= 94 = 6561 => chữ số cuối cùng=1
Tương tự, [19]2= 361 => chữ số cuối cùng=1
[19]3= 6859 => chữ số cuối cùng=9
Vậy lũy thừa của số tận cùng là 9 là số chẵn thì chữ số tận cùng của nó là 1
Và khi lũy thừa của số kết thúc bằng 9 là số lẻ thì chữ số tận cùng của nó là 9
Điều đó có nghĩa là, [m9]lũy thừa => chữ số cuối cùng = 1
[m9]lẻ => số cuối = 9
Như vậy chu kỳ của 9 cũng là hai
Và chu kỳ năng lượng của nó trở thành {1,9}
Ghi chú
Chu kỳ của 4 và 9 là hai vì nó chứa 2 phần tử
Chu kỳ lũy thừa của 4 là {4, 6}
Chu kỳ lũy thừa của 9 là {9, 1}
Chu kỳ của 2
Chúng ta biết rằng,
21= 2 => chữ số cuối cùng = 2
2*2=22= 4 => chữ số cuối cùng=4
2*2*2=23=8 => chữ số cuối cùng= 8
24= 16 => chữ số cuối cùng = 6
25= 32 => chữ số cuối cùng = 2
26=64 => chữ số cuối cùng=4
27= 128 => chữ số cuối cùng = 8
28=256 => chữ số cuối cùng=6
29= 512 => chữ số cuối cùng = 2
Theo cách này, nếu chúng ta lấy bất kỳ lũy thừa nào của 2 thì nó có chữ số tận cùng {2, 4, 8, 6} là chu kỳ lặp lại và do đó, chu kỳ lũy thừa của 2 là {2, 4, 8, 6}
Vì nó chứa bốn số nên chu kỳ của nó là 4
Ví dụ
1] Chữ số tận cùng của [122]46 là bao nhiêu
Ở đây số kết thúc bằng 2
Chúng tôi biết rằng, chu kỳ của 2 là bốn và chu kỳ lũy thừa là {2, 4, 8, 6}
Sức mạnh ở đây là 46
Vì vậy, chúng tôi chia lũy thừa 46 cho chu kỳ 4, chúng tôi nhận được phần còn lại là 2
Và số thứ 2 trong chu kỳ công suất là 4
Vậy chữ số tận cùng của [122]46 là 4
Nếu bạn kiểm tra câu trả lời này trên máy tính thì bạn sẽ nhận được câu trả lời tương tự
2] Tìm chữ số tận cùng của [2022]2020
Ở đây số kết thúc bằng 2
Chúng tôi biết rằng, chu kỳ của 2 là bốn và chu kỳ lũy thừa của nó là {2,4,8,6}
Và ở đây công suất là 2020 do đó chúng tôi chia công suất 2020 cho chu kỳ 4 thì chúng tôi nhận phần còn lại bằng 0