Đề bài
So sánh [không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi]:
\[\sqrt {2003} + \sqrt {2005} \] và \[2\sqrt {2004} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất: Với \[a > 0,b > 0\] và \[{a^2} < {b^2}\]thì\[a < b\]
Để chứng minh\[a < b\] [ với\[a > 0,b > 0\]] ta chứng minh\[{a^2} < {b^2}\].
Chú ý:\[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = A\][ với\[A > 0\]].
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[\left[ {a + 1} \right]\left[ {a - 1} \right] = {a^2} - 1\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {2\sqrt {2004} } \right]^2} = 4.2004 \cr
& = 4008 + 2.2004 \cr} \]
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right]^2} \cr
& = 2003 + 2\sqrt {2003.2005} + 2005 \cr} \]
\[ = 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \]
So sánh \[2004\] và \[\sqrt {2003.2005} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {2003.2005} \cr
& = \sqrt {[2004 - 1][2004 + 1]} \cr
& = \sqrt {{{2004}^2} - 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& 2004 > \sqrt {2003.2005} \cr
& \Rightarrow 2.2004 > 2.\sqrt {2003.2005} \cr} \]
\[ \Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \]
\[ \Rightarrow {\left[ {2\sqrt {2004} } \right]^2} > {\left[ {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right]^2}\]
Vậy \[2\sqrt {2004} > \sqrt {2003} + \sqrt {2005} \].