Chuyên đề toán hình tọa độ vecto nâng cao

1. ĐỘ PHẲNG GV:Phan Nhật Nam PHƢƠNG PHÁP VECTƠ
2. NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ : ( ; )B A B AAB x x y y   1 1 2 2( , )a b a b a b    ; 1 2( , )ka ka ka  Rk  2. Hai vectơ cùng phƣơng : a cùng phương b  1 2 1 2 1 2 ( , 0) a a b b b b   hoặc 1 2 1 2 0 a a b b  Chú ý : A, B, C thẳng hàng ACAB, cùng phương 3. Tích vô hƣớng của hai vectơ :  Định nghĩa: . . .cos( . )a b a b a b  Các tính chất : 2 2 1 2a a a  2 2 ( ) ( )B A B AAB AB x x y y     a b  0. 2211  bababa 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 ABC a a S a b a b b b     1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 sin( , ) . a b a b a b a a b b     1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos( , ) a b a b a b a a b b      B. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG I. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH 1) d qua );( 000 yxM và có VTCP );( 21 uuu  d: 0 1 0 2      x x u t y y u t ( )t  hoặc d: 0 0 1 2    x x y y u u 2) Pt tổng quát (d) 0 CByAx ( 022  BA )  d có VTPT ( ; )n A B 3) Pt đường thẳng (d) qua );( 000 yxM và có VTPT ( ; )n A B : 0)()( 00  yyBxxA ( 022  BA ) 4) Pt đường thẳng d cắt Ox tại )0;(aA và cắt Oy tại );0( bB : 1 x y a b   ( ; 0)a b  5) Đường thẳng d đi qua  11; yxA và  22 ; yxB  d: 12 1 12 1 yy yy xx xx      ( với 21 xx  và 21 yy  ) II. Các công thức liên quan đến đƣờng thẳng : 1) Khoảng cách từ M0 (x0 ; y0 ) đến  : 0 CByAx là 0 0 0 2 2 ( , ) Ax By C d M A B       Hệ quả: Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 0:)( 1111  CyBxAd và 0:)( 2222  CyBxAd là : 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA      2) Góc giữa 2 đƣờng thẳng (d1) và (d2) : Cos(d1,d2)= 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . . . n n A A B B n n A B A B     (0 ) 2   
3. NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com SƠ ĐỒ TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM SƠ ĐỒ LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Tìm tọa độ điểm M Tìm thêm một đƣờng thẳng d’ qua M. Tính độ dài (với A có trước tọa độ) Tính khoảng cách (với biết trước phươgn trình) Lập đẳng thức vec tơ chứa điểm M cần tìm M (thuôc đt cho trước) . . . A (thuộc đt cho trước) B (cho trước tọa độ) M (chư có thông tin) . . .A (cho trước tọa độ) B (cho trước tọa độ) M (thuôc đt cho trước) . . . A (thuộc đtròn cho trước) B (cho trước tọa độ) Viết Phƣơng trình Đƣờng Thẳng d Tìm Tìm thêm tìm vuông góc d tìm song song d Tìm góc Tìm khoảng cách Tìm được trực tiếp VTPT của d Gọi là VTPT của d Công thức góc (hoặc khoảng cách ) Chon 1 biến biến còn lại
4. NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG A. MỤC ĐÍCH & PHƢƠNG HƢỚNG: 1. Sử dụng 2 vectơ bằng nhau hoặc cùng phương để tìm tọa độ điểm : (thường xét cho bài toán chứa tỷ số độ dài)  . . N canhAB AN k NB AN k NB      hệ gồm hai phương trình theo biến là tọa độ của điểm cần tìm  A, B, C thẳng hàng  1 1 2 2( ; ), ( ; )AB a b AC a b  cùng phương  1 1 2 2 a b a b  (nếu 2 0a  thì 1 0a  hoặc nếu 2 0b  thì 1 0b  ) 2. Sử dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau:  Chọn cặp vecto cơ sơ a , b (thông thường là các vecto nằm trên cạnh và vuông góc nhau)  Nếu dự đoán AB  MN thì ta phân tích : 1 1 2 2 AB a b MN a b           với 1 1 2 2, , ,    là các số cụ thể    1 1 2 2. 0AB MN a b a b AB MN         3. Sử dụng vectơ để tìm độ dài đoạn hoặc xác định góc:  Chọn cặp vecto cơ sơ a , b (thông thường là các vecto nằm trên cạnh va vuông góc nhau)  Nếu dự đoán AB  MN thì ta phân tích : 1 1 2 2 AB a b MN a b                  2 2 222 1 1 1 1 1 12 ...AB AB a b a a ab                . cos cos , . AB AC BAC AB AC AB AC   B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có 3AC = 2AB, N là trung điểm của CD. M(-1; 2) thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh ABCD biết BN: 13x – 10y +13 = 0 và H thuộc đường thẳng d: 2x – 3y = 0. Bình luận: Bài toán này có dấu hiệu tương đối rỏ ràng với tỷ số độ dài AC = 4AM, và 3 giả thuyết điểm M, đường thẳng BN và điểm H thuộc đường thẳng cho trước, điều này khiến ta nghĩ đến tìm điểm H bằng đẳng thức vectơ. Hƣớng dẫn giải: Đặt: 0AD a   3 ; 2H d H a a  13 13 ; 10 b K BN K b         Theo talet cho ACD ta có: 3 3 4 4 MI a MI AD    Theo talet cho BCN ta có: 1 5 2 2 2 4 IF NI BC a a IF MF MI IF BC NC          A B D C . . . . M(-1;2) N . H E F K I
5. NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com Theo talet cho NEH ta cos: 2 2 2 EH NH EH BC a BC NC      Theo talet cho KEH ta có:     195 3 8 1 8 57 387 5 8 ;13 13 13 13 335 7 75 2 8 2 10 10 13 a b b a KH EH KH KM Hb b KM FM a b                                            Ta có: 3AC = 2AB   4 3 2 2 3 CM CN CM CN CH MNH             nội tiếp trong đtròn tâm C MN MH   đường thẳng MN đi qua M có VTPT 50 62 ; : 25 31 37 0 7 7 MH MN x y           N BN MN N   C là trung điểm HN C N là trung điểm CD D 4 3 CA CM A  CB DA B  Ví dụ 2: (A – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; - 1). Hƣớng dẫn giải: Gọi E MN DC  . ( ; )D a b .  1; 3MN   , (2 ; 1 )DN a b    Theo talet ta có: 1 3 NE EC NC NM MA NA    2 1 3( 2) 7 3 ; 2 1 2 3( 1) 3 E E x MN NE E y                   3 3 1 4 4 4 DN AN AD AD AB AD AB AD        3 1 1 3 4 2 4 4 MN AN AM AD AB AB AB AD       Khi đó ta có: 2 23 1 1 3 3 3 . 0 4 4 4 4 16 16 DN MN AB AD AB AD AB AD               (vì ABCD là hình vuông) 2 2 2 2 23 1 8 1 9 4 4 16 16 16 DN AB AD AB AD AB           (vì AB = AD) 2 2 2 2 21 3 8 1 9 4 4 16 16 16 MN AB AD AB AD AB           Suy ra : . 0DN MN DN MN           2 2 2 5 3 5 3 5 03 3 1 10 1 1 a b a b a bb b b                     hoặc 1 2 a b      A D B C . M(1; 2) N(2; -1) E
6. NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com TH1: 5 0 a b    (5; 0)D Đường thẳng DC đi qua hai điểm D(5; 0) và 7 ; 2 3 E       :3 4 15 0DC x y    TH1: 1 2 a b      ( 1; 2)D   Đường thẳng DC đi qua hai điểm ( 1; 2)D   và 7 ; 2 3 E       : 2 0DC y   Ví dụ 3: Cho  ABC có góc A nhọn. Gọi I(4; 2) là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0 Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A. Biết DE: 3 18 0x y   ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Hƣớng dẫn giải: Ta có :    0 , 90 ,AE AB EAB EAC CAB CAB DAC AD AC          cos , cos ,AD AC AE AB  và . 0 . 0 AE AC AE AC AD AB AD AB         DE AE AD  và  1 2 AI AB AC  Ta có: 1 1 1 1 . . . . . 2 2 2 2 DE AI AE AB AE AC AD AB AD AC       1 1 . cos , . cos , 0 2 2 AE AB AE AB AD AC AD AC   DE AI  (vì AB = AD và AC = AE) Suy ra đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường thẳng DE :3 14 0AI x y     3; 5A d AI A   .  : 3 18 0 3 18;D DE x y D m m      Áp dụng Pitago cho tam giác ABD ta có:       2 2 2 2 2 6 ( )2 5 10 3 15 5 10 4 6; 42 2 m loaiAD AB BD BD AB AD m m m DAD AB                    Đường thẳng AB đi qua A và có VTPT là  9;1DA  :9 32 0AB x y    .  ;32 9B AB B m m       2 2 5 5 10 3 27 9 10 3 3 41 41 AB m m m m            Với 5 5 5 3 3 ; 5 9 41 41 41 m B            (loại vì A,B nằm khác phía so với DE) Với 5 5 5 3 3 ; 5 9 41 41 41 m B            A d:2x–y–1= 0 B C D E I(4; 2)
7. NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com Vì I là trung điểm của BC 5 5 5 ; 1 9 41 41 C           Vậy các điểm cần tìm là :  3; 5A , 5 5 3 ; 5 9 41 41 B         và 5 5 5 ; 1 9 41 41 C          Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2; -2) là trung điểm đoạn AC.Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN, 4 8 ; 5 5 H       là giao điểm của 2 đường thẳng ANvà BM. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc d: x + 2y – 6 = 0. Hƣớng dẫn giải: M là trung điểm AC   1 2 BM BC BA  . Lại có : BC = 4BN 1 4 AN BN BA BC BA       22 2 2 01 1 1 1 . 2 0 90 8 2 8 2 BM AN BC BA BA BA BM AN MHN         Gọi   1 1 1 1 1 4 1 m m AH mHN AH mHN BH BA BN BA BC m m m m             Vì B, H, M thẳng hàng   1 4 11 4 4 1 1 2 2 m mm m AH HN       . Ta cũng có thể tìm tỷ số AN và NH theo hệ thức lượng trong NBA , cụ thể là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 5. (2 ) 5 NH BN BN BN NH NA BN NA NH NA NA BN BA BN BN           C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: (A – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; - 1). Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC: 5x + y + 4 = 0. Gọi 23 15 ; 7 7 H       là trực tâm của tam giác ABC và 2 ;4 3 G       là trọng tâm tam giác ACD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành A, B, C, D. Bài 3: (B – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(-3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; - 1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm 4 ; 3 3 G       là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm A và B
8. NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com Bài 4: (A – 2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi 11 1 ; 2 2 M       là trung điểm BC, N thuộc cạnh CD sao cho CN = 2ND. Biết AN: 2x – y – 3 = 0, tìm tọa độ điểm A. Bài 5: (B – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình 2 6 0x y   và tam giác ABD có trực tâm là H(-3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D. Bài 6: (A – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 0x y   . Đường tròn (C) có bán kính 10R  cắt  tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt nhau tại điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C) Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm I . Gọi G là trọng tâm của  ABI và điểm E(7; -2) thuộc đoạn BD sao cho GA = GE. Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D biết đường thẳng GA: 3x – y – 13 = 0 và 4Ax  Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại B, C) có AB = BC = 2CD. Gọi M là trung điểm BC và 4 8 ; 5 5 H       là giao điểm BD và AM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết AB: x – y + 4 = 0 và 0Ax  Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD. E, F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A(1; 1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Bài 10: Cho  ABC có góc A nhọn. Gọi I(4; 2) là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0 Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A. Biết DE : 3 18 0x y   ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2; -2) là trung điểm đoạn AC.Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN, 4 8 ; 5 5 H       là giao điểm của hai đường thẳng ANvà BM. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc đường thẳng d: x + 2y – 6 = 0. Bài 12: Trong không gian với hệ trục Oxy, Cho hình vuông ABCD có A(-1; 2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x + y – 8 = 0 và điểm B có hoành
9. NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com độ lớn hơn 2. Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD và 3AD AB . Giã sử hai điểm O và A đối xứng nhau qua điểm B. Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 3BN. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết đường thẳng AN có phương trình 3 2 0x y   và điểm B có tung độ dương . Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I là giao điểm hai đường chéo, G là trọng tâm của tam giác ABI và điểm E(7; -2) thuộc đường chéo BD sao cho GA = GE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông A, B, C, D biết đường thẳng GA có phương trình 3x – y -13 = 0 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 4.

mẹo hay Toanmath THCS

Chuyên đề toán hình tọa độ vecto nâng cao

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội