Giả sử tồn tại một khối đa diện H gồmkmặt vàccạnh thoả mãn yêu cầu của bài toán. Gọic1là số cạnh của mặt thứ nhất,c2là số cạnh của mặt thứ hai, ...,cklà số cạnh của mặt thứk. Theo giả thiết thì k,c1,c2,..,cklà những số lẻ. Vì mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên ta có :
Đề bài
Có hay không một khối đa diện gồm một số lẻ mặt mà mỗi mặt có một số lẻ cạnh ?
Lời giải chi tiết
Giả sử tồn tại một khối đa diện H gồmkmặt vàccạnh thoả mãn yêu cầu của bài toán. Gọic1là số cạnh của mặt thứ nhất,c2là số cạnh của mặt thứ hai, ...,cklà số cạnh của mặt thứk. Theo giả thiết thì k,c1,c2,..,cklà những số lẻ. Vì mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên ta có :
\[{c_1} + {c_2} + ... + {c_k} = 2c.\]
Điều này là vô lí vì vế trái của đẳng thức trên là một số lẻ, còn vế phải là một số chẵn. Vậy không có khối đa diện nào thoả mãn yêu cầu của bài toán.